中考数学第六章 实数知识点总结及答案

中考数学第六章 实数知识点总结及答案
一、选择题
1．圆的面积增加为原来的m 倍，则它的半径是原来的（ ）
A ．m 倍
B ．2m 倍
C ．m 倍
D ．2m 倍 2．计算50﹣1的结果应该在下列哪两个自然数之间（ ）
A ．3，4
B ．4，5
C ．5，6
D ．6，7 3．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是( ) A ．n +1 B ．21n + C ．1n + D ．21n
4．下列数中，有理数是（ ） A ．﹣7
B ．﹣0.6
C ．2π
D ．0．151151115… 5．定义a ＊b ＝3a －b ，2a b b a ⊕=-则下列结论正确的有（ ）个. ①3＊2=11.
②()215⊕-=-.
③（13＊25）712912425⎛⎫⊕⊕=- ⎪⎝⎭
. ④若a ＊b=b ＊a ，则a=b. A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 6．下列各式正确的是( )
A ．164=±
B ．1116493=
C ．164-=-
D ．164=
7．如图．已知//AB CD ．直线EF 分别交,AB CD 于点,,E F EG 平分BEF ∠．若1 50∠=︒．则2∠的度数为（ ）
A ．50︒
B ．65︒
C ．60︒
D ．70︒
8．下列命题中，是真命题的有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行；
②立方根等于它本身的数只有0；
③两条边分别平行的两个角相等；
④互为邻补角的两个角的平分线互相垂直
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
9．7+1的值在（ ）
A ．2到3之间
B ．3到4之间
C ．4到5之间
D ．5到6之间 10．估计20的算术平方根的大小在（ ）
A ．2与3之间
B ．3与4之间
C ．4与5之间
D ．5与6之间
二、填空题
11．观察下列各式： (1)123415⨯⨯⨯+=； (2)2345111⨯⨯⨯+=；
(3)3456119⨯⨯⨯+=；
根据上述规律，若121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____．
12．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．
13．已知，x 、y 是有理数，且y 2x -2x -4，则2x +3y 的立方根为_____．
14．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x ＜1时，化简[x]+（x ）+[x ）的结果是_____．
15．为了求2310012222+++++的值，令2310012222S =+++++，则
234101222222S =+++++，因此101221S S -=-，所以10121S =-，即231001*********+++++=-，仿照以下推理计算23202013333++++
+的值是____________．
16．31.35 1.105≈3135 5.130≈30.000135-≈________．
17．定义：对于任意数a ，符号[]a 表示不大于a 的最大整数．例如：[][][]3.93,55,4π==-=-，若[]6a =-，则[]2a 的值为______．
18．已知2(21)10a b ++-=，则22004a b +=________．
19．11133+=112344+=113455
+=，……请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来__________________．
20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．
三、解答题
21．如图，长方形ABCD 的面积为300cm 2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm 2的圆（π取3），请通过计算说明理由．
22．阅读下列解题过程：
（1）221(54)54545254(54)(54)(5)(4)⨯--===-=-++--； （2）1(65)6565(65)(65)
⨯-==-++-； 请回答下列问题： （1）观察上面解题过程,请直接写出1
n n +-的结果为__________________． （2）利用上面所提供的解法，请化简： ......122334989999100++++++++++
23．对于有理数a ，b ，定义运算：a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1.
(1)计算5⊕4的值；
(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；
(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．
24．观察下列等式：
①
111122=-⨯， ②1112323=-⨯， ③1113434
=-⨯. 将以上三个等式两边分别相加，得 1111111113111223342233444
++=-+-+-=-=⨯⨯⨯. （1）请写出第④个式子
（2）猜想并写出：
1n(n 1)+= ． （3）探究并计算：111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)
⨯. 25．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：
(1)线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程)
(2)这个图形的目的是为了说明什么?
(3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)
A ．数形结合
B ．代入
C ．换元
D ．归纳
26．给定一个十进制下的自然数x ，对于x 每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二数”，记为()2M x .如()()22735111, 561101M M ==.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定: 0与 0相加得 0; 0与1相加得1;1与1相加得 0，并向左边一位进1.如735561、的“模二数”111101、相加的运算过程如下图所示.
