2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第一章§5.1正弦函数的图像 Word版含答案

§5 正弦函数的性质与图像
5．1 正弦函数的图像
1．问题导航
(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？
(2)利用“五点法”作y ＝sin x 的图像时，x 依次取－π，－π2，0，π
2
，π可以吗？
(3)作正弦函数图像时应留意哪些问题？ 2．例题导读
P 27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y ＝a sin x ＋b 在[0，2π]上的简图． 试一试：教材P 28练习题你会吗？
1．正弦函数的图像与五点法
(1)图像：正弦函数y ＝sin x 的图像叫作正弦曲线，如图所示．
(2)五点法：在平面直角坐标系中经常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x 轴的交点和函数取最大值、最
小值时的点)：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭
⎫3π
2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到
函数y ＝sin x 在[0，2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”．
(3)利用五点法作函数y ＝A sin x (A >0)的图像时，选取的五个关键点依次是：
(0，0)，⎝⎛⎭
⎫π
2，A ，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－A ，(2π，0)． 2．正弦曲线的简洁变换
函数y ＝sin x 与y ＝sin x ＋k 图像间的关系．
当k >0时，把y ＝sin x 的图像向上平移k 个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像； 当k <0时，把y ＝sin x 的图像向下平移|k |个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像．
1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )
(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( )
(3)用五点法作函数y ＝－2sin x 在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，⎝⎛
⎭
⎫π
2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭
⎫32π，2，(2π，0)．( )
(4)将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．( )
解析：(1)正确．观看正弦函数的图像知y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点． (2)正确．观看正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．
(3)正确．在函数y ＝－2sin x ，x ∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．
(4)正确．当x ∈[－π，π]时，y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥0，
－sin x ，sin x <0，
于是，将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x
轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像翻折到x 轴上方即可得函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像时，下列点不是关键点的是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C ．(π，0) D ．(2π，0)
解析：选A.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0)．
3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．
解析：0＋π2＋π＋3π
2
＋2π＝5π.
答案：5π
4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________．
(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像外形________，位置________．(填“相同”或“不同”)
解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2π]内最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，最低点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，－1.
(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像，外形相同，位置不同．
答案：(1)⎝⎛⎭⎫π2，1 ⎝⎛⎭
⎫3π
2，－1
(2)相同 不同
1．y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈R 的图像间的关系
(1)函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像是函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一部分．
(2)由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像外形完全全都，因此将y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像．
2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点
(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐．
(2)“五点法”的实质是在函数y ＝sin x 的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的外形．
(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的状况下常用此法，要切实把握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常消灭在高考试题中．
3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点 (1)应用的前提条件是精确度要求不是太高． (2)五个点必需是确定的五点．
(3)用光滑的曲线顺次连接时，要留意线的走向，一般在最高(低)点的四周要平滑，不要消灭“拐角”现象．
(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”．
用五点法作正弦型函数的图像
用五点法画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图． (链接教材P 27例1) [解] 步骤：①列表：
x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 y
－1
1
－1
－3
－1
②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：
(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，－1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，－3，(2π，－1)．
③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．
方法归纳
作形如函数y ＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]的图像的步骤
1．(1)函数f (x )＝a sin x ＋b ，(x ∈[0，2π])的图像如图所示，则f (x )的解析式为
( )
A ．f (x )＝1
2
sin x ＋1，x ∈[0，2π]
B ．f (x )＝sin x ＋1
2，x ∈[0，2π]
C ．f (x )＝3
2sin x ＋1，x ∈[0，2π]
D ．f (x )＝32sin x ＋1
2
，x ∈[0，2π]
(2)用五点法作出下列函数的简图．
①y ＝2sin x ，x ∈[0，2π]； ②y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]．
解：(1)选A.将图像中的特殊点代入f (x )＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]，不妨将(0，1)与⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，1.5代入得
⎩⎨⎧a sin 0＋b ＝1，a sin π2＋b ＝1.5，
解得b ＝1，a ＝0.5，故f (x )＝1
2
sin x ＋1，x ∈[0，2π]． (2)①列表：
x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2sin x
2
－2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
②列表：
x 0 π
2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x
2
1
2
3
2
描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：
利用正弦函数的图像求函数的定义域
求函数f (x )＝lg (sin x )＋16－x 2的定义域． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 4)
[解] 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，
16－x 2
≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，
作出y ＝sin x 的图像，如图所示．
结合图像可得：该函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)． 方法归纳
一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观看得到，同时要留意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般状况．
2．求函数y ＝log 21
sin x
－1的定义域.
