第一章测量误差数据处理不确定度的评定

第一章实验数据处理的基本方法
我们每做一个物理实验，都是先对这个实验中的物理现象进行观察，然后通过相应的测量获得一些实验数据，最后经过对这些数据的处理得到最终的实验结果。

除了通过正确的原理和方法进行实验外，用正确的方法对实验数据进行处理，是获得合理的实验结果的关键。

本章主要介绍实验数据处理的基本方法。

其内容由以下两部分组成：
第一部的主要内容是有效数字及其运算、实验误差的特点及克服方法、不确定度概念及其初步评定方法等。

第二部的主要内容是列表法、作图法、逐差法等常用的实验数据处理方法。

§1 有效数字及其运算
一、直接测量和间接测量
我们知道，量度物质的属性或描述物质的运动状态所用的各种量值叫做物理量，如长度、速度、热量、功、电流强度等。

测量是用实验方法获得物理量量值（测量值）的过程。

按照测量值获得方法的不同，测量分为直接测量和间接测量两种。

1.直接测量：
是指不需要对被测量与其它实测量进行函数关系的辅助计算，直接从仪器或量具上得到被测量值的测量。

例如：用直尺测量长度；以秒表计时间；用天平称质量；用电流表测电流等。

这些用直接测量得到量值的物理量叫做直接测得量。

2.间接测量
是指从一个或几个直接测量结果按一定的函数关系计算出来的的过程。

而用间接测量得到量值的物理量叫做间接测得量。

例如：在伏安法测电阻的实验中，用电流表直接测量流过待测电阻的电流I，用电压表直接测量待测电阻两端的电压U，然后欧姆定律R=U/I计算电阻的阻值R的过程，就是间接测量。

在这里，电流I和电压U是直接测得量，而电阻R是间接间接测得量。

二、有效数字的定义
由于种种原因，用任何实验仪器直接测量的数值都不可避免地含有一定的误差，因此，测得的数据都只能是近似数。

由这些近似数通过计算而得到的间接测量值也一定是近似数。

显然，几个近似数的运算不可能使运算结果更加准确，而只会使其误差增大。

因此近似数的表示和计算都必须遵循一些规则，以便确切地表示和记录运算结果的近似性。

这些规则就是有效数字及其运算规则。

从仪器上读出的数字，通常都要尽可能估计到仪器最小刻度的下一位。

以如图1-1所示的用米尺测量钢棒的长度为例，我们可以读出4.26cm，4.27cm或4.28cm，前二位“4.2”可以从米
尺上直接读出来，是准确数字，而第三位数“6”，“7”或“8”是测量者估读出来的，估读的结果因
人而异，因此这一位是有疑问的，叫做存疑数字（又叫做不可靠数字）。

由于第三位已经存疑，因此已没有必要估计它以后的各位数了。

我们把仪器上直接读出的数字和最后一位估读的存疑数字，全部记录下来，叫做有效数字。

也就是说，有效数字包括从仪器上直接读出的准确数字和最后一位存疑数字，即
有效数字 = 准确数字 + 存疑数字
而且也只有最后一位数字是存疑数字。

测量结果用并且只用它的有效数字表示。

上面所说的钢棒长度的测量值4.26 cm ，4.27 cm 或4.28 cm 包含三位有效数字。

也就是说，有效数字的位数等于准确数字的位数加上存疑数字的位数（存疑数字的位数只能为1）。

在以下的表述中，存疑数字下面有下滑线。

例：2.365（四位）；0.21008（五位）；0.0024（二位）；0.260（三位）；0.01230（四位）。

三、有效数字的特点
1. 有效数字前面的“0”不是有效数字，而中间和后面的“0”都是有效数字。

例：0.0003576 ，3.005 ，3.000 都是四位有效数字。

在上例中的0.01230 和本例中的3.000最右边的“0”是有效位数，不可以省略不写。

注意：实验中的数字与数学上的数字是不一样的。

数学的8.35 = 8.350 = 8.3500 ，
实验的8.35 ≠ 8.350 ≠ 8.3500（小数点后面的0是有意义的）。

2. 单位换算时，有效数字的位数不变。

即有效数字的位数与小数点的位置无关。

例：23.56 cm = 0.2356 m = 0.0002356 km
为了避免混淆，并使记录和计算方便，在写有效数字时，通常在小数点前一律取一位有效数字，其它的数字全写在小数点之后，然后乘上10的幂来表示，即
图1-1 0 cm 2 4 3 1 5
n a A 10⨯=，且1 ≤ a ＜ 10
这样写有效数字的方法，叫做科学记数法。

