2023-2024学年北京市清华大学附属中学高三上学期开学考试数学试卷含详解

2023-2024
A ．1725
-
B ．421
25
-
C ．35-10．已知函数()2
sin (0)2
x f x x x ωω-=+>+在[]0,2上恰有4值范围为（）
A ．3π,2π2⎛⎤ ⎥
⎝⎦
B ．3π,2π2⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
C ．52π,π2⎛
⎝
二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.
11．双曲线22
21(0)36
x y a a -=>的渐近线方程为2y x =±，则12．已知复数z 满足()1i 22z z +=+，则z 在复平面的对应点的坐标为
13．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）2，高为32的正四棱柱构成，如图所示，则该14．已知函数()2
,,x m x m
f x x x m
⎧+≤=⎨>⎩
(1)求证：1C M //平面B (2)从下面两个选项中选择一个作为条作，求二面角①DE BC ⊥；②1C M =18．为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从取300名社区居民（分为比较了解（得分不低于
6．C
【分析】3223a b a b +=- 两边平方，结合0a b a b ⊥⇔⋅= ，故“a b ⊥
”【详解】
3223a b a b +=- 两边平方得，因为,a b 为平面上的单位向量，所以解得0a b ⋅=
，
由于,a b 为平面上的单位向量，所以故“a b ⊥
”是“
322a b a +=- 故选：C
9．A
【分析】求出AB、BD、
要使函数()sin (0)g x x ωω=>与函数(h 由图知：()sin (0)g x x ωω=>的周期T
【详解】
如图，两个正四棱柱的重叠部分为多面体
m=时，不符题意；
当0
m<时，若要满足题意需如图所示，当0
综上m的取值范围是：
0,2⋃
故答案为：1；()
18．(1)17 30；
(2)答案见解析；
(3)3 10
【分析】（1）根据古典概型计算即可；
（2）根据随机事件求分布列的步骤求解计算可得；
（3）根据全概率及独立事件的概率乘法公式计算可得
【详解】（1）设从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试其对垃圾分类比较了解为事件
A,()17017
30030
P A==;
（2）A小区比较了解的概率为：
X可取0,1,2
直线AP 的方程为0022y y x x -=+，联立0023y y x x y -⎧=
⎪⎨⎪-⎩即点0000000124612,236236x x y M x y x y ⎛⎫
+- ⎪-+-+⎝⎭
，
AQ 022y y x +=-+y ⎧
=-⎪
【点睛】关键点点睛；解决本题第（2）问的关键在于求出点M 、N 的坐标后，分析出线段
AT 、MN 互相平分，进而结合平行四边形的几何性质求解.
20．(1)1,1a b =-=-(2)证明见解析(3)1个
【分析】（1）求导，利用()010f a '=+=且()010f b =+=即可求解，（2）求导，由导数即可得函数的单调性，
（3）求导，根据到导函数的单调性，结合极值点的定义即可求解.
【详解】（1）()2e 1ax f x a x x '=+-+，
由题意可知0x =是()f x 在0x =处的切线方程，所以()010f a '=+=且()010f b =+=，故1,1
a b =-=-（2）由（1）知1,1a b =-=-，所以()()2
e 1x g x
f x x x -'==-+-+，
所以()e 21x
g x x -'=+-，
令()()()e 21,e 2x x
h x g x x h x --''==+-=-+，
当()()ln 2,0,x h x h x '>->单调递增，当()()ln 2,0,x h x h x '<-<单调递减，因此()()h x g x '=在()0,∞+单调递增，故()(0)0g x g ''>=，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增
（3）由（2）知:当ln 2,()x g x '>-单调递增，当ln 2,()x g x '<-单调递减，
所以当ln 2x =-时，()g x '取最小值，且(0)0g '=，()()2
2e 50,1e 30,g g ''-=->-=-<故存
在()02,1x ∈--，使得()00,
g x '=因此当0x >和0,()0,x x g x '<>当00,()0,
x x g x '<<<因此()()f x g x '=在()0,+∞上单调递增，在()0,x -∞上单调递增，在()0,0x 时单调递减，
由于()333
3e 93113e 13 2.70f '-=-+++=-<-<，(0)0f '=，。