2020年重庆市北碚区春招数学试卷(解析版)

2020年重庆市北碚区春招数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）
A．a＞0B．b＜1C．a＜b D．a＞﹣2
2．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（）
A．（x3）4＝x7B．x3•x2＝x5C．x+2x＝3x2D．x﹣2＝﹣
4．下列命题正确的是（）
A．过线段中点的直线上任意一点到线段两端的距离相等
B．垂直于线段的直线上任意一点到线段两端的距离相等
C．线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等
D．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等
5．按如图所示的运算程序，能使输出m的值为1的是（）
A．x＝1，y＝1B．x＝2，y＝0C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2 6．估计×+÷的值应在（）
A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间7．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，P A＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC
⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（）
A．1.5B．2C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（）
A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）
9．如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC＝13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物EF，在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔CD的高度约是（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．22.5米B．27.5米C．32.5米D．45.0米
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k 的值是（）
A．4B．8C．12D．16
11．若数a使关于x 的分式方程+＝1有非负整数解，且使关于y 的不等式组
至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣5B．﹣3C．0D．2
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x…﹣10123…
…p t n t0…
y＝
ax2+bx+c
有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m （am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共6小题）
13．计算：（3﹣π）0﹣＝．
14．代数式有意义，则x的取值范围是．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝10，D是AB的中点，以点C 为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）
16．点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．
17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M 处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．
三．解答题（共8小题）
19．（1）解方程组．
（2）计算：（x+）÷．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形EBFD是平行四边形．
21．某校为提高学生体考成绩，对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试，学生成绩均为整数，满分20分，大于18分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x≤20）
开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．
学期末抽取学生成绩统计表
学生成绩A组B组C组D组E组
人数0145a 分析数据：
平均数中位数众数开学初抽取学生成绩16b17
学期末抽取学生成绩1818.519
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中a、b的值，并补全条形统计图；
（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少？
（3）小莉开学初测试成绩16分，学期末测试成绩19分，根据抽查的相关数据，请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果．
22．某数学小组对函数y1＝图象和性质进行探究．当x＝4时，y1＝0．
（1）当x＝5时，求y1的值；
（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数y1
的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集．
23．某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？
（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？
24．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．
（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；
（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．
25．如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）．（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC 面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值．
26．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．
（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．
（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG ＝BE；
（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB 于点H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）
A．a＞0B．b＜1C．a＜b D．a＞﹣2
【分析】直接利用a，b在数轴上位置进而分别分析得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a＜﹣2，故选项A错误；