例：在上例中，我们可以这样写：
nm
810 × 62.35 = km 4 -10 × 62.35 = m 1 -10 × 62.35 cm = 110 × 62.35 cm = 6.523 例：光速c = 30万公里每秒。

不正确的写法：c = 300000 km/s ；c = 300 km/s
正确的写法：c = 3.0×105 km/s = 3.0×108 m/s
3. 有效数字的位数与被测物的大小和测量仪器的精密度有关。

例如在图1-1中测得物体的长度为4.27 cm ，是三位有效数字，如果改用千分尺来测，其有效数字的位数有五位。

四、直接测得量有效数字的读取
直接测得量的有效数字来源于测量时所用的仪器。

1. 刻度式仪表（米尺、千分尺、读数显微镜、常用的电流表、电压表等），一般读数应读到最小分度，然后再估读一位，如图1-2所示。

2. 有时读数的估计位，就取在最小分度位。

例如，仪器的最小分度值为0.5 ，则0.1 ～ 0.4 ，0.6 ～ 0.9 都是估计的，不必估到下一位，如图1-3所示。

读数：4.7 cm 图1-3 0 cm 2 4 3 1 5
图1-4
读数：15.84 mm
6 5 3
7
8
9 0.02mm 0
4 2 1 0 6
5 3 7
4 2 1 0
图1-2 读数：18.907 mm
3. 游标类量具（游标卡尺、分光计度盘、大气压计等），读到游标分度值的整数倍。

多数情况下不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。

如图1-4所示
4. 数字式仪表及步进读数仪器（电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等），不需估读。

直接读取仪表的示值，如图1-5所示。

5. 若测量值恰为整数，必须补零，直接补到存疑位，如图1-6所示。

6. 特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定。

例如在“电表的改装”中，表头串联一个大电阻，改装成电压表时，由于线路灵敏度低，在确定串联电阻时，调节电阻箱上“×1Ω”挡时，表头上的反映已经不太灵敏，尽管最小步进值为“×0.1Ω”，电阻值只记录到“×1Ω”。

五、间接测得量有效数字尾数的舍入规则
如上所述，在对直接测得量进行测量时，必须用有效数字表示其量值。

而要通过对有效数字进行运算得到间接得测量时，不可避免地会遇到间接得测量有效数字尾数的舍入问题。

根据国家的相关标准，将运算结果中多余的存疑数字舍去时，本课程采用“4舍6入5凑偶”的方法则。

根据这个法则，当要保留n 位有效数字时，如果
1. 第n+1位数字≤4 ，就把它直接舍掉；
2. 第n+1位数字≥6时，则要向第n 位数字进1 ；
3. 第n+1位数字＝5，并且后面的数字都为0，则第n 位数字若为偶数时就把这个5舍掉；第n 位数字为奇数时就向前进1 ；若第n+1位数字=5且后面还有不为0的任何数字时，无论第n 位数字是奇数或偶数都进1 。

例：保留3位有效位数，则
9.82462 = 9.82（见上述第1条）
7.62671 = 7.63（见上述第2条）
9.82500 = 9.82（5后面的数字都为0，并且它前面的2是偶数。

）
3.13500 = 3.14（5后面的数字都为0，并且它前面的3是奇数。

）
6.32502 = 6.33（5后面有不为0的数字）
图1-
5 读数：4.20 cm
图1-6 0 cm 2 4 3 1 5
六、有效数字的运算
1. 总的原则：
（1）准确数字与准确数字进行四则运算时，其结果仍为准确数字。