根据以上材料，解决下列问题:
(1)()29653M 的值为______ ，()()22589653M M +的值为_
(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不
变”.如()()22
124100,630010M M ==，因为()()()222124630110,124630110M M M +=+=，所以
()()()222124*********M M M +=+，即124与630满足“模二相加不变”.
①判断126597，，这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；
②与23“模二相加不变”的两位数有______个
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
设面积增加后的半径为R ，增加前的半径为r ，根据题意列出关系式计算即可．
【详解】
设面积增加后的半径为R ，增加前的半径为r ，
根据题意得：πR 2=mπr 2，
∴，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，要注意，圆的面积和半径之间是平方关系而非正比例关系．2．D
解析：D
【分析】
直接利用已知无理数得出最接近的整数，进而得出答案．
【详解】
解：∵72＝49，82＝64，
<<，
∴78
<<，
∴617
1的结果应该在自然数6，7之间．
故选：D．
【点睛】
本题考查了无理数的整数解问题，掌握求无理数的整数解的方法是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据算术平方根的平方等于这个这个自然数，得出下一个自然数，可得答案．
【详解】
n+，
解：这个自然数是2n，则和这个自然数相邻的下一个自然数是21
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根，掌握一个数算术平方根的平方等于这个数是解题关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据有理数的定义选出即可．
【详解】
解：A是无理数，故选项错误；
B、﹣0.6是有理数，故选项正确；
C、2π是无理数，故选项错误；
D、0．l51151115…是无理数，故选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数，注意有理数是指有限小数和无限循环小数，包括整数和分数．
5．B
解析：B
【分析】
根据新定义的运算把各式转化成混合运算进行计算，即可得出结果.
【详解】
解：∵a ＊b ＝3a －b ，2a b b a ⊕=-，
∴①3＊2=3×3-2=7，故①错误；
②()2
2112145,⊕-=--=--=-故②正确； ③（13＊25）7124⎛⎫⊕⊕ ⎪⎝⎭
. 21217(3)()3542⎡⎤=⨯-⊕-⎢⎥⎣⎦ 3(12)5
=⊕- 2312()5
=-- 30925
=- 故③错误；
④若a ＊b=b ＊a ，则有3a －b=3b-a,
化简得a=b,
故④正确；
正确的有②④，
故选：B
【点睛】
本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.
6．D
解析：D
【分析】
根据算术平方根的定义逐一判断即可得解.
【详解】
4=，故原选项错误；
=，故原选项错误；
D. 4
，计算正确，故此选项正确.
故选D.
【点睛】
此题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义. 7．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质和角平分线性质可求．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠BEF=180°，∠2=∠BEG，
∴∠BEF=180°-50°=130°，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=1
2
∠BEF=65°，
∴∠2=65°．
故选：B．
【点睛】
此题考查平行线的性质，角平分线的性质，解题关键在于掌握两直线平行，内错角相等和同旁内角互补这两个性质．
8．D
解析：D
【分析】
利用平行线的性质、立方根及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行，故错误，是假命题；
②立方根等于它本身的数有0，±1，故错误，是假命题；
③两条边分别平行的两个角相等或互补，故错误，是假命题；
④互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，正确，是真命题，
真命题有1个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、立方根及互补的定义等知识，难度不大．
9．B
解析：B
【分析】
的范围，继而可求得答案.
【详解】
∵22=4，32=9，
∴<3，
∴+1<4，
故选B.
【点睛】
本题考查了无理数的估算，熟练掌握是解题的关键.
