河南省实验中学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试题(包含答案解析)

一、选择题
1．若关于x 的一元二次方程2(2)210m x x --+=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．3m <
B ．3m
C ．3m <且2m ≠
D ．3m 且2m ≠ 2．用配方法解方程2x 4x 70+-=，方程应变形为（ ） A ．2(2)3x += B ．2 (x+2)11= C ．2 (2)3?x -= D ．2()211x -= 3．方程22x x =的解是（ ）
A ．0x =
B ．2x =
C ．10x =，22x =
D ．10x =，2x =4．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A ．15%
B ．40%
C ．25%
D ．20%
5．为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元，若设5月、6月每月的增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．()2001500x +=
B ．()2002001500x ++=
C ．()22001500+=x
D ．()20012500+=x
6．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（ ） A ．3
B ．6
C ．8
D ．9 7．一元二次方程20x x -=的根是（ ） A ．10x =，21x =
B ．11x =，21x =-
C ．10x =，21x =-
D ．121x x == 8．用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm 2的矩形？设矩形的一边为x 米，根据题意，可列方程为（ ）
A ．x （40－x ）＝75
B ．x （20－x ）＝75
C ．x （x ＋40）＝75
D ．x （x ＋20）＝7 9．关于x 的方程()---=2a 3x 4x 10有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．1a ≥-且3a ≠
B ．1a >-且3a ≠
C ．1a ≥-
D ．1a >- 10．有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一个人传染
了（ ）人．
A ．40
B ．10
C ．9
D ．8 11．已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242020m m -+的值为（ ）
A ．2022
B ．2021
C ．2020
D ．2019 12．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为（ ）
A 31
B ．31
C 31或31
D ．无法确定
二、填空题
13．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．
14．对于任意实数a ，b ，定义：22a b a ab b =++◆．若方程()250x -=◆的两根记为m 、n ，则22m n +=______．
15．若二次式236x -的值与2x -的值相等，则x 的值为_______．
16．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则k =______． 17．已知方程22610x x -+=的两根为12,x x ，则2212x x +=_______．
18．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了______人．
19．若a ，b 是方程22430x x +-=的两根，则22a ab b +-=________．
20．已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，则m =_________．
三、解答题
21．（1）x 2﹣8x+1＝0；
（2）2（x ﹣2）2＝x 2﹣4．
22．关于x 的一元二次方程()2
220x k x k -++=． （1）判断方程根的情况，并说明理由．
（2）若1x =是方程的一个根，求k 的值和方程的另一根．
23．按要求的方法解方程，否则不得分．
（1）2450x x -=+（配方法）
（2）22730x x -+=（公式法）
（3）(1)(2)24x x x ++=+（因式分解法）
24．（1）解方程290x （直接开平方法）
（2）若关于x 的一元二次方程()221534m x x m m +++-=的常数项为0，求m 的值．
25．如图,为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种两种不同的花卉，墙外宽度无限，墙的最大可用长度是11.5m ，现有长为21m 的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的长方形花圃．
（1）若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB 的长应是多少？
（2）花的面积能否达到39平方米？若能，求出边AB 的长；若不能，请说明理由．
26．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m
--+的值． 对于代数式2ax bx c ++，若存在实数n ，当x=n 时，代数式的值也等于n ，则称n 为这个代数式的不变值. 例如：对于代数式2x ，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值. 在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A ．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0．
(1)代数式22x -的不变值是________，A=________．
(2)已知代数式231x bx -+，若A=0，求b 的值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac 的意义得到m-2≠0且△≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程（m-2）x 2-2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m 的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 2．B
解析：B
【分析】
根据配方法解一元二次方程的方法解答即可．
解：用配方法解方程2
470x x ，方程应变形为24411x x ++=，即()2
211x +=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方的方法是解题的关键． 3．C
解析：C
【分析】
移项并因式分解，得到两个关于x 的一元一次方程，即可求解．
【详解】
解：移项，得220x x -=，
因式分解，得()20x x -=，
∴0x =或20x -=，
解得10x =，2
2x =，
故选：C ．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 4．D
解析：D
【分析】
设平均每次降价的百分率为x ，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为x ，
依题意，得：100（1-x ）2=64，
解得：x 1=0.2=20%，x 2=1.8（不合题意，舍去）．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．C
解析：C
【分析】
根据“4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元”，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，
200（1+x ）2＝500，
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题．
6．D
解析：D
【分析】
根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：260x x c -+=有两个相等的实根，
2(6)40c ∴∆=--=，
解得：9c =
故选：D ．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
解：∵x 2-x=0，
∴x （x-1）=0，
则x=0或x-1=0，
解得：x 1=0，x 2=1，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．B
解析：B
【分析】
根据长方形的周长可以用x 表示另一边，然后根据面积公式即可列出方程.
【详解】
解：设矩形的一边为x 米，则另一边为（20-x ）米，
∴x （20－x ）＝75，
故选：B.