（2）存疑数字与任何数字（准确数字或存疑数字）进行四则运算时，其结果均为存疑数字。

（3）在最后的结果中只保留一位存疑数字，其后多余的存疑数字数字是无意义的，应按有效数字舍入规则截去。

2. 具体规则：
（1）两数相加、减时，其结果的有效位数的最后（即最右）一位的位置与两数中最后一位位数高者的相同。

例： 7.481266.481246.32.478≈=+
9.4578.454.372.49≈=-
（2）两数相乘、除时，其结果的有效位数与两数中有效位数少者相同。

例如
例： 41099.155.449199.235.834⨯≈=⨯
2131467.1135.194.2569≈=÷
（3）乘方、开方运算最后结果的有效数字位数一般取与底数的有效数字位数相同。

例： 66.53)532.7(2≈
37.58.32≈
（4）指数、对数、三角等函数运算结果的有效数字位数由其改变量对应的数位决定。

例：在 841567.023.2ln =中2.32的存疑数字为0.02，那么我们将它的末位数改变1（即 845868.033.2ln =）后比较，看出发生改变的位置在小数点后的第三位（千分位）上，就能得知284.023.2ln ≈。

（5）π、e 、1/3、2等常数的有效数字位数可以认为是无限的，应取足够的有效位数参与运算，直接根据计算器上的计算结果取用。

（6）有效数字位数不能由数学或物理常数来确定。

例：在公式as 2=υ中，υ的计算结果不能由于“2”的存在而只取一位存疑数字，而要根据a 和s 来决定。

以上这些结论，在一般情况下是成立的，有时会有一位的出入。

为了防止数字截尾后运算
引入新误差，在中间过程中，参与运算的数据可多取1至2有效数字。

在当今计算机时代，对参与运算的数和中间运算结果都可不作修约，也可比传统方法估计的位数适当多取几位，只在最后结果表示前再作修约，这样可能更有利于实验效率的提高。

§2 测量误差和测量不确定度
一、测量误差的基本概念
物理实验是以测量为基础的，但如前所述，是任何测量结果都不可避免地存在误差。

可以说任何测量都不可能无限准确。

1. 测量误差的定义
测量结果与被测量真值的差叫做测量误差，简称误差。

如果用x 表示待测物理量的测量结果，x 0是它的真值，则测量误差为
0x x x -=∆ （1-1）
测量误差可以为正值，也可以为负值。

显然，这样定义的测量误差反映的是测量结果偏离真值的大小和方向（正负），因此又常称为绝对误差。

为了评价一个测量结果的优劣，除了看测量误差的大小和方向外，还需要看测得量本身的大小。

为此，引入相对误差的概念。

相对误差的定义为
%1000
⨯∆=x x E r （1-2） 相对误差的意义在于它能够反映测量结果的准确程度。

例如测得两个铜棒的长度分别为23.50 cm 和2.35 cm ，而两次的测量误差均为0.03 cm ，则它们的相对误差分别为
%2.0%13.0%10050
.2303.01≈=⨯=r E %2%3.1%10035.203.01≈=⨯=
r E 从测量误差看，两者相等；但从相对误差来看，后者是前者的10倍。

我们自然认为第一个测量更准确些。

一个物理量的真值，是在它被观测时本身所具有的真实大小，只有完善的测量（理想测量）才能得到真值。

而实际上任何测量都有缺陷，因此真值是一个理想化的概念。

由于真值无法确
切地知道，所以误差也无法准确地知道。

在实际测量中经常用准确度高的测量结果（如推荐值、最佳估计值、已修正过的算术平均值、计量标准器具所复现的值等）来代替真值（叫做约定真值），才能计算误差。

2.测量误差的分类
根据误差的性质和产生的原因，可以把误差分为系统误差和随机误差两类。

（1）系统误差
在相同条件下，对同一被测量的多次测量中，误差的绝对值和符号（正、负）保持恒定，或在条件改变时误差的绝对值和符号（正、负）按可预知的方式变化，这类误差称为系统误差。