10．C
解析：C
【解析】
试题分析：∵16＜20＜25，
∴
∴4
＜5．
故选C．
考点：估算无理数的大小．
二、填空题
11．181
【分析】
观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．
【详解】
由题意得
将代入原式中
故答案为：181．
【点睛】
本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181
【分析】
n=求解即可．
观察各式得出其中的规律，再代入12
【详解】
由题意得
()31
=⨯++
n n
n=代入原式中
将12
a==⨯+=
12151181
故答案为：181．
【点睛】
本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．
12．【分析】
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】
解：＝8，＝2，2的算术平方根是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握
【分析】
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】
82，2，
．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．
13．-2．
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．
【详解】
解：由题意得：，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（
解析：-2．
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．
【详解】
解：由题意得：2020x x -≥⎧⎨-≥⎩
， 解得：x ＝2，
则y ＝﹣4，
2x+3y ＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
2=-．
故答案是：﹣2．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
14．﹣2或﹣1或0或1或2．
【分析】
有三种情况：
①当时，[x]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0，
∴[x]+（x ）+[x ）＝-2或-1；
②当时，[x]＝0，（x ）＝0，[x ）=0，
∴[x]
解析：﹣2或﹣1或0或1或2．
【分析】
有三种情况：
①当10x -<<时，[x ]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0，
∴[x ]+（x ）+[x ）＝-2或-1；
②当0x =时，[x ]＝0，（x ）＝0，[x ）=0，
∴[x ]+（x ）+[x ）＝0；
③当01x <<时，[x ]＝0，（x ）＝1，[x ）=0或1，
∴[x ]+（x ）+[x ）＝1或2；
综上所述，化简[x ]+（x ）+[x ）的结果是-2或﹣1或0或1或2.
故答案为-2或﹣1或0或1或2.
点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键.
【详解】
请在此输入详解！
15．【分析】
令，然后两边同时乘以3，接下来根据题目中的方法计算即可．
【详解】
令
则
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算问题，掌握题目中的运算技巧以及有理数混合运算法则是解 解析：2021312
- 【分析】
令23202013333S =+++++，然后两边同时乘以3，接下来根据题目中的方法计算即可．
【详解】
令23202013333S =+++++ 则23202133333S =++++
∴2021331S S -=- ∴2021312
S -= 故答案为：2021312
-． 【点睛】
本题考查了有理数的混合运算问题，掌握题目中的运算技巧以及有理数混合运算法则是解题的关键．
16．-0.0513
【分析】
根据立方根的意义，中，m 的小数点每移动3位，n 的小数点相应地移动1位．
【详解】
因为
所以-0.0513
故答案为：-0.0513
【点睛】
考核知识点：立方根．理解立方
解析：-0.0513
【分析】
n =中，m 的小数点每移动3位，n 的小数点相应地移动1位．
【详解】
5.130≈
≈-0.0513
故答案为：-0.0513
【点睛】
考核知识点：立方根．理解立方根的定义是关键．
17．-11或-12
【分析】
根据题意可知，，再根据新定义即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
∴
∴的值为-11或-12．
故答案为：-11或-12．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数比较大小
解析：-11或-12
【分析】
根据题意可知65a -≤<-，12210a -≤<-，再根据新定义即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：65a -≤<-
∴12210a -≤<-
∴[]2a 的值为-11或-12．
故答案为：-11或-12．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数比较大小，理解题目的新定义，根据新定义得出a 的取值范围是解此题的关键．
18．【分析】
根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴2a＋1＝0，b −1＝0，
∴a＝，b ＝1，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了非负数 解析：54
【分析】
根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵2(21)0a +=，
∴2a ＋1＝0，b−1＝0，
∴a ＝12
-，b ＝1， ∴2
22004
200411511244a b ⎛⎫+=-+=+= ⎪⎝⎭， 故答案为：
54． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
19．【分析】
观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二次根式，找
(1)n n =+≥ 【分析】
=(2=+
(3=+n(n ≥1)的等式表示出来是
(1)n n =+≥ 【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来是
(1)n n =+≥
(1)n n =+≥ 【点睛】 本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性
规律，写出用n表示的等式即可．
20．12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】
，即
的整数部分是2，即
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的
解析：12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】
a==
6
<<
479
<<
<<23
∴的整数部分是2，即2
b=
ab=⨯=
则6212
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．
三、解答题
21．不能，说明见解析.
