运筹学 第3章 LP的对偶问题与灵敏度分析

原问题目标函数的系数是其对偶问题约束条件 的右端项。
可用如下表格来表示：
对 b1 y1
偶 问 题
b2 y2 ..
（..
求 ..
极 bm ym 小） 右端项
原问题（求极大）
c1
c2
…
cnΒιβλιοθήκη x1x2…
xn
a11
a12
…
a1n
a21
a22
… a2n
.
.
.
.
.
…
.
.
.
.
am1
am2
…
amn
≥ c1
≥ c2
解：当λ1=λ2=0时，上述LP问题的最终单纯形表如 上表所示。 （i）对基变量x1的目标函数系数进行灵敏度分析： 将λ1的变化反映到最终单纯形表中：
设产品Ⅰ的计划产量为x1，产品Ⅱ的计划产 量为x2， 则有线性规划问题LP1：
目标函数： max
约束条件：
s.t.
z 50x1 100x2
x1 x2 300 2x2x12x520 400 x1, x2 0
现假定有另一八卦机器厂，该厂的规模较小一些， 想租用阴阳厂的设备进行生产。那么阴阳厂的领导应 该给自己的设备制定一个怎样的出租价格呢？
(B, N ) ( X B , X N )T X S b
即： Z CB X B CN X N
(4)
BXB NX N X s b
(5)
式（5）两端左乘B-1得：
X B B1NX N B1X s B1b
由式（6）得：
X B B1b B1NX N B1X s
A (B, N)
(6)
s.t. 3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30 x1 0, x2无约束, x3 0
按照上述三个步骤，求得其对偶问题为：
max f 24 y1 15y2 30y3 4 y1 3y2 7
s.t. 2 y1 6 y2 5y3 4 6 y1 4 y2 3y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
由（7），（8）可构造单纯形表：
三、对偶规划与原规划最优解的关系
当原问题得到最优解时，必有：
CN CBB1N 0 CBB1 0
令：Y CBB1 (YB=CB, YB+YN=YA, CB+CN=C*E=C)，上式等价为：
YA C Y 0
可知这是对偶规划的一个可行解
且此时：W Yb CBB1b z ，可见对偶规划与原规划
最优解的目标函数值相等，不是偶然的。
四、由原规划最终单纯形表确定对偶规划最优解
考察单纯形表结构，可在原规划得到最优解时，同 时直接得到对偶规划最优解，这已经是明确的问题。
并且由： 松弛变量xs的检验数
s 0 CB B1E CB B1
还可发现对偶问题的最优解y= CBB1实际是原 问题松弛变量的检验数的相反数。
§4 灵敏度分析
一、目标函数中系数Cj的灵敏度分析 例1 已知线性规划问题
max z (2 1)x1 (3 2 )x2
2x1 2x2 12 s.t. 4x1 16
5x2 15 x1, x2 0
试分析λ1和λ2分别在什么范围内变化时，问 题的最优解不变。
分析：此例中目标函数的系数cj的变化仅仅影响到检验 数σj的变化，所以将Cj的变化直接反映到最终单纯形表中。
设出租设备A、B、C的价格分别定为 y1、y2、 y3。该问题可从两个角度进行分析： 对于阴阳厂，总租金应当不低于原利润：
生产产品Ⅰ所需设备台时不应当低于原利润：
y1 2 y2 50
生产产品Ⅱ所需设备台时不应当低于原利润：
y1 y2 y3 100
对于八卦厂，希望支付的总租金最少，即：
min f 300 y1 400 y2 250 y3
因此可以建立另一线性规划问题LP2：
目标函数：min
约束条件：
s.t.