在重复性条件下，系统误差等于对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。

一般来讲，系统误差的主要来源包括：
①仪器本身的缺陷或没按规定条件使用仪器而引起的误差（又叫做仪器误差）。

例如：电表的刻度不均匀（示值误差）；等臂天平的两臂实际不等（机构误差）；指针式电表使用前没调零（零位误差）；大气压强计未在标定条件下使用引起的系统误差等。

②测量所依据的理论公式本身的近似性、实验条件不能达到理论公式的要求、测量方法所带来的系统误差（又叫做作理论误差或方法误差）。

例如：单摆运动方程小角度近似解引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的测量误差等。

③实验者引入的误差。

例如个人习惯和偏向（读数总是偏高或偏低）、感官分辨能力（触觉、嗅觉、听觉、视觉）等。

根据误差的符号、绝对值是否确定，系统误差分为如下两类：
①已定系统误差：
是绝对值和符号已经确定的系统误差分量。

如零位误差、大气压强计室温下使用引起的误差、伏安法测电阻时电流表内接或外接引起的误差等。

实验中应尽量消除已定系统误差，或对测量结果进行修正，修正公式为：
测得值(或其平均值)－已定系统误差
②未定系统误差：
是符号或绝对值未被确定的系统误差分量。

对这类误差一般要估计出其限值或分布范围。

实验中可以通过方案选择、参数设计、计量器具校准、环境条件控制等环节来减小未定系统误差的限值。

系统误差是由于确定的原因，以确定的方式引起，具有确定性。

它具有始终偏大、始终偏小或周期性的特点。

经验表明，通过增加测量次数不能减少系统误差。

要想减少系统误差，只能从方法、理论、仪器等方面的改进与修正来实现。

（2）随机误差
在相同条件下多次重复测量同一个量时，每次测量出现的误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化，这类误差称为随机误差。

在重复性条件下，随机误差等于测量结果与对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。

产生随机误差的原因是多方面的，如实验条件和环境因素的起伏、估读数的偏差、测量对
象的不稳定、数字仪表末位取整数时的随机舍入过程等。

随机误差由大量、微小、不可预知的因素引起，具有随机性。

它的特点是单个测量误差表现为不可预知的随机性，而从总体来看这类误差服从统计规律。

具体来讲，大多数情况下，当测量次数足够多时，小误差出现的概率大，大误差出现的概率小；正、负误差对称分布，具有抵偿性，能大致相消。

所以可以取多次测量的平均值来作为被测量的最佳估计值以消除随机误差的影响。

如上所述，无论是系统误差，还是随机误差，它们都是基于无限多次测量所得总平均值的理想概念。

由于实际上只能进行有限次测量，因此只能用有限次测量的平均值作为总平均值的估计值。

类似于矢量与其各分量的关系，在以后的论述中，我们可以把系统误差和随机误差看作总误差的两个分量，分别叫做系统误差分量和随机误差分量。

另一类因为读数错误、操作失当等原因造成的明显超出规定条件下预期值的误差，称为粗大误差。

测量应避免出现粗大误差，已被谨慎地确定为含有粗大误差的个别数据要剔除。

系统误差有时也可转换成随机误差。

例如某直尺的某一个或几个刻线不准。

如果固定用某一刻度起始测量，测量值有系统误差；而如果从不同刻线起始做多次测量，则测量值又具有随机分布的性质。

常用的一些术语：
精密度：反映随机误差的大小程度；
正确度：反映系统误差的大小程度；
准确度：随机误差与系统误差综合大小；
精度：物理意义不明确，有时指精密度，也有时指准确度。

误差虽然不可确知，但我们可以分析误差的主要来源，尽可能消除或减小某些误差分量对测量的影响，把它控制在允许范围之内。

对于最终不能消除的误差分量，我们还可以估计出它的限值或分布范围，对测量结果的精确程度作出合理的评价。

一般来讲，误差是普遍存在的。

误差的普遍性要求必须重视对测量结果的误差分析和测量结果的可信赖程度的评定，并且完整地表示测量结果。

为了表示测量结果的可信赖程度，我们引入不确定度的概念。

二、测量不确定度的基本概念
简单地讲，测量不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度，它是被测量的真值在某一量值范围内的一个评定。

