3.3-4 典型周期信号的傅里叶级数
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T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
4
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期 越大，谱线越密。
各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
E f (t )
频谱分析表明
2 E T1 E T1
T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
各谱线的幅度按 Sa( n ) 包络线变化。过零点
为： 2m
T1
4
主要能量在第一过零点内。主带宽度为：
1 B 或B f τ 2
若
1 T1 4
f (t )
E
T1 2T1
若 不变， 1 扩大一倍，即 T1 4 T1 8 T
E
t
E 2 E 4
cn
2
1
4
f (t )
T1
t
E 4 E 8
cn
2
1
4
若 T1 不变， 减小一半，即 T1 4 T1 8
E
f (t )
1 a0 T
T 2 T 2
T 2 T 2
2 2 A f (t )dt Adt T 0 T
2 an T
4 2 f (t ) cosn0tdt A cosn0tdt T 0
4A n0 2A n0 sin( ) sin( ) n0T 2 n 2 A 2A n0 f (t ) sin( ) cosn0t T n 2
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
E f (t ) T1
n1 jn1t Sa ( 2 )e n
2、频谱
2 E T1 E T1 2 E T1 E T1
E c0 T1
2 E n1 2E n1 cn Sa ( ) sin ( ) Fn E Sa ( n1 ) T1 2 n 2 T1 2
f (t)
E
T1
2T1
t
t
E 2 E 4
cn
2
1
E 4
E 8
4
cn
1
2
A 2 0 2 不变； (1) : 主峰高度 T ；过零点 ；谱线间隔 1 T T
1
T1
2T1
T
1
对称矩形脉冲信号的傅里叶级数
E
f (t )
E/2
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa( 2 ) cos n1t n 1
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa( 2 ) cos n1t n 1
1 1 E n1 Fn (an jbn ) an Sa ( ) 2 2 T1 2
1 频 谱 只 含 有 直 流基 波 及 奇 次 谐 波 分 量 . 波 幅 度 以 规 律 收 敛 , 谐 2 n
四、周期半波余弦信号
E
f (t )
0
T 4
T
t
f (t )
E
E
E 2
[cos(1t )
4 3
cos( 21t )
4 15
cos( 41t ) ...]
2E 1 n cos( ) cos( n1t ) 频谱只含有直流、 n 1 ( n 2 1) 2 基波和偶次谐波频 其中1 2 T1
sin x 令 Sa( x) x
f (t )
n
称为抽样函数或取样函数
A T
F e
n
jn0t
n Fra bibliotekn0 jn0t Sa( )e 2
3.4 傅里叶变换
傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的
加权和”——傅里叶的第一个主要论点
率分量，谐波以幅
度1/n2规律收敛
五、周期全波余弦信号
f (t ) E | cos(0t ) |
f (t ) 2E
T
E
f (t )
0
T 2
t
2E
4E
3
cos( t ) cos( 2 t ) cos( 4 0t ) ...] 0 0 15 35
4E
4
4E 1 n 1 ( 1) cos( 2 n 0 t ) 2 n 1 ( 4 n 1) 其中 0 2 T0
n )
f (1) cos n1tdtjn t t t T
T1
2 余弦分量幅度 : anjn t f (t ) Fn e 1 T1
n
t0
Fn
0
1
t0
f (t )e
1
dt
双边幅度频谱（Fn ~ n1 ) 双边频谱 单边幅度频谱（c ~ n ) 单边频谱 其中n 1,2,.... 双边相位频谱（ n ~ n1 ) 单边相位频谱（ ~ n )
非周期信号
1 x(t ) Txk e jk0t 0 2 k T jk0t 0 0 Txk x(t )e dt T
X ( jk0 ) X ( j ) k 0
1 x(t ) X ( j )e jt d 2 X ( j ) x(t )e jt d
n 1
f (t )
A
(2) 指数型傅立叶级数
1 Fn T
T
T 2
T 2
f (t )e
2
jn0t
1 dt T
2
2 2
T
t
2
Ae
jn0t
dt
A e jn0t T jn0
2
n0 n0 sin( ) sin( ) 2A A 2 2 n0 T n0 T 2