b＞1，故选项B错误；
a＜b，故选项C正确；
a＜﹣2，故选项D错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确结合数轴分析是解题关键．
2．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形，左齐．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．下列计算正确的是（）
A．（x3）4＝x7B．x3•x2＝x5C．x+2x＝3x2D．x﹣2＝﹣
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；负整数指数幂a﹣p＝（a≠0），对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（x3）4＝x12，故本选项错误；
B、x3•x2＝x5，故本选项正确；
C、x+2x＝3x，故本选项错误；
D、x﹣2＝，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．下列命题正确的是（）
A．过线段中点的直线上任意一点到线段两端的距离相等
B．垂直于线段的直线上任意一点到线段两端的距离相等
C．线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等
D．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等
【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：A、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；
B、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；
C、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，是真命题；
D、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
5．按如图所示的运算程序，能使输出m的值为1的是（）
A．x＝1，y＝1B．x＝2，y＝0C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2
【分析】根据题意一一计算即可判断．
【解答】解：A、当x＝1，y＝1时，m＝x﹣y＝1﹣1＝0，不符合题意；
B、当x＝2，y＝0时，m＝x﹣y＝2﹣0＝2，不符合题意；
C、当x＝1，y＝2时，m＝﹣2x+y＝﹣2+2＝0，不符合题意；
D、当x＝3，y＝2时，m＝x﹣y＝3﹣2＝1，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查代数式求值，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
6．估计×+÷的值应在（）
A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而利用估算无理数的大小的方法得出答案．【解答】解：×+÷＝+＝4+，
∵3＜＜4，
∴7＜4+＜8，
∴×+÷的值应在7和8之间；
故选：A．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的范围是解题关键．7．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，P A＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC ⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（）
A．1.5B．2C．D．
【分析】连接OD，求出BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，再根据勾股定理求出BC即可．
【解答】解：连接OD，
∵PC切⊙O于D，
∴∠ODP＝90°，
∵⊙O的半径为1，P A＝AO，AB是⊙O的直径，
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1，
∴由勾股定理得：PD＝＝＝，
∵BC⊥AB，AB过O，
∴BC切⊙O于B，
∵PC切⊙O于D，
∴CD＝BC，
设CD＝CB＝x，
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2，
即（+x）2＝32+x2，
解得：x＝，
即BC＝，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，勾股定理，切线长定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（）
A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）
【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，
∴△ACB∽△CED，
∵相似比为1：3，
∴＝，即＝，
解得，DE＝6，
∵△CED为等腰直角三角形，
∴CE＝DE＝6，
∵BC∥DE，
∴△OCB∽△OED，
∴＝，即＝，
解得，OC＝3，
∴OE＝OC+CE＝3+6＝9，
∴点D的坐标为（9，6），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质，掌握位似变换的两个图形是相似图形是解题的关键．
9．如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC＝13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物EF，在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔CD的高度约是（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．22.5米B．27.5米C．32.5米D．45.0米
【分析】过点F作FH⊥DC于点H，延长DC交EA于点G，可得四边形EFHG是矩形，根据AB的坡度i＝1：2.4，AC＝13，可得CG＝5，AG＝12，CH＝GH﹣CG＝10﹣5＝5，再根据锐角三角函数即可求出信号塔CD的高度．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥DC于点H，
延长DC交EA于点G，
则四边形EFHG是矩形，
∴FH＝GE，CG＝EF，
∵AB的坡度i＝1：2.4，AC＝13，
∴CG＝5，AG＝12，
∴CH＝GH﹣CG＝10﹣5＝5，
∴GE＝AG+AE＝12+18＝30，
∴在Rt△DCF中，∠DFC＝37°，FH＝GE＝30，
∴DH＝FH•tan37°≈30×0.75≈22.5，
∴CD＝DH+CH≈22.5+5≈27.5（米）．
所以信号塔CD的高度约是27.5米．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k 的值是（）
A．4B．8C．12D．16
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OA＝，OD＝＝
2，求得直线AC的解析式为y＝﹣2x，求得BD的解析式为y＝2x，设D（a，2a），根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点A（﹣1，2），
∴OA＝，
∵菱形的边长为5，
∴AD＝5，
