3 用公式法求解一元二次方程1

3 用公式法求解一元二次方程

【知识与技能】

1.理解求根公式的推导过程和判别公式.

2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.

【过程与方法】

通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想.

【情感态度】

让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感.

【教学重点】

求根公式的推导和公式法的应用.

【教学难点】

理解求根公式的推导过程及判别公式的应用.

一、情境导入,初步认识

用配方法解方程：

（1）x2+3x+2=0

（2）2x2-3x+5=0

【教学说明】学生板演，复习旧知.

二、思考探究，获取新知

1.探究：用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）.

分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成具体数字，根据配方法的解题步骤推下去.

解：移项，得：ax2+bx=-c

因为a≠0，所以方程两边同除以a，得：

x2+b

a

x=

c

a

配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=c a -+（2b a

）2 即（x+2b a

）2=2244b ac a - ∵a ≠0，∴4a 2>0，当 b 2

-4ac ≥0时，2244b ac a -≥0

∴x+2b a =2a ± 即x=2b a -

∴x 1=2b a -，x 2=2b a

-- 【归纳总结】由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac

≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a

-（b 2-4ac ≥0）， 就可求出方程的根；

（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式；

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a 、b 、c 的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；（2）式子b2-4ac ≥0是公式的一部分.

【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 能否用配方法求出它的解，通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式.

2.用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？

（1）2x 2-3x=0；

（2）3x 2x+1=0；

（3）4x 2+x+1=0.

【归纳总结】（1）当Δ=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有

两个不相等的实数根，即x 1x 2 （2）当Δ=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数

根即x 1=x 2=-2b a

； （3）当Δ=b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根.

【教学说明】进一步体会一元二次方程的根与b 2-4ac 的关系.

三、运用新知，深化理解

1.用公式法解下列方程.

（1）2x 2-x-1=0；

（2）x 2+1.5=-3x ；

（3）x 2x+12=0；

（4）4x 2-3x+2=0.

分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a 、b 、c 的值，再算出b 2-4ac 的值，最后代入求根公式求解.

【教学说明】（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根是由一元二次方程的系数a 、b 、c 确定的；

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0

的前提下，把a 、b 、c 的值代入 （3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.

2.不解方程，判定方程根的情况

（1）16x 2+8x=-3；

（2）9x 2+6x+1=0；

（3）2x 2-9x+8=0；

（4）x 2-7x-18=0.

分析：不解方程，判定方程根的情况，只需根据b 2-4ac 的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.b2-4ac 的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式.

3.若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a 的式子表示）.

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a

的值是正、负或0.因为一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数根，即

（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0，就可求出a的取值范围.

解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根.

∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0

∴a<-2

∵ax+3>0即ax>-3，∴x<-3/a，

∴所求不等式的解集为x<-3/a.

【教学说明】主体探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式.

四、师生互动，课堂小结

本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况.

1.布置作业：教材“习题

2.5”中第1、2题.

2.完成课堂点睛中本课时“课时作业”部分.

通过复习配方法使学生对一元二次方程的定义及解法有一个深刻的印象.然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，使学生的推理能力得到加强.