不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即误差的随机误差分量和未定系统误差分量的联合分布范围。

这个范围叫做置信区间，这个区间以一定的概率（叫做置信概率）包含着被测量的真值。

不确定度越大，置信区间内包含真值的置信概率就越高，即测量结果落在该区间内的把握就越大。

置信区间的半宽度就是测量不确定度的大小。

例如：测量人体温度为37.2℃，或加或减0.1℃，置信概率为95％。

则该结果可以表示为（37.2℃±0.1）℃，不确定度为0.1℃，置信概率为P=95％。

这个表述是说，我们测量的人体温度处在37.1℃到37.3℃之间，有95％的把握。

测量误差是一个差值，而测量不确定度是一个区间，这是测量不确定度和测量误差的最根本的区别。

此外，由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。

不确定度是评价测量质量的一个新概念，是表达测量结果具有分散性的一个参数，是误差的数字指标。

在测量方法正确的情况下，不确定度越小，测量结果可信赖程度越高；不确定度越大，测量结果可信赖程度越低。

用不确定度评定实验结果的误差，其中包含了各种来源不同的误差对结果的影响，而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律，这就更准确地表述了测量结果的可靠程度，因而有必要采用不确定度的概念。

传统的误差理论把误差分为“系统误差”和“随机误差”两类。

但实际上，系统误差往往是未知的（一旦确知，则可以校正）。

不确定度理论摈弃了这种分类方法，而是在修正了已定系统误差之后，将余下的不确定度分量分量按照测量数据的性质分为两类：
（1）A类不确定度：多次重复测量时与随机误差有关的分量，用u A表示。

它与数据的离散性相对应，用数理统计方法处理。

（2）B类不确定度：多数与未定系统误差有关的分量，用u B表示。

它与仪器的欠准确相对应，用非数理统计方法处理。

注意，A、B两类不确定度与传统划分的随机误差、系统误差并不存在简单的对应关系。

不确定度理论仍保留了系统误差的概念。

研究不确定度的意义，在于它能够科学地反映测量结果的数值和可靠程度；可以根据对测量不确定度的要求，确定实验方案，选择仪器和环境；同时能够找出和减小系统误差，提高实验精度。

不确定度必须正确评价。

如果评价得过大，则在实验中会因怀疑结果的正确性而不能果断地做出判断，在生产中会因测量结果不能满足要求而造成浪费；如果评价得过小，在实验中可能会得出错误的结论，在生产中则产品质量不能保证，造成危害。