此题考查一元二次方程的实际应用，根据题意抽象出一元二次方程是解题的关键. 9．B
解析：B
【分析】
方程有两个不相等的实数根，显然原方程应该是关于x 的一元二次方程，因此得到二次项系数不为0即当a-3≠0时，且判别式0∆>即可得到答案．
【详解】
∵关于x 的方程()32
a x 4x 10---=有两个不相等的实数根 ∴a-3≠0，且2=(4)4(3)(1)440a a ∆--⨯-⨯-=+>
解得：1a ≥-且a≠3
故选B ．
【点睛】
本题主要考查方程的解，一元二次方程的根的判别式，根据判别式，列出关于参数a 的不等式，是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则一轮传染后共有（1+x ）人被传染，两轮传染后共有[（1+x ）+x(1+x)]人被传染，由题意列方程计算即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，
由题意，得：（1+x ）+x(1+x)=81，
即x 2+2x ﹣80=0，
解得：x 1=8，x 2=﹣10（不符合题意，舍去），
故每轮传染中平均一个人传染了8人，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
11．A
解析：A
【分析】
把x m =代入方程2210x x --=求出221m m -=，把2242020m m -+化成
()
2222020m m -+，再整体代入求出即可．
【详解】
∵把x m =代入方程2210x x --=得：2210m m --=，
∴221m m -=，
∴()
222420202220202120202022m m m m -+=-+=⨯+=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，采用了整体代入的方法．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12．C
解析：C
【分析】
先根据数值运算程序可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解方程即可得．
【详解】
由题意得：()2
319x --=-， ()213x -=，
1-=x ，
1x =±
即1x =或1x =，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，根据数值运算程序正确建立方程是解题关键．
二、填空题
13．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解
解析：1+x+x 2=91
【分析】
如果设每个支干分出x 个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．
【详解】
解：依题意得支干的数量为x 个，
小分支的数量为x•x=x 2个，
那么根据题意可列出方程为：1+x+x 2=91，
故答案为：1+x+x 2=91．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
14．6【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2+2x ﹣1=0的两个根利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2mn=﹣1将其代入m2+n2=（m+n ）2﹣2mn 中即可得出结论【详解】解：∵（x ◆2）﹣5=x2+
解析：6
【分析】
根据新定义可得出m 、n 为方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣1，将其代入m 2+n 2=（m+n ）2﹣2mn 中即可得出结论．
【详解】
解：∵（x ◆2）﹣5=x 2+2x+4﹣5，
∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，
∴m+n=﹣2，mn=﹣1，
∴m 2+n 2=（m+n ）2﹣2mn=6．
故答案为6．
【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a
是解题的关键． 15．-1或【分析】先根据题意列出关于x 的方程整理为一般式再利用因式分解法求解即可【详解】解：根据题意得：3x2-6=x-2整理得：3x2-x-4=0∴（x+1）（3x-4）=0∴x+1=0或3x-4=0
解析：-1或
43 【分析】
先根据题意列出关于x 的方程，整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：根据题意，得：3x 2-6=x-2，
整理，得：3x 2-x-4=0，
∴（x+1）（3x-4）=0，
∴x+1=0或3x-4=0， 解得1241,,3=-=
x x ∴当x=-1或43
时，二次式3x 2-6的值与x-2的值相等， 故答案为：-1或
43 【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方
法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题 解析：4
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，
∴()2
24440b ac k ∆=-=--=， 解得：4k =；
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
17．8【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可列出两根之和及两根之积的值再对其进行变形即可求解【详解】由题可得：∴故答案为：8【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系进行变形求值熟记结论且灵活变形是解 解析：8
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系，可列出两根之和及两根之积的值，再对其进行变形即可求解．
【详解】 由题可得：1212132x x x x +==
，， ∴()222212121212329182
x x x x x x +=+-=-⨯
=-=， 故答案为：8．
【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系进行变形求值，熟记结论且灵活变形是解题关键． 18．3【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人则第一轮共有人患病第二轮后患病人数有人从而列方程再解方程可得答案【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人则：或或经检验：不符合题意舍去取答：每轮传染中平均一 解析：3
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮共有()1x +人患病，第二轮后患病人数有
()21x +人，从而列方程，再解方程可得答案．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，
则：()1+116,x x x ++=
()2
116,x ∴+=
14x ∴+=或14,x +=- 3x ∴=或5,x =-
经检验：5x =-不符合题意，舍去，取 3.x =
答：每轮传染中平均一个人传染了3人．
