1.4.2 球坐标系 课件(人教A选修4-4)

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[通一类] 2 6 2 2.设点 M 的直角坐标为( 4 , 4 ,- 2 ),求它的球坐标. 解:由变换公式得
r= x +y +z =
2 2 2
2 6 2 16+16+4=1,
2 2 3π 由 rcos φ=z=- 2 得 cos φ=- 2 ,φ= 4 . y 又 tan θ=x= 3(x>0,y>0), π 得 θ=3. 3π π ∴M 的球坐标为(1, 4 ,3).
[小问题·大思维] 1.在球坐标系中,方程r=r0(r0为正常数)表示什么图形? 提示:在空间的球坐标系中,方程r=r0(r0为正常数)表示球 心在原点,半径为r0的球面. 2.在球坐标系中,方程θ=θ0(0≤θ0<2π)表示什么图形? 提示:在球坐标系中,方程θ=θ0(0≤θ<2π)表示过
.
在测量实践中,球坐标中的角θ称为被测点P(r,φ,θ)的方 位角, 90°-φ 称为高低角.
2.空间直角坐标与球坐标的转化 空间点 P 的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变
cos x= rsin φ· θ sin 换关系为y= rsin φ· θ z= rcos φ .
[通一类] 3.用两平行面去截球,如图,在两个截面圆上有两个点,它们的 π 3 球坐标分别为 A(8,4,θA)、B(8,4π,θB),求出这两个截面间 的距离.
π 3π 解:由已知,OA=OB=8,∠AOO1=4,∠BOO1= 4 , ∴在△AOO1 中,OO1=4 2. π 在△BOO2 中,∠BOO2=4,OB=8, ∴OO2=4 2,则 O1O2=OO1+OO2=8 2. 即两个截面间的距离 O1O2 为 8 2.
[悟一法] 由直角坐标化为球坐标时, 我们可以先设点 M 的球坐标为(r, x=rsin φcos θ, θ,φ),再利用变换公式y=rsin φsin θ, z=rcos φ
2 2 2 2
求出 r、θ、φ 代入点
y z 的球坐标即可;也可以利用 r =x +y +z ,tan θ=x,cos φ=r. 特别注意由直角坐标求球坐标时, 和 φ 的取值应首先看清点所在 θ 的象限,准确取值,才能无误.
[悟一法] 已知球坐标求直角坐标,可根据变换公式直接求解,但要分 清哪个角是 φ,哪个角是 θ.
[通一类] 3π π 1.已知点 P 的球坐标为(4, 4 ,4)求它的直角坐标.
解:由变换公式得: 3π π x=rsin φcos θ=4sin 4 cos 4=2. 3π π y=rsin φsin θ=4sin 4 sin 4=2. 3π z=rcos φ=4cos 4 =-2 2. ∴它的直角坐标为(2,2,-2 2).
离问题.解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法.
π π π 2π 如图所示,因为 A(R,4,6),B(R,4, 3 ), π 可知∠AOO1=∠O1OB=4, π ∴∠O1AO=∠O1BO=4. π 2π 又∠EOC=6,∠EOD= 3 , 2π π π ∴∠COD= 3 -6=2. π ∴∠AO1B=∠COD=2.
π 在 Rt△OO1B 中,∠O1BO=4,OB=R, 2 ∴O1B=O1A= 2 R. π ∵∠AO1B=2,∴AB=R. 在△AOB 中,AB=OB=OA=R, π ∴∠AOB=3. π 故飞机经过 A、B 两地的大圆,航线最短,其路程为 3R.
[悟一法] 我们根据 A、B 两地的球坐标找到纬度和经度,当飞机沿着 过 A、B 两地的大圆飞行时,飞机最快,求所飞行的路程实际上 是要求我们求出过 A、B 两地的球面距离.
面,它与zOx坐标面的夹角为θ0.
3.在球坐标系中,方程 φ=φ0(0≤φ0≤π)表示什么图形?
提示: 在球坐标系中, 方程 φ=φ0(0≤φ0≤π)表示顶点在原点, π 半顶角为 φ0 的圆锥面,它的中心轴是 z 轴,φ0<2时它在上 π π 半空间, 0>2时它在下半空间, 0=2时它是 xOy 平面(如图 φ φ 所示).
[研一题] [例 3] 在赤道平面上,我们选取地球球心 O 为极点,以 O
为端点且与零子午线相交的射线 Ox 为极轴,建立坐标系.有 A、 π π π 2π B 两个城市,它们的球坐标分别为 A(R,4,6),B(R,4, 3 ), 飞机沿球的大圆圆弧飞行时,航线最短,求最短的路程.
[精讲详析]
本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距
本课时考点在近几年的高考中未出现过.2012 年韶关模拟以 空间两点间的距离为载体考查了空间直角坐标与球坐标的转化. [考题印证] π π 3π 3π (2012· 韶关模拟)在球坐标系中 A(2, 4, 4 )和 B(2, 4 , 4 ) 的距离为________.
[命题立意]
本题考查空间球坐标与直角坐标的转化及空间
[读教材·填要点] 1.球坐标系
建立空间直角坐标系O xyz,设P是空间任意一点,连接OP,
记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ,设P在Oxy平面上的射 影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角θ.这样 点P的位置就可以用有序数组 (r,φ,θ) 表示.这样,空间的点 与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应 关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ, P(r,φ,θ) θ)叫做点P的球坐标,记作 ,其中
[研一题] [例 2] 设点 M 的直角坐标为(1,1, 2),求它的球坐标.
[精讲详析]
本题考查直角坐标与球坐标的变换关系,解答
本题只需将已知条件代入变换公式求解即可,但应注意 θ 与 φ 的 取值范围. 由坐标变换公式,可得 r= x2+y2+z2= 12+12+ 22=2.
由 rcos φ=z= 2, 2 2 π 得 cos φ= r = 2 ,φ=4. y π 又 tan θ=x=1,θ=4(x>0,y>0), π π 从而知 M 点的球坐标为(2,4,4).
两点间的距离公式.
[解析]
A、B 两点化为直角坐标分别为:
A(1,1, 2)、B(-1,1,- 2). ∴|AB|= [1--1]2+1-12+[ 2-- 2]2 =2 3.
[答案]
2 3
x=rsin φcos θ, 由变换公式y=rsin φsin θ, z=rcos φ x=5sin 得y=5sin z=5cos 5 4 5 6πcos 3π=-4, 5 4 5 3 6πsin 3π=- 4 , 5 5 3 6π=- 2 .
5 5 3 5 3 故它的直角坐标为(-4,- 4 ,- 2 ).
[研一题] [例 1] 5 4 已知点 M 的球坐标为(5,6π,3π),求它的直角坐标.
[精讲详析]
本题考查球坐标与直角坐标的变换关系,解答
5 4 本题需要先搞清球坐标(5,6π,3π)中各个坐标的意义,然后代入 相应的公式求解即可. 5 4 ∵M 的球坐标为(5,6π,3π), 5 4 ∴r=5,φ=6π,θ=3π.
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