初三数学竞赛：圆历届真题

初中数学竞赛《圆》历届考题

1．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得

ACB ADP ∠=∠，求PD PB

的值. 解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，

所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴AD AP AP AB =， 所以223AD AD AB AP =∙=，

∴AD AP 3=， …………………………（10分）

所以3==AD

AP

PD PB . …………………………（15分）

2、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1分别是 点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。若点B

在△A1B1C1的外接 圆上，则∠ABC 等于（ ） A 、30 B 、45 C 、60 D 、90 答：C

解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1＝

2ID ，

所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°

3．正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则

QA

QC

的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+ 答：D ．

解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ，

QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ．

即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=m

m r 2

2-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2

B 1

C 1 （第3题图）

＋QO 2，即

222

22m r m m r +=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-，解得r m 3

3=

所以，

231

31

3+=-+=-+=m r m r QA QC 4．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长

AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．

证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又PA

所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是

△KPE

∽△KAP ， 所以

KP

KE

KA KP =

， 即 KA KE KP ⋅=2． 由切割线定理得 KA KE KB ⋅=2

所以 KB KP =． …………………………10因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是

AC KP CE PE = 故 AC KB

CE PE =

， 即 PE ·AC=CE ·KB ． ………………………………15分

5.已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，

E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．

（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．

解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，

ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，

且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠． 于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．

若△ABC 的外心为1O ，则12B

O C B A C ∠=∠，所以，⊙O 一定过△（第4题）

C

选（B ）．

6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A

和⊙B 相切．

证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作

分别为,

E F

，则CE ∥DF ．因为AB 是⊙O 的直径，所以ACB ∠=∠Rt △ABC 和Rt △ABD 中，由射影定理得22PA AC AE AB ==⋅，

22PB BD BF AB ==⋅． ……………5分 两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，

又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-，即PA AE PB BF -=-，

所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．

7．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足

DE AD

CF BC

=

．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，

△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接PA ，PB ，PC ，PD ．求证：

（1）

AD PD

BC PC

=

； （2）△PAB ∽△PDC ．

证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠， 所以PDC PEF ∠=∠．

又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ，

于是有 ,PD PE

CPD FPE PC PF =∠=∠，从而△PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF =．又已知DE AD CF BC =，所以，AD PD

BC PC =． ………………10分

（2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而