解：为使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0
⇔0<sin x ≤1
2
.
依据正弦曲线得，函数定义域为
⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
2k π＋5π6，2k π＋π，k ∈Z .
利用正弦函数的图像确定方程解的个数
在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图像，依据图像推断出方程sin x ＝lg x 的解的个数． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 1(1))
[解] 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，再依次向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图像．
作出y ＝lg x 的图像，如图所示．
由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．
若本例中的函数y ＝lg x 换为y ＝x 2，则结果如何？
解：在同始终角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝sin x 的图像，如图所示．
由图知函数y ＝x 2和y ＝sin x 和图像有两个交点，则方程x 2－sin x ＝0有两个根． 方法归纳
方程根(或个数)的两种推断方法
(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．
(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观看与x 轴的
交点个数，有几个交点原方程就有几个根．
②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观看交点个数，有几个交点原方程就有几个根．
3．(1)函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 的图像的交点有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 (2)争辩方程10sin x ＝x (x ∈R )根的个数．
解：(1)选B.在同始终角坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图像，由图像可以看出有3个交点．
(2)如图所示，当x ≥4π时，x 10≥4π10>1≥sin x ；当x ＝52π时，sin x ＝sin 52π＝1，x 10＝5π
20，1>5π20，从而x >0
时，有3个交点，由对称性知x <0时，有3个交点，加上x ＝0时的交点为原点，共有7个交点．即方程有7个根．
思想方法
数形结合思想的应用
求满足下列条件的角的范围．
(1)sin x ≥12；(2)sin x ≤－2
2
.
⎝⎛⎭⎫0，12作x 轴
[解] (1)利用“五点法”作出y ＝sin x 的简图，过点
⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6，12两的平行线，在[0，2π]上，直线y ＝1
2
与正弦曲线交于⎝⎛⎭⎫π6，12，点．结合图形可知，在[0，2π]内，满足y ≥1
2
时x 的集合为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6≤x ≤5π6.因此，当x ∈R 时，若y ≥1
2，则x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .
(2)同理，满足sin x ≤－
2
2的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5π4＋2k π≤x ≤74π＋2k π，k ∈Z . [感悟提高] 形如sin x >a (<a )的不等式，求角x 的范围，一般接受数形结合的思想来解题，具体步骤： (1)画出y ＝sin x 的图像，画直线y ＝a .
(2)若解sin x >a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 上方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围． 若解sin x <a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 下方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围．
1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )
解析：选B.利用五点法画图，函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的图像肯定过点(0，1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，0，(π，1)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，1)，故B 项正确．
2．已知点M ⎝⎛⎭
⎫π
4，b 在函数f (x )＝2sin x ＋1的图像上，则b ＝________．
解析：b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＝2sin π4＋1＝2.
答案：2
3．若函数f (x )＝2sin x －1－a 在⎣⎡⎦⎤π
3，π上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．
解析：令f (x )＝0得2sin x ＝1＋a .
作出y ＝2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π3，π上的图像，如图所示．
要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π3，π上有两个零点，需满足3≤1＋a <2，所以3－1≤a <1.
答案：[3－1，1)
, [同
学用书单独成册])
[A.基础达标]
1．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1
C ．与y 轴有一个交点
D ．关于y 轴对称
解析：选D.正弦函数y ＝sin x 的图像如图所示．
依据y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．函数y ＝sin x 的图像与函数y ＝－sin x 的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称
D ．直线y ＝x 对称
解析：选A.在同始终角坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x 轴对称．
3．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫π
2－x
C ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )
D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x
解析：选D.对A ，由于y ＝sin(x ＋π)＝－sin x ，故排解A ；对B ，由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π2，故
排解B ；对C ，由于y ＝sin(－x )＝－sin x ，故排解C ；对D ，由于y ＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D.
