线性相关分析
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第二十一页，共22页
4．结果解释及正确应用
➢ 反应两变量关系密切程度或数量上影响大小的统计
量应该是回归系数或相关系数的绝对值，而不是假 设检验的P值。
➢ P值越小只能说越有理由认为变量间的直线关系存在，而 不能说关系越密切或越“显著”。另外，直线回归用于预 测时，其适用范围一般不应超出样本中自变量的取值范围 。
绝H0，接受H1， 与0t.0检5验结论相同。
水准拒
第十二页，共22页
第四节 相关系数的可信区间
统计推断包括假设检验和区间估计，前面已学过相关系
数的假设检验，假设检验只是回答了总体相关系数 是否存 在的问题，如果想知道的 大致范围，就需要计算的 可信
区间。
由于r呈非正态分布，故不能直接用r求可信区间，而是 首先对r作Z转换，以消除这种偏态
（1） 散点图可考察两变量是否有直线趋势； （2） 可发现异常点（outlier）。
散点图对异常点的识别与处理需要从专业知识和现有数据两 方面来考虑，结果可能是现有回归模型的假设错误需要改变模 型形式，也可能是抽样误差造成的一次偶然结果甚至过失误差 。需要认真核对原始数据并检查其产生过程认定是过失误差， 或者通过重复测定确定是抽样误差造成的偶然结果，才可以谨 慎地剔除或采用其它估计方法。
第五页，共22页
r lX Y 10.6315 0.91 lX XlY Y 2.635051.6836
第六页，共22页
三、应用线性相关系数r时应注意的问题： 1. r只表示两个服从正态分布的随机变量之间 线性关系的密切程度和相关方向，r=0只能说X与Y 之间无线性关系，并不能说X与Y之间无任何关系 。 2. 相关关系并不一定是因果关系。相关分析的 任务就是对相关关系给以定量的计算和描述。
第二十二页，共22页
联的两种现象勉强作回归或相关分析。
第十八页，共22页
相关关系不一定是因果关系，可能仅是表面上的伴随 关系，或两个变量同时受另一因素的影响，如小孩的身高 和小树的树高同时受时间的影响，在校儿童的鞋的大小和 阅读技能同时受年龄的影响。
不能只根据相关系数r的绝对值的大小来推断两事 物现象之间有无相关以及相关的密切程度，而必须对r
线性相关分析
第一页，共22页
第一节 线性相关的概念
一、概念：相关系数（correlation coefficient）又称 Pearson积差相关系数，用来说明具有直线关系的两变量间相
关的密切程度与相关方向。
以符号 r 表示样本相关系数，符号 表示其总体相关系数。
相关系数没有单位，其值为-1 r 1。r值为正表示正
0.05
第十页，共22页
检验步骤
（2）计算检验统计量 本例n=16，
r=0.91，按公式（13-2）
0.9110
tr
8.2653
10.91102 /162
（3）查 t 界值表，确定 P 值，下结论。按自由度 14 ，查 t 界值
表，得 t 0 .0 1 / 2 ,1 4 2 . 9 7 7 ，
进行相关系数的假设检验。另外，不要把相关系数的显 著性误解为两事物或现象相关的强度，例如对于相关系
数的假设检验来说，P<0.01比P<0.05更有理由认为相关
关系成立，但并不能得出前者比后者相关关系更密切的结
论，相关关系的强度是用r的绝对值来反映的。
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2．进行相关、回归分析前应绘制散点图—第一步
Zu/2/ n3
第十四页，共22页
最后，对此区间的上下限作反变换，
rtanZh
r
e2z e2z
1 1
例13-4 （续例13-1） 例13-2中，求得样本相关系数r=0.9110，求
的 95%可信区间。
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Z ta n h 1 r ta n h 1 0 .9 1 1 0 1 .5 3 3 4
Zu /2/ n3 1 .5 3 3 4 1 .9 6/ 1 63 = 0 .9 8 9 8 ~ 2 .0 7 7 0
e e2 2 0 0..9 98 89 98 8 1 1~e e2 2 2 2..0 07 77 70 0 1 10.76~0.97
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第五节 直线回归与相关应用的注意事项
公式 13-1 中，可得:
lXX X 2 ( X )2 / n 202.1506 56.502 /16 2.6350 ， lYY Y 2 ( Y )2 / n 6239.8658 314.662 /16 51.6836 ， lXY XY ( X )(Y) / n 1121.7746 56.50314.66/16 10.6315
相关，r值为负表示负相关， r绝对值反应两变量 间相关关系的密切程度，绝对值越大说明相关关系 越密切， r的绝对值等于1为完全相关，r=0为零相
关。
第二页，共22页
第三页，共22页
二、 计算公式 样本相关系数的计算公式为
r
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(X X )(Y Y )
lXY
( X X )2 (Y Y )2 lXX lYY
（13-1）
第四页，共22页
例13-2 （续例13-1）计算表13-1中体 重指数和收缩压的相关系数。
解： 1．绘制散点图，观察两变量之间是否有线性趋势。 从图13-1可见 ，体重指数与收缩压之间呈线性趋势，且方向相同，为正相关。 2．计算相关系数。从表13-1的合计栏中，已得出基本数据：
