第07章 网络矩阵方程

②
4
① CS1
3 2 1 5
③ CS3
Q f [1 Ql ]
6
④
CS2
矩阵形式的基尔霍夫电流定律 用矩阵形式表示的支路电流列向量为
i [i1 , i2 ,, ib ]T
用割集矩阵 Q a 左乘支路电流列向量i，可得
②
Qfi 0
或
4
① CS1
QfI 0
i [i1, i2 , i3 , i4 , i5 , i6 ]
6
1 i1 i 1 1 1 0 0 0 2 i1 i2 i3 0 0 1 0 1 1 0 i3 i i i 0 Ai i 2 4 5 1 0 0 1 0 1 4 i1 i4 i6 0 i 5 i6
割集矩阵 Q a
0 当支路k不在割集j内 q jk 1 当支路k 在割集j内,且方向与割集j方向一致 1 当支路k 在割集j内,且方向与割集j方向相反
基本割集矩阵 (单树支割集) 支路1，2，3为树支 支 路 1 0 0 1 0 1 割 Q f 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 集
T
il [il1, il 2 , il 3 ] [i1, i3 , i4 ]
T
B i i
T f l
②
B i i
T f l
①
2 5
4
③
则有
3
④
6
1
1 1 0 T B f il 0 1 1
i1 0 i1 i i i 1 0 1 3 2 i1 i3 i3 1 0 i i3 i4 0 1 i4 i4 i i i i 1 1 5 1 3 4 0 1 i1 i4 i6 0
乘积的每一行对应一个节点电流方程(KCL).
节点电压与支路电压之间的关系
2
②
4 5 3
④ ③
设支路电压参考方向与支路电流 方向一致,令支路电压列向量为
①
u [u1, u2 ,ub ]
T
6
网络各节点电压列向量为
1
u n [u 1 , u 2 , , u n ]T
则有
u A un
T
②
②
支
路
①
有向图
4
1 1 1 0 0 0 节 0 1 0 1 1 0 Aa 1 0 0 1 0 1 点 0 0 1 0 1 1
2
5 3
④
③
6
1
②
支
路
①
2
4 5 3
④ ③
1 1 1 0 0 0 节 0 1 0 1 1 0 Aa 1 0 0 1 0 1 点 0 0 1 0 1 1
单位矩阵
树支矩阵
②
选择网孔回路时，网孔回路矩阵为：
①
2
1 2
4
③
0 1 1 0 1 0 Bm 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1
5 3
④
6
3
1
回路矩阵的每一行元素反映了该回路中所包含的支路及其方向。
②
矩阵形式的基尔霍夫电压定律 设网络支路电压的参考方向与支路电 流方向一致，写成列向量为
2
①
4 5 3
④ ③
6
支路电压列向量为
u [u1, u2 , u3 , u4 , u5 , u6 ]
u1 u 2 1 1 0 0 1 1 u1 u2 u5 u6 0 0 1 1 0 1 0 u3 u u u 0 Bfu u 2 3 5 0 0 0 1 1 1 4 u4 u5 u6 0 u 5 u6
单树支割集
选定一个树，每一割集只 包含一条树支，则称为单树支 割集。单树支割集的方向取与 树支方向一致。 如图，选1、2、3支路为树支， 则单树支割集如图所示。
① CS1 ②
4 2 1 5 6
④
3
③ CS3
CS2
割集1包含的支路：1，4，6
割集2包含的支路：2，4，5，6
割集3包含的支路：3，5，6 已知树支电压可解出电路各支路电流!
7.1 网络图论复习
② R2 ① R5 R3 R6 ④
电路图与拓扑图
2
R4 ③
①
②
4 5 3
④ ③
6
U s1
R1
1
实际电路图
对应的线图(有向图)
线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际 电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。
树支、连支、单连支回路
2
②
4 5 3 6
④ ③
树T所包含的支路称为树支； （图中支路1、2、3） 图G中其余的支路称为连支； （图中支路4、5、6）
②
2 5
① C S1
4
C S3 ③
移去该子集，连通图分为 两部分；
少移去其中任一条，图保 持连通。
3 1
④
6
C S2
割集用符号CS来表示，规定了割集的方向，则割集又可看 成一个闭合面。割集为一个广义的节点，流出割集表面的电 流代数和为零。 如图，割集CS1包含1、2、3支路，割集CS2包含1、2、5、 6支路，割集CS3包含1、4、6支路。
7.2 关联矩阵与节点电流定律
实际电路结构可用一个有向图来具体描述。把有向图 各节点和支路编号，然后依次把各支路与相应连接点的 连接信息用数字形式记忆下来。根据这些信息可完整描 述电路的联接关系，计算机可根据这些信息自动识别电
路关系，并应用基尔霍夫定律建立相应的电路方程，进 ② 行相应的运算。
R2 R4 R5 R3 R6 ④ ③
f
设支路2，5，6为树支，基本回路矩阵为
2
②
4 5
③
支
路
①
1 1 0 0 1 1 回 B f 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 路
3
④
6
1
设支路1，2，3为树支，基本回路矩阵为
1 1 0 1 0 0 B f 0 1 1 0 1 0 Bt 1 1 0 1 0 0 1
7.3 回路矩阵与回路电压定律