∴OD＝＝2，
∵对角线AC与BD相交于坐标原点O，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x，
∴BD的解析式为y＝2x，
设D（a，2a），
∴a2+（2a）2＝20，
∴a＝2（负值舍去），
∴D（2，4），
∵D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，
∴k＝2×4＝8，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
11．若数a使关于x的分式方程+＝1有非负整数解，且使关于y的不等式组
至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）
A．﹣5B．﹣3C．0D．2
【分析】解出分式方程，根据题意确定a的范围，解不等式组，根据题意确定a的范围，根据分式不为0的条件得到a≠﹣2，根据题意计算即可．
【解答】解：
由①得y＞﹣8，
由②得y≤a，
∴不等式组的解集为：﹣8＜y≤a，
∵关于y 的不等式组至少有3个整数解，
∴a≥﹣5，
解分式方程+＝1，得x ＝，
∵关于x 的分式方程+＝1有非负整数解，且≠3，
∴a≤4且a≠﹣2且a为偶数；
∴﹣5≤a≤4且a≠﹣2且a为偶数，
∴满足条件的整数a为﹣4，0，2，4，
∴所有整数a的和＝﹣4+0+2+4＝2，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x…﹣10123…
…p t n t0…
y＝
ax2+bx+c
有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m （am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由抛物线的对称性可求对称轴为：x ＝，可得p＝0，即x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，可判断②；当x＝0，y＝c＝t＞0，可得p+2t＝0+2t＞0，可判断③；由抛物线中在对称轴的右边，y随x的增大而减小，可得的a＜0，由对称轴x
＝1可得b＝﹣2a＞0，可判断①；由x＝3，y＝0，可得c＝﹣3a，由顶点坐标为（1，n），a＜0，可得am2+bm+c≤a+b+c，可得am2+bm≤﹣4a﹣c，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵当x＝0和x＝2时，y＝t，
∴对称轴为：x＝，
∴当x＝3和x＝﹣1时，y的值相等，
∴p＝0，
∴x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，故②正确；
∵当x＝0时，y＝t，且c＞0，
∴t＝c＞0，
∴p+2t＝0+2t＞0，故③错误；
∵x＝2，y＝t＞0，x＝3，y＝0，
∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∵x＝﹣，
∴b＝﹣2a＞0，故①正确；
∵当x＝3时，y＝0，
∴9a+3b+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣4a﹣c＝﹣4a+3a＝﹣a，
∵顶点坐标为（1，n），a＜0，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴am2+bm≤a+b，
∴am2+bm≤﹣a，
∴am2+bm≤﹣4a﹣c，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
13．计算：（3﹣π）0﹣＝﹣1．
【分析】本题涉及零指数幂、三次根式化简2个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（3﹣π）0﹣
＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、三次根式等知识点的运算．
14．代数式有意义，则x的取值范围是x＞4．
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣4＞0，
解得，x＞4，
故答案为：x＞4．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝10，D是AB的中点，以点C 为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是π．（结果保留π）
【分析】利用斜边上的中线性质得到DA＝DC＝DB＝AB＝5，再计算出∠B得到∠DCB ＝40°，然后利用扇形的面积公式计算．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴DA＝DC＝DB＝AB＝5，
∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DCB＝∠B＝40°，
∴图中阴影部分的面积＝＝π．
故答案为π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
16．点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．
【分析】先解方程组得直线y＝﹣x+5与直线y＝x的交点坐标，画出图象，再画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出其中点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的点的个数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：解方程组得，
∴直线y＝﹣x+5与直线y＝x的交点坐标为（3，2），
如图，
画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的点为（1，2），（1，3），（2，3），（3，2），
所以点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了几何概率：某随机事件的概率＝这个随机事件所占有的面积与总面积之比，也可以计算利用长度比或体积比计算概率．也考查了树状图法．
17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M 处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是．
【分析】过点D作DH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，由折叠的性质可得DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，可证△DMN是等边三角形，可得∠MDN＝60°，由折叠的性质可求∠HDF＝∠HFD＝45°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，
∴∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，
∵MN∥AC，
∴∠DAC＝∠DMN＝60°，
∵DH⊥AF，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝AD＝，DH＝AH＝，
∵将△ABC分别沿DE、DF折叠，
∴DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，
∴DM＝DN，
∴△DMN是等边三角形，
∴∠MDN＝60°，
∴∠CDN＝30°，
∴∠CDF＝15°，
∴∠DFH＝∠C+∠CDF＝45°，
∵DH⊥AF，