X 56.50 , Y 314.66 , X 2 202.1506, Y 2 6239.8658 ， XY 1121.7746 ，n=16。代入
Ztanh1r
Z
1
1r ln
2 1r
式中为tanh为双曲正切函数，tanh-1为反双曲正切函数， SZ 为Z的标准误。
第十三页，共22页
转换后的Z统计量服从方差为 1/(n 的3)正态分布，用下式计算Z统
计量总体均数的100（1- ）%可信区间。当 0时.0，5即为
95%可信区间。
Z u /2 /n 3 ,Z u /2 /n 3
第二十页，共22页
3．资料的要求
直线相关分析要求 X与Y 服从双变量正态分布； 直线回归要求至少对于每个 X 相应的 Y 要服从正态分
布，X可以是服从正态分布的随机变量也可以是能精确测量和 严格控制的非随机变量；
* 对于双变量正态分布资料，根据研究目的可选择由 X 估 计 Y 或者由 Y 估计 X ，一般情况下两个回归方程不相同）
tr t0.01/ 2,14 ，则 P<0.01，按 0 .0 5 水准拒绝 H0，接受 H1，可
认为体重指数和收缩压之间存在正相关关系。
第十一页，共22页
2. 查表法 根据自由度 14，查附表13相关系数r界值表，
， t0.01/2,1，4本例2r.9 =7 0.7 91，tr所以t0.0P1/<2,014.01，按
第十七页，共22页
1．根据分析目的选择变量及统计方法
Ø 直线相关用于说明两变量之间直线关系的方向和密切程
度，X与Y没有主次之分； Ø 直线回归则进一步地用于定量刻画应变量Y对自变量X
在数值上的依存关系，其中应变量的定夺主要依专业要求
而定，可以考虑把易于精确测量的变量作为X，另一个随机 变量作Y，例如用身高估计体表面积。 Ø 两个变量的选择一定要结合专业背景，不能把毫无关
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第二节 相关系数的假设检验
第八页，共22页
t r0 Sr
r , n2
1 r2 n2
（13-2）
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例13-3 （续例13-1） 根据样本相关系数， 对总体相关系数=0进行假设检验。
解：
1. t检验法 检验步骤如下：
（1）建立假设，确定检验水准 。
H0: =0（变量间不存在线性相关关系）； H1: 0（变量间有线性相关关系）；
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4．结果解释及正确应用
➢ 反应两变量关系密切程度或数量上影响大小的统计
量应该是回归系数或相关系数的绝对值，而不是假 设检验的P值。
➢ P值越小只能说越有理由认为变量间的直线关系存在，而 不能说关系越密切或越“显著”。另外，直线回归用于预 测时，其适用范围一般不应超出样本中自变量的取值范围 。
绝H0，接受H1， 与0t.0检5验结论相同。
水准拒
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第四节 相关系数的可信区间
统计推断包括假设检验和区间估计，前面已学过相关系
数的假设检验，假设检验只是回答了总体相关系数 是否存 在的问题，如果想知道的 大致范围，就需要计算的 可信
区间。
由于r呈非正态分布，故不能直接用r求可信区间，而是 首先对r作Z转换，以消除这种偏态
（1） 散点图可考察两变量是否有直线趋势； （2） 可发现异常点（outlier）。
散点图对异常点的识别与处理需要从专业知识和现有数据两 方面来考虑，结果可能是现有回归模型的假设错误需要改变模 型形式，也可能是抽样误差造成的一次偶然结果甚至过失误差 。需要认真核对原始数据并检查其产生过程认定是过失误差， 或者通过重复测定确定是抽样误差造成的偶然结果，才可以谨 慎地剔除或采用其它估计方法。
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r lX Y 10.6315 0.91 lX XlY Y 2.635051.6836
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三、应用线性相关系数r时应注意的问题： 1. r只表示两个服从正态分布的随机变量之间 线性关系的密切程度和相关方向，r=0只能说X与Y 之间无线性关系，并不能说X与Y之间无任何关系 。 2. 相关关系并不一定是因果关系。相关分析的 任务就是对相关关系给以定量的计算和描述。
第二十二页，共22页
联的两种现象勉强作回归或相关分析。
第十八页，共22页
相关关系不一定是因果关系，可能仅是表面上的伴随 关系，或两个变量同时受另一因素的影响，如小孩的身高 和小树的树高同时受时间的影响，在校儿童的鞋的大小和 阅读技能同时受年龄的影响。
不能只根据相关系数r的绝对值的大小来推断两事 物现象之间有无相关以及相关的密切程度，而必须对r
线性相关分析
第一页，共22页
第一节 线性相关的概念
一、概念：相关系数（correlation coefficient）又称 Pearson积差相关系数，用来说明具有直线关系的两变量间相
关的密切程度与相关方向。
以符号 r 表示样本相关系数，符号 表示其总体相关系数。
相关系数没有单位，其值为-1 r 1。r值为正表示正
0.05
第十页，共22页
检验步骤
（2）计算检验统计量 本例n=16，