f 300y1 400y2 250y3
y1 y1
2y2 50 y2 y3
100
y1,
y2,
y3
0
在这种情况下，我们称LP1、LP2互为对偶 问题，即一个为原问题，另一个则为对偶问题。
原问题
对偶问题
n
max z c j x j j 1
设有LP问题： Max
S.T
化标准形：
Z CX
AX b
X
0
Max Z CX
(1)
S.T
AX Xs b
X
,
Xs
0
(2) (3)
不违背一般，设B是一个可行基，与B相应，做矩阵分块如下：
X (XB, X N ) C (CB,CN )
式（1），（2）可表示为：
Z (CB ,CN ) ( X B , X N )T
§3 对偶单纯形法
单纯形法是在保持原问题的所有约束条件的常数 大于等于零的情况下，通过迭代，使得所有的检 验数都小于等于零，最后求得最优解。
对偶单纯形法则是在保持原问题的所有检验数都 小于等于零的情况下，通过迭代，使得所有约束 条件的常数都大于等于零，最后求得最优解。
优点：
1. 初始解可以是非可行解；
n
m
c j xˆ j bi yˆi
j 1
i 1
则xˆ j ( j 1, , n)是原问题的最优解，yˆi (i 1, , m)是
其对偶问题的最优解。
3.无界性。如果原问题（对偶问题）具有无界解，则其对偶 问题（原问题）无可行解。
4.强对偶性（或称对偶定理）。如果原问题有最优解, 则其对 偶问题也一定具有最优解，且有max z min f。 5.互补松弛性。在线性规划问题的最优解中，如果对应某一 约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；
原问题与对偶问题互化关系表：
原问题（对偶问题） 目标函数（max）
ｎ个 变 ≥０ 量 ≤０
无约束 目标函数中变量的系数
约 ｍ个 束≤ 条≥ 件＝ 约束条件右端项
对偶问题（原问题）
目标函数（min）
ｎ个
约
≥
束
≤
条
=
件
约束条件右端项
ｍ个
≥０
变
≤０
量
无约束
目标函数中变量的系数
§2 对偶问题的基本性质
一、单纯形法的矩阵描述
举例
MAX 50x1+100x2+0s1+0s2+0s3. S.T. x1 + x2+ s1+ 0s2+ 0s3=300, 2x1 + x2+ 0s1+ s2+ 0s3=400, 0x1 + x2+ 0s1+ 0s2+ s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
迭代 基变 次数 量 CB
x1
阴阳机器厂在计划期内生产Ⅰ、Ⅱ两种产品， 已知生产单位产品所需设备A、B、C台时如下：
设备A 设备B 设备C
产品Ⅰ 1 2 0
产品Ⅱ 1 1 1
资源限量 300台时 400台时 250台时
该工厂每生产一单位产品Ⅰ可获利50元，每 生产一单位产品Ⅱ可获利100元，问工厂应该 怎样安排生产，才能获利最多？
然后将所有的约束条件写成≤（≥亦可），有
max z 3x1 4x2 6x3 2x1 3x2 6x3 440 6x1 4x2 x3 100
s.t. 5x1 3x2 x3 200 5x1 3x2 x3 200 x1, x2 , x3 0
第二步：令与上式中四个约束条件对应的对偶变量分别为 y1,y2,y3’,y3’’(因为它俩来自于同一个约束条件），则有对 偶问题：
s.t. X0
对偶问题
min f bT Y AT Y CT
s.t. Y0
在上例中，原问题与对偶问题的矩阵形式可 以写作：
原问题
max z (50
100)
x1 x2
1 1
300
s.t.2 0
1 1
x1
x2
400 250
x1 x2
0
对偶问题
y1
min f (300
400
min f 440y1 100y2 200y3'200y3'' 2 y1 6 y2 5y3'5y3'' 3
s.t. 3y1 4 y2 3y3'3y3'' 4 6 y1 y2 y3' y3'' 6 y1, y2 , y3', y3'' 0
第三步：再令y3=y3’-y3’’，则有最终的对偶问 题：
… ≥cn
右端项
≤ b1 ≤b2
. . . ≤bm
例1：写出下述线性规划问题的对偶问题
max z 3x1 4x2 6x3 2x1 3x2 6x3 440
s.t. 6x1 4x2 x3 100 5x1 3x2 x3 200 x1, x2 , x3 0
解：第一步：将5x1-3x2+x3 =200转换成： 5x1-3x2+x3≥200 和 5x1-3x2+x3≤200,