4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2
，3π
2的简图是( )
解析：选D .当x ＝－π
2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2＝1，故排解A 、B 、C ，选D .
5．函数y ＝x sin x 的部分图像是( )
解析：选A .函数y ＝x sin x 的定义域为R ，令f (x )＝x sin x ，则f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )
为偶函数，排解B 、D ；当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，π2时，f (x )>0，故排解C ，故选A.
6．在[0，2π]上，满足sin x ≥2
2
的x 的取值范围为________．
解析：在同始终角坐标系内作出y ＝sin x 和y ＝2
2
的图像如图，观看图像并求出交点横坐标，可得到x
的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，34π.
答案：⎣⎡
⎦⎤
π4，34π
7.函数y ＝sin x 的图像和y ＝
x
2π
的图像交点个数是________． 解析：在同始终角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：
由图可知交点个数是3.
答案：3
8.已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图像知，－1≤sin x ≤1， 即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤2
9.用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表，如表所示：
x 0 π2 π 32π 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x
3
2
3
4
3
(2)描点，连线，如图所示．
10.若函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，求k 的取值范围．
解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，
－sin x ，π<x ≤2π，
作出函数的图像如图：
由图可知当1<k <3时函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点． [B.力量提升]
1．若y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4
，2π
3，则函数的值域为( )
A.⎝⎛⎭⎫22，1
B.⎣⎡⎦⎤2
2，1 C ．(1，2] D ．[1，2]
解析：选B.画出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，2π3的图像如图所示，可知y ∈⎣⎡⎦⎤2
2，1.
2．设a >0，对于函数f (x )＝
sin x ＋a
sin x
(0<x <π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值也无最小值
解析：选B.f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋a
sin x
.
由于0<x <π，所以0<sin x ≤1.所以1
sin x
≥1.
所以1＋a
sin x ≥a ＋1.
所以f (x )有最小值而无最大值． 故选B.
3．已知f (sin x )＝x 且x ∈⎣
⎡⎦⎤0，π
2，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________．
解析：由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ＝1
2时，x ＝π6，
所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6＝π6
.
答案：π6
4．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________． 解析：
不妨设△ABC 中，0<A ≤B ≤C ， 得0<A ≤B ，且0<A ≤C ，
所以0<3A ≤A ＋B ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π， 所以0<3A ≤π，即0<A ≤π
3
.
若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π
3
，
由y ＝sin x 图像知y ∈⎝
⎛⎦⎤0，3
2.
答案：⎝
⎛⎦⎤0，3
2
5．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观看函数图像，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.
(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值范围． 解：列表如下：
x －π －π2 0 π2 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x
1
3
1
－1
1
描点连线得：
(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分时y >1，在y ＝1下方部分时y <1， 所以当x ∈(－π，0)时，y >1；当x ∈(0，π)时，y <1.
(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1. 所以a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1}．
6．(选做题)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且是⎝⎛⎭
⎫－12，1
2上的减函数，f (1－sin α)＋f (1－sin 2α)<0，求α的取值范围．
解：由题意可知f (1－sin α)<－f (1－sin 2α)． 由于f (x )是奇函数，
所以－f (1－sin 2α)＝f (sin 2α－1)，
所以f (1－sin α)<f (sin 2α－1)．
又由f (x )是⎝⎛⎭⎫－12，1
2上的减函数， 所以⎩⎨⎧－12<1－sin α<12，－12<sin 2
α－1<12，1－sin α>sin 2
α－1，所以⎩⎨⎧
12<sin α<32
，12<sin 2
α<32
，sin 2
α＋sin α－2<0，
解得
2
2
<sin α<1， 所以2k π＋π4<α<2k π＋π2(k ∈Z )或2k π＋π2<α<2k π＋3π
4
(k ∈Z )，
所以α的取值范围为⎝
⎛
⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．。