r=0.91，按公式（13-2）
0.9110
tr
8.2653
10.91102 /162
（3）查 t 界值表，确定 P 值，下结论。按自由度 14 ，查 t 界值
表，得 t 0 .0 1 / 2 ,1 4 2 . 9 7 7 ，
进行相关系数的假设检验。另外，不要把相关系数的显 著性误解为两事物或现象相关的强度，例如对于相关系
数的假设检验来说，P<0.01比P<0.05更有理由认为相关
关系成立，但并不能得出前者比后者相关关系更密切的结
论，相关关系的强度是用r的绝对值来反映的。
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2．进行相关、回归分析前应绘制散点图—第一步
Zu/2/ n3
第十四页，共22页
最后，对此区间的上下限作反变换，
rtanZh
r
e2z e2z
1 1
例13-4 （续例13-1） 例13-2中，求得样本相关系数r=0.9110，求
的 95%可信区间。
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Z ta n h 1 r ta n h 1 0 .9 1 1 0 1 .5 3 3 4
Zu /2/ n3 1 .5 3 3 4 1 .9 6/ 1 63 = 0 .9 8 9 8 ~ 2 .0 7 7 0
e e2 2 0 0..9 98 89 98 8 1 1~e e2 2 2 2..0 07 77 70 0 1 10.76~0.97
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第五节 直线回归与相关应用的注意事项
公式 13-1 中，可得:
lXX X 2 ( X )2 / n 202.1506 56.502 /16 2.6350 ， lYY Y 2 ( Y )2 / n 6239.8658 314.662 /16 51.6836 ， lXY XY ( X )(Y) / n 1121.7746 56.50314.66/16 10.6315
相关，r值为负表示负相关， r绝对值反应两变量 间相关关系的密切程度，绝对值越大说明相关关系 越密切， r的绝对值等于1为完全相关，r=0为零相
关。
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二、 计算公式 样本相关系数的计算公式为
r
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(X X )(Y Y )
lXY
( X X )2 (Y Y )2 lXX lYY
（13-1）
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例13-2 （续例13-1）计算表13-1中体 重指数和收缩压的相关系数。
解： 1．绘制散点图，观察两变量之间是否有线性趋势。 从图13-1可见 ，体重指数与收缩压之间呈线性趋势，且方向相同，为正相关。 2．计算相关系数。从表13-1的合计栏中，已得出基本数据：
X 56.50 , Y 314.66 , X 2 202.1506, Y 2 6239.8658 ， XY 1121.7746 ，n=16。代入
Ztanh1r
Z
1
1r ln
2 1r
式中为tanh为双曲正切函数，tanh-1为反双曲正切函数， SZ 为Z的标准误。
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转换后的Z统计量服从方差为 1/(n 的3)正态分布，用下式计算Z统
计量总体均数的100（1- ）%可信区间。当 0时.0，5即为
95%可信区间。
Z u /2 /n 3 ,Z u /2 /n 3
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3．资料的要求
直线相关分析要求 X与Y 服从双变量正态分布； 直线回归要求至少对于每个 X 相应的 Y 要服从正态分
布，X可以是服从正态分布的随机变量也可以是能精确测量和 严格控制的非随机变量；
* 对于双变量正态分布资料，根据研究目的可选择由 X 估 计 Y 或者由 Y 估计 X ，一般情况下两个回归方程不相同）
tr t0.01/ 2,14 ，则 P<0.01，按 0 .0 5 水准拒绝 H0，接受 H1，可
认为体重指数和收缩压之间存在正相关关系。
第十一页，共22页
2. 查表法 根据自由度 14，查附表13相关系数r界值表，
， t0.01/2,1，4本例2r.9 =7 0.7 91，tr所以t0.0P1/<2,014.01，按
第十七页，共22页
1．根据分析目的选择变量及统计方法
Ø 直线相关用于说明两变量之间直线关系的方向和密切程
度，X与Y没有主次之分； Ø 直线回归则进一步地用于定量刻画应变量Y对自变量X
在数值上的依存关系，其中应变量的定夺主要依专业要求
而定，可以考虑把易于精确测量的变量作为X，另一个随机 变量作Y，例如用身高估计体表面积。 Ø 两个变量的选择一定要结合专业背景，不能把毫无关
第七页，共22页
第二节 相关系数的假设检验
第八页，共22页
t r0 Sr
r , n2
1 r2 n2
（13-2）
第九页，共22页
例13-3 （续例13-1） 根据样本相关系数， 对总体相关系数=0进行假设检验。
解：
1. t检验法 检验步骤如下：
（1）建立假设，确定检验水准 。
H0: =0（变量间不存在线性相关关系）； H1: 0（变量间有线性相关关系）；