(7)
带入式（4）得：
Z CB X B CN X N
CB (B1b B1NX N B1X s ) CN X N
CB B1b (CN CB B1N ) X N CB B1X s
(8)
由式（8）得单纯形法的最优性条件为：
CN CBB1N 0 CBB1 0
二、单纯形表的矩阵结构
五、对偶问题基本性质
1.弱对偶性。如果x j ( j 1, , n)是原问题的可行解，
yi (i 1, , m)是其对偶的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
2.最优性。如果xˆ j ( j 1, , n)是原问题的可行解，yˆi
(i 1, , m)是其对偶问题的可行解，且有
min f 440y1 100y2 200y3 2 y1 6 y2 5y3 3
s.t. 3y1 4 y2 3y3 4 6 y1 y2 y3 6 y1, y2 0, y3无约束
例2：写出下述LP的对偶问题：
min z 7x1 4x2 3x3 4x1 2x2 6x3 24
第3章 LP的对偶问题与灵敏度分析
§1 原问题与对偶问题 §2 对偶问题基本性质 §3 对偶单纯形法 §4 灵敏度分析
§1 原问题与对偶问题
大自然中任何事物之间的关系均可以用 阴阳八卦的思想来理解，有着生生相克 的特性。一件事物有正面，还有反面； 有积极作用，还有消极作用。对偶问题 正是如此！
x2
s1
s2
s3
比值
50 100 0
00
b bi/aij
x1 50
1
S2 0
0
2
x2 100
0
Zj
50
c z 0
j
j
j
0 1 0 -1 50
0 -2 1 1 50
1
0 0 1 250
100 50 0 -50
0 50 27500 0 -50
Lindo求解对偶问题
min 300y1+400y2+250y3 st y1+y2>=50 y1+y2+y3>=100 end
m
min f bi yi i 1
n
m
s.t. aij x j bi (i 1,2, , m) s.t. aij yi c j ( j 1,2, , n)
j 1
i 1
x j 0( j 1,2, , n)
yi 0(i 1,2, , m)
用矩阵形式，可表达为：
原问题
max z CX AX b
步骤2 检查基变量的取值，若XB =B-1b 0，则已得最优解，计算停；
否则求min（B-1b）l（B-1b）j 0 （B-1b）l
步骤3 若所有alj 0，则原问题无可行解，计算停；
否则，计算 =min j/alj alj 0 k/alk
确定对应的X
为旋入变量。
k
步骤4 以alk为主元作（l，k）旋转变换，得新的 单纯形表，转步骤2。 可以证明，按上述方法进行迭代，所得解始终是对偶可行解。
反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定
为零，也即
n
如果yˆi 0，则 aij xˆ j bi. j 1
n
如果 aij xˆ j bi，则yˆi 0. j 1
6.线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一对互补的基解， 其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩 余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个 问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将 这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有：z f .
2. 对于一些大于等于号约束条件可以不添加人工变 量，只需把两边同乘以-1，化成小于等于约束。 缺点：
1. 不是所有初始解其检验数都小于等于零。
在单纯形法中，原问题的最优解满足：
对偶单纯形法计算步骤如下：
步骤1 确定原问题（L）的初始基B，使得所有检验数
j =Cj CBB1Pj 0，即Y=CBB1是对偶可行解，建立初始单纯形表。
250)
y2
y3
s.t.11
2 1
0
1
y1 y2 y3
50 100
y1
y2
0
y3
二者之间的关系：
原问题中求目标函数极大化问题，对偶问题中 求目标函数极小化问题。
原问题中约束条件的个数等于对偶问题中变量 的个数。
原问题约束条件中符号为 号，对偶问题中约 束条件符号为 号。