【分析】
根据长方形的长宽比设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm，结合长方形ABCD的面积为300cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积147cm2，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比较即可得出结论．
【详解】
解：设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm．
由题意，得3x•2x=300，
∵x＞0，
∴x=
∴AB=，BC=cm．
∵圆的面积为147cm2，设圆的半径为rcm，
∴πr2=147，
解得：r=7cm．
∴两个圆的直径总长为28cm．
<=⨯=<，
∵382428
∴不能并排裁出两个面积均为147cm2的圆．
22．（1-2）9
【分析】
（1）利用已知数据变化规律直接得出答案；
（2）利用分母有理化的规律将原式化简进而求出即可.
【详解】
==
解：（1
（2......
=
=-1+10
=9
【点睛】
此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键.
23．(1)3；(2)－24；(3)成立．
【解析】
【分析】
（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；
（2）先按新定义运算，先计算（-2）⊕6、再将所得结果-19与3计算规定运算可得；（3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．
【详解】
(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1
＝20－10－8＋1
＝2＋1
＝3.
(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3
＝(－12＋4－12＋1)⊕3
＝－19⊕3
＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1
＝－24.
(3)成立．
∵a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1，b ⊕a ＝ab －2b －2a ＋1，
∴a ⊕b ＝b ⊕a ，
∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．
【点睛】
此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．
24．（1）
1114545=-⨯；（2）111(1)1n n n n =-++；（3）2551． 【解析】
试题分析：（1）规律：相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差，故第四个式子为：1114545
=-⨯； （2）根据以上规律直接写出即可；
（3）各项提出12
之后即可应用（1）中的方法进行计算． 解：（1）答案为：
1114545=-⨯； （2）答案为：()11111
n n n n =-++； （3）
111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)
⨯ =12×（111122334++⨯⨯⨯+…+15051
⨯） =12×5051 =2551
. 点睛：本题是一道找规律问题.解题的重点要根据所给式子中的数字变化归纳出规律，而难点在于第（3）问中要灵活应用所总结出来的公式.
25．；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.
【分析】
（1）首先根据勾股定理求出线段OB 的长度，然后结合数轴的知识即可求解； （2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；
（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．
【详解】
解：(1)OB 2＝12+12＝2，
∴OB ，
∴OA ＝(2)数轴上的点和实数是一一对应关系
(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．
故选A.
【点睛】
本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．
26．（1）1011，1101；（2）①12，65，97，见解析，②38
【分析】
(1) 根据“模二数”的定义计算即可；
(2) ①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算126597，，和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案
②设两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，根据a 、b 的奇偶性和“模二数”和模二相加不变”的定义进行讨论，从而得出与23“模二相加不变”的两位数的个数
【详解】
解: (1) ()296531011M =，()()221010111108531596M M =+=+
故答案为：1011,1101
()2①()()222301,1210M M ==，
()()()222122311,122311M M M +=+=
()()()22212231223M M M ∴+=+，
12∴与23满足“模二相加不变”.
()()222301,6501M M ==，，
()()()222652310,652300M M M +=+=
()()()22265236523M M M +≠+，
65∴与23不满足“模二相加不变”.
()()222301,9711M M ==，
()()()2229723100,9723100M M M +=+=，
()()()22297239723M M M +=+，
97∴与23满足“模二相加不变”
②当此两位数小于77时，设两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，1a 70b 7≤≤<<，； 当a 为偶数，b 为偶数时()()2210002013,a b M M +==，
∴()()()()22222301,102310(2)(3)1001M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23满足“模二相加不变”有12个（28、48、68不符合）
当a 为偶数，b 为奇数时()()2210012013,a b M M +==，
∴()()()()22222310,102310(2)(3)1000M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23不满足“模二相加不变”.但27、47、67、29、49、69符合共6个
当a 为奇数，b 为奇数时()()2210112013,a b M M +==，
∴()()()()222223100,102310(2)(3)1010M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合
当a 为奇数，b 为偶数时()()2210102013,a b M M +==，
∴()()()()22222311,102310(2)(3)1011M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23满足“模二相加不变”有16个，（18、38、58不符合）
当此两位数大于等于77时，符合共有4个
综上所述共有12+6+16+4=38
故答案为：38
【点睛】
本题考查新定义，数字的变化类，认真观察、仔细思考，分类讨论的数学思想是解决这类问题的方法．能够理解定义是解题的关键．。