测量结果是否有用，在很大程度上取决于其不确定度的大小，所以测量结果必须有不确定度说明时，才是完整和有意义的。

一个完整的测量结果应包括测量对象、测量对象的量值、测量不确定度、测量值的单位（又称测量的四个要素）。

例如电桥法测某一电阻的结果可表示为：R=（910.3±0.4）Ω。

这里，R代表测量对象（电阻），910.3是被测量值，0.4为测量不确定度，Ω是电阻的单位。

§3 不确定度的初步评定
在测量不确定度的使用过程中，根据表示的方式不同，有三种不同的术语：
标准不确定度：测量结果的不确定度用标准偏差表示。

合成不确定度：测量结果的标准不确定度是各不确定度分量的合成得到的。

扩展不确定度：为了提高置信水平，用包含因子k乘合成标准不确定度得到的一个区间来表示的测量不确定度。

在1996年由中国计量科学研究院发布的《测量不确定度表达指南》中，对实验的测量不确定度有严格而详尽的论述。

但作为大学物理实验教学，限于教学要求，在对不确定度进行初步评定时，本教程只介绍标准不确定度和合成不确定度。

一、随机误差的统计规律
由于随机误差的存在，实验数据会围绕真值有所起伏，对某一次测量，这种起伏是不可预测的。

若进行多次测量，就会发现，实验数据常满足一定的统计分布规律，可用一定的分布函数来描述。

物理实验中遇到的典型分布有正态分布、均匀分布、三角分布、t分布（可参阅相关书籍）等。

在实验中如果影响测量结果的因素很多，很细微，并且相互独立，则当测量次数无限时，实验数据服从正态分布。

二、测量仪器的误差
测量仪器的性能可以用示值误差和最大允许误差来表示。

测量仪器的示值误差，被定义为“测量仪器的示值与对应输入量的真值之差”。

同型号的不同仪器，它们的示值误差一般是不同的。

一台仪器的示值误差必须通过检定或校准才能获得，正因为如此，才需要对每一台仪器进行检定或校准。

已知某仪器的示值误差后，就可对其测量结果进行修正，示值误差反号就是该仪器的修正值。

修正后结果的不确定度就与修正值本身的不确定度有关，也就是说，与检定或校准所得到的示值误差的不确定度有关。

测量仪器的最大允许误差（也叫允许误差限，简称允差），被定义为“对给定测量仪器，规范、规程等所允许的误差极限值。

”它是由各种技术性文件，诸如国际标准、国家标准、检定规程、技术规范或仪器说明书等规定的，可以从仪器说明书中得到。

最大允许误差不是通过检定或校准得到的，而是制造厂对该型号仪器所规定的示值误差的允许范围。

显然，它并不是某台仪器实际存在的误差，因而不能作为修正值使用。

物理实验中，通常将规定条件下正确使用仪器时，仪器的最大允许误差限作为仪器的误差，用Δm 表示。

允许误差限本身不是测量不确定度，它给出仪器示值误差的合格区间，因而可以作为评定测量不确定度的依据。

当直接使用仪器的示值作为测量结果时，由仪器引入的标准不确定度分量，可以根据该型号仪器的允许误差限按B类评定方法得到。

一些器具在实际使用时，很难保证在相同条件下操作、或在规定的正常条件下测量，仪器误差除了允许误差限外，还应包含一些附加误差分量。

三、直接测得量不确定度的评定
一般来讲，在对随机误差的进行处理时，先将多次测量的平均值作为测量结果的最佳估计值，然后研究其分布，找出其特征值，归入A 类不确定度，参与对测量结果的评价；在对系统误差的进行处理对，在对已定系统误差设法消除或修正后，估计未定系统误差（如仪器误差）的限值，归入B 类不确定度，参与对测量结果的评价。

1. 不确定度的A 类评定
不确定度的A 类评定，就是用统计方法计算出多次重复测量时与随机误差有关的分量。

其基本方法和步骤如下：
（1）在相同条件下对物理量x 进行次测量，得到测量数据列x 1、x 2、x 3、…、x i 、…x n 。

（2）计算测量数据列的算术平均值：
∑==n i i x n x 1
1 （1-3） 特殊情况：如果存在已定系统误差Δx 0 ，则要计算测量值的修正值：0x x x ∆-=。

（3）用利贝塞耳（Bessel ）公式计算算术平均值的实验标准差)(x s （请参阅相关书籍），就得到平均值 0x 的A 类标准不确定度：
∑=--==n i i A x x n n x s x u 1
2)()1(1)()( （1-4） 2. 不确定度的B 类评定
不确定度的B 类评定，不是用统计的方法，而是用经验或资料以及假设的概率分布估计出的不确定度与未定系统误差有关的分量，用估计的标准偏差表示。

获得B 类标准不确定度的信息来源一般有：以前的观测数据；对有关技术资料和测量仪器的了解和经验；生产部门提供的技术说明文件；校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的级别，包括目前暂在使用的极限误差；手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限或复现性等。

信息的来源不同，平定的方法也不同。

在本教程中，对B 类不确定度，我们主要讨论仪器不准确对应的不确定度。

由于仪器误差是仪器的最大允许误差限Δm ，表示误差落在去间[ -Δm ，Δm ]内概率为 100 ％，这样以来，B 类标准不确定度为：
k
x x u B )()(m ∆= （1-5） 式中的)(x m ∆就是置信区间的半宽度，而因子k 由可能的误差概率分布决定：按正态分布、均匀分布和三角分布，分别取3、3和6。

在大学物理实验中，被测量既受随机影响又受系统影响，而对影响量缺乏任何其他信息的情况下，一般假设为均匀分布，即取3=k 。