故答案为：3.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用中的传播问题是解题的关键．
19．4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2ab=-再变形后代入即可求出答案
【详解】解：∵是方程的两根∴故答案为：4【点睛】本题考查了根与系数的关系能够整体代入是解此题的关键
解析：4
【分析】
根据根与系数的关系得出a+b=-2，ab=-
32
，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】
解：∵a ，b 是方程22430x x +-=的两根， ∴42232a b ab ⎧+=-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ()()()222222224a ab b a a b b a b a b +-=+-=--=-+=-⨯-=．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，能够整体代入是解此题的关键．
20．－8【分析】利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程解这个方程即可【详解】已知是关于x 的方程的一个根故答案为：-8【点睛】本题考查一元二次方程的根问题掌握方程的根的性质会用方程的解代入构造 解析：－8
【分析】
利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程，解这个方程即可
【详解】
已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，
22220m +⨯+=
8m =-
故答案为：-8
【点睛】
本题考查一元二次方程的根问题，掌握方程的根的性质，会用方程的解代入构造参数方程是解题关键
三、解答题
21．（1）x 1＝x 2＝42）x 1＝2，x 2＝6．
【分析】
（1）先配方、然后运用直接开平方求解即可；
（2）先将等式右边因式分解，然后移项，最后用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）x 2﹣8x+1＝0，
x 2﹣8x ＝﹣1，
x 2﹣8x+16＝﹣1+16，
（x ﹣4）2＝15，
∴x ﹣4＝
∴x
1＝x 2＝4
（2）∵2（x ﹣2）2＝x 2﹣4，
∴2（x ﹣2）2﹣（x+2）（x ﹣2）＝0，
则（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，
∴x ﹣2＝0或x ﹣6＝0．
解得x 1＝2，x 2＝6．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键．
22．（1）有两个实数根，证明见解析；（2）1k =，2x =
【分析】
（1）利用根的判别式进行判断根的情况，即可得到答案；
（2）把1x =代入方程，即可求出k 的值，然后解一元二次方程，即可得到另一个根．
【详解】
解：（1）根据题意，在一元二次方程()2
220x k x k -++=中， ∵2(2)42k k ∆=+-⨯，
244k k =-+，
2(2)0k =-，
∴对于任意的实数k ，原方程总有两个实数根．
（2）∵1x =是方程2(2)20x k x k -++=的一个根．
∴1(2)120k k -+⨯+=，
解得：1k =，
∴原方程为2320x x -+=，
解得：11x =，22x =，
∴原方程的另一根为2
2x =．
【点睛】 本题考查了解一元二次方程以及根的判别式，牢记当0∆≥时方程有两个实数根是解题的关键．
23．（1）1215x x ==-，；（2）12132
x x ==
，；（3）1221x x ，=-=． 【分析】
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）方程整理后利用因式分解法解方程即可．
【详解】
（1）2450x x -=+，
移项得：245x x +=，
配方得：24454x x ++=+，即()229x +=，
直接开平方得：23x +=±，
∴1215x x ==-，；
（2）22730x x -+=，
∵2a =，7b =-，3c =， ()2247423250b ac =-=--⨯⨯=>，
∴754
x ±==， ∴12132
x x ==
，； （3）(1)(2)24x x x ++=+， 整理得：23224x x x ++=+，即220x x +-=，
因式分解得：()()210x x +-=，
∴20x +=或10x -=，
∴1221x x ，=-=．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是会用配方法、公式法、因式分解法解方程． 24．（1）13x =，23x =-；（2）4
【分析】
（1）利用直接开平方法求解可得答案；
（2）根据常数项为0得出关于m 的方程，解之求出m 的值，结合一元二次方程的定义可得答案．
【详解】
（1）解：290x （直接开平方法）
29x =，
∴3x =±，
∴13x =，23x =-．
（2）解：∵关于x 的一元二次方程()22
1534m x x m m +++-=的常数项为0， ∴210340m m m +≠⎧⎨--=⎩
， 解得4m =，1m =-（舍去），
∴m 的值为4．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，也考查了一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
25．（1）AB 的长应是4米；（2）花的面积不能达到39平方米．
【分析】
（1）设AB=x 米，根据题意列一元二次方程，解方程，把不合题意的解舍去即可求解； （2）设AB=x 米，根据题意列一元二次方程，方程无实数根，即可求解．
【详解】
解：（1）设AB=x 米，
由题意得 x （21-3x ）=36，
整理得 27120x x -+=，
解得123,4x x ==，
当x=3时，21-3x=12＞11.5，不合题意，舍去；
当x=4时，21-4x=9＜11.5，符合题意．
答：若要围成总面积为36平方米的花圃，边AB 的长应是4米．
（2）设AB=x 米，
由题意得 x （21-3x ）=39，
整理得 27130x x -+=，
()2
247411330b ac ∆=-=--⨯⨯=-＜
∴方程无实数根，
∴无法围成总面积为39平方米的花圃．
答：无法围成总面积为39平方米的花圃．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键，解题时注意根据题意检验根的合理性．
26．（1）-1，2；3；（2）11b =-+21b =--【分析】
（1）根据不变值的定义可得出关于x 的一元二次方程，解之即可求出x 的值，再作差后可求出A 的值；
（2）由A=0可得出方程23(1)1x b x -++=0有两个相等的实数根，进而可得出△=0，解答
即可得出结论．
【详解】
解：（1）根据题意得，220x x --=，
解得，11x =-，22x =
∴A=2-（1）=2+1=3，
故答案为：-1，2；3；
（2）根据题意得，23(1)1x b x -++=0有两个相等的实数根，
∴△=[- (b+1)]2-4×3×1=0
∴11b =-+21b =--【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．。