用回路电流法分析电路时，支路与回路之间的关系可以用一 个回路矩阵 B a 来描述。 回路矩阵 B a:
0 b jk 1 1
支路k不包含在回路j中; 支路k 包含在回路j中,且方向和回路走向一致; 支路k 包含在回路j中, 且方向和回路走向相反;
当选择单连支回路时,所建立的回路矩阵称为基本回路 矩阵,记为 B 。
2
①
4 5 3
④ ③
6
1） 矩阵A的行是彼此独立的；
1
2） 矩阵A同样能充分描述有向图的连接关系，划去的行对应
的节点即为参考节点 。
矩阵形式的基尔霍夫电流定律
2
②
设网络各支路电流为 i1 , i2 ,, ib 支路电流方向与有向图支路方向一致， 用矩阵形式表示的支路电流列向量为
4 5 3
④ ③
①
7.4 割集矩阵与节点电流定律
割集是图的一个子集（某些 支路的集合），满足
②
2 5
① C S1
4
C S3 ③
移去该子集，连通图分为 两部分；
少移去其中任一条，图保 持连通。
3 1
④
6
C S2
割集用符号CS来表示，规定了割集的方向，则割集又可看 成一个闭合面。割集为一个广义的节点，流出割集表面的电 流代数和为零。 如图，割集CS1包含1、2、3支路，割集CS2包含1、2、5、 6支路，割集CS3包含1、4、6支路。
6
1
节点数：nt 1) 每一列中只包含二个非零元素＋1和－1 支路数： b
2) 把所有行的元素按列相加，则得到全零的行，因此矩阵的行
不是彼此独立的。 3) 矩阵的秩为 nt 1 。
降阶关联矩阵 把 Aa 的任一行划去，剩下的矩阵称为降阶关联矩阵，记作A。
②
1 1 1 0 0 0 A 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
T
1
乘积的每一行对应一个回路电压方程(KVL).
支路电流与回路电流之间的关系 设支路电流列向量为
②
2
①
4 5 3
④ ③
i [i1, i2 ,ib ]
T
回路电流列向量为
6
i l [il1 , il 2 , il (b n 1) ]T
t
1
有
B i i
T f l
支路数：b
节点数：nt
①
2 5 3
4
③
6
④
u [u1, u2 ub ]
用回路矩阵
T
1
B f 左乘支路电压列向量 u ，可得
Bf u 0
或
Bf U 0

上式为矩阵形式的基尔霍夫电压定律
②
如图
1 1 0 0 1 1 B f 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1
反映电路结构中支路 与节点连接关系可用一个 关联矩阵A来描述.
①
U s1
R1
关联矩阵 有向图结构用一个 nt b 阶矩阵来表示，记为 A a 。矩阵的行对 应于有向图的节点，矩阵的列对应于网络的支路。 A a中的元素作如下定义：
当支路k不连接到节点j时; 0 a jk 1 当支路k 连接到节点j , 且方向为离开节点时; 1 当支路k不连接到节点j , 且方向为指向节点时;
①
1
②
树支数 = nt －1 (节点数减1） 连支数=支路数－ 树支数
=b －
2
① ②
4 5 ① 6
④ ③
nt ＋1 =（网孔数）
单连支回路：每一连支可与其两端 之间的唯一树支路径构成一条唯一 的回路。此回路称为单连支回路。 回路方向与连支一致。
3
③
1
割集
割集是图的一个子集（某些 支路的集合），满足
2)解决复杂网络问题可以应用网络图论的方法对电路进行系 统化分析，应用矩阵方法系统地分析网络的图和建立电路方 程，即建立矩阵形式的节点电压方程、割集电压方程和回路 电流方程等。 3)求解矩阵形式表示的电路方程，可以归结为解矩阵相量的 问题，可采用矩阵计算工具软件如Matlab软件等方便快捷 地进行矩阵运算。
如图
1 1 1 0 0 0 A 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
2
①
4 5 3 6
④ ③
u [u1, u2 , u3 , u4 , u5 , u6 ]T
u n [u 1 , u 2 , u 3 ]T
1
u A un
T
u 1 u 3 u1 1 0 1 u 1 1 0 u 1 u 2 2 u1 u1 u3 1 0 0 u 2 u4 0 1 1 u2 u3 u 3 u5 0 1 0 u 2 u6 0 0 1 u 3
6
i [i1 , i2 ,, ib ]T
用关联矩阵A左乘支路电流列向量i，可得
1
Ai 0
或
AI 0
上式为矩阵形式的基尔霍夫电流定律
如图
1 1 1 0 0 0 A 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
T
②
2
①
4 5 3
④ ③
或
B I I
T f l
②
如图
1 1 0 0 1 1 B f 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1
2
①
4 5
③
3
④
6
设支路电流列向量为
1
i [i1, i2 , i3 , i4 , i5 , i6 ]T
回路电流列向量为
支路2，5，6 为树支
第七章 网络矩阵方程
本 章 主 要 内 容
1. 图的基本概念;
2. 关联矩阵A，回路矩阵B, 割集矩阵Q; 3. KCL矩阵形式, KVL矩阵形式; 4. 节点电压方程矩阵形式; 5. 回路电流方程矩阵形式;
6. 割集电压方程矩阵形式;
1) 当电路的结构比较简单时，可以直接利用基尔霍夫定律 及前面章节所介绍的支路法、回路法和节点法，直接手工建 立所需的解题方程组来解题。