∴∠HDF＝∠HFD＝45°，
∴DH＝HF＝，
∴AF＝AH+HF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连
接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．
【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．
【解答】解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．
∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，
在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+a）2＝2，
∴a＝，
∴EK＝2a+a＝，
∴AF的最小值为．
故答案为．
【点评】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全球的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
三．解答题（共8小题）
19．（1）解方程组．
（2）计算：（x+）÷．
【分析】（1）根据加减消元法可以解答此方程组；
（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1），
①+②，得4x＝12，
解得，x＝3，
将x＝3代入①，得y＝﹣1，
故原方程组的解为；
（2）（x+）÷
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形EBFD是平行四边形．
【分析】（1）由ASA即可得出△ABE≌△CDF；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出DE＝BF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD+AE＝BC+CF，
即DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练
掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．某校为提高学生体考成绩，对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试，学生成绩均为整数，满分20分，大于18分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x≤20）
开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．
学期末抽取学生成绩统计表
学生成绩A组B组C组D组E组
人数0145a 分析数据：
平均数中位数众数开学初抽取学生成绩16b17
学期末抽取学生成绩1818.519
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中a、b的值，并补全条形统计图；
（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少？
（3）小莉开学初测试成绩16分，学期末测试成绩19分，根据抽查的相关数据，请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果．
【分析】（1）由A的两个统计图上的数据得抽取的学生人数，再用求得的总数减去学期末抽取学生成绩统计表中A、B、C、D的人数便可得E组的人数a的值，求出开学初抽取人数中成绩由小到大位于最中间的数据或中间两个数据的平均数便为中位数b的值；
（2）用总人数300乘以学期末优秀学生数的百分比与开学初优秀学生数的百分比之差，
便可得该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加的人数；（3）可比较再次测试成绩的中位数或平均数，进而得出小莉成绩上升情况的总结．【解答】解：（1）开学初抽取的学生总数为：2＝20，
∴a＝20﹣0﹣1﹣4﹣5＝10，
开学初抽取学生中B组人数为：20﹣2﹣3﹣4﹣7＝4，
由此可知开学初所抽取学生的成绩A、B、C组共有2+3+4＝9人，则将所抽取的20人的成绩由小到大排列，位于第10位和第11位的成绩都位于D组，
∵D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．
∴中位数b＝＝17，
补全统计图如下：
（2）根据题意得，300×＝90，
答：该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了90人；
（3）从平均数看，小莉开学初测试成绩等于开学初抽取学生成绩的平均数16分，学期末测试成绩19分高于学期末所抽取学生成绩的平均数18分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果；
从中位数来看，小莉开学初测试成绩16分低于开学初抽取学生成绩的中位数17分，学期末测试成绩19分高于学期末抽取学生成绩的中位数18，5分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果．
【点评】本题考查读条形统计图的能力，利用统计图获取信息的能力，利用统计表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．某数学小组对函数y1＝图象和性质进行探究．当x＝4时，y1＝0．
（1）当x＝5时，求y1的值；
（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数y1
的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集．
【分析】（1）思想利用待定系数法确定b的值，再求出x＝5时，y1的值即可．
（2）画出x＜2时，y＝﹣x+2的图形即可．
（3）利用图象法写出y1的图象在y2的上方时x的值即可．
【解答】解：（1）由题意x＝0时，y1＝0，
∴16+4b+8＝0，
∴b＝﹣6，
∴x＝5时，y1＝25﹣6×5+8＝3．
（2）函数图象如图所示：
性质：x＜3时，y随x的增大而减小，x＞3时，y随x的增大而增大．
（3）观察图形可知：不等式y1≥y2的解集为：x＜﹣2或x＞0．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？
（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？
【分析】（1）设4月份售出B型小家电x台，根据“销售这两种小家电共获利不少于800元”列出不等式并解答；
（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据“销售利润＝（售价﹣进价）×销售数量”
列出方程并解答．
【解答】解：（1）设4月份售出B型小家电x台，根据题意，得（50﹣40）×40﹣（40﹣32）x≥800．
解得x≥50．
答：4月份售出B型小家电至少50台；
（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据题意得：
（50﹣y﹣40）（40+10y）+（40﹣y﹣32）（50+15y）＝965．
整理，得5y2﹣26y+33＝0．
解得y1＝3，y2＝2.2．
为了让消费者得到更多的实惠，所以y＝3符合题意．
答：两种型号的小家电都降价3元．
【点评】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
24．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．。