1、周期信号两种三角函数形式的傅里叶级数
f (t ) d 0 d n sin( n 2、指数形式的傅立叶级数 1t
t0
直流分量 : a0
n 1 n 1
f (t ) c0 cn cos( n1t n ) 1 t T
T1
0
1
f (t )dt
t 0 T1
1 1 f (t ) (cos 1t cos 31t cos 51t ) 3 5
cn
E
2E
31
1
E
71 51
cn
1
31
51
71
n
1
31
51
71
二、周期锯齿脉冲信号
f (t )
E 2
T1 2
E 2
T1 2
0
t
1 1 1 f (t ) [sin( 1t ) sin( 21t ) sin( 31t ) sin( 41t ) ...] 2 3 4 E n 1 1 (1) sin( n1t ) n 1 n 1 频谱只含有正弦分量. 谐波幅度以 规律收敛. n
bn 0
4 an T1
T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
2 T1 2 E 2 2 a0 f (t )dt Edt T1 0 T1 0 T1
T1 2 0
4 f (t ) cos n1tdt T1
2 0
n1 2 E E cos n1tdt Sa( ) cn T1 2
E
三、周期三角脉冲信号
f (t )
E
t
T1
T1 2
0
T1 2
T1
E 4E 1 1 f (t ) 2 [cos(1t ) 2 cos(31t ) 2 cos(51t ) ...] 2 3 5 E 4E 1 2 n 2 2 sin ( ) cos( n1t ) 2 n1 n 2
吉布斯现象MATLAB程序集\LT3_1.m
本次课的主要内容
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号 周期三角脉冲信号
3.4 傅里叶变换
频谱密度函数的概念 傅立叶变换对 傅立叶存在的条件
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
一、周期矩形脉冲信号
f (t )
T1 2T1
t
T1
T 1 4
T1 4
t
T1
E/2
E 2 E n1 周期矩形脉冲信号: f (t ) Sa ( 2 ) cosn1t T1 T1 n 1 令 a0 0, T1 2 ，则有 n f (t ) E Sa ( ) cos n1t 2 n 1 2E 1 1 (cos1t cos31t cos51t ) 3 5
n 1
3 、周期函数的频谱： 2 正弦分量幅度 : b
n
t 0 T1
T1
t0
f (t ) sin n1tdt
n
1
复习
4、函数的对称性与傅里叶系数的关系 周期偶函数只含直流和 an 周期奇函数只含正弦项
cos n1t
奇谐函数的偶次谐波的系数为0，只含有奇次谐波分量。 5 、吉布斯现象:当选取的傅里叶项数越多,合成波形中出现的峰起越靠近f(t)的不 连续点。当项数N很大时,峰起值趋于一个常数,约为总跳变值的9%,并从不连续 点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。无论N多大，这个超量不变。 但是在不连续点附近波峰宽度趋近于零，所以波峰下面积也趋近于零，因而 在能量的意义下部分和的波形收敛于原波形。
Fs
2sin T1
X j | k0
2T1
of
k0
3.4 傅里叶变换
2 T , 0 0 T
1
x(t)
非周期信号
T1
T1
t
Fs
2sin T1
X ( j)
2T1
连续时间的
<一般规律>
周期信号
3.4 傅里叶变换
2 T
X ( j ) k0
E f (t )
T1
T1 2 2
2
T1 2
T1
t
T1 T1 一个周期[ , ] 内 2 2 E ( t 2 ) f (t ) E[u (t ) u (t )] 2 2 0 (t ) 2
E f (t )
1、傅立叶级数
复习
上次课主要介绍了周期信号的傅立叶级数分 析,介绍了三角形式和指数形式的傅立叶级 数表示方法,两种频谱的结构特点等了分析, 再对偶函数,奇函数,奇谐函数的级数特点作 为分析.最后介绍了吉布斯现象.
复习
2 f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t ), 1 T1 n 1
3.4 傅里叶变换
周期信号
x(t )
此信号可以看成是由一 个非周期信号延拓而成
0
2T
2 T
T
T
非周期信号
则
2 2 1 2 1 ( ) T1 4 4 1 T1 n
2 E T1 E T1
cn
2
121
4
因此，第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有3根谱线。
一般情况： 若
则
第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1根谱线。
3、频谱结构与波形参数的关系（T1, ）
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
3.4 傅里叶变换
一 傅立叶级数到傅立叶变换
X ( j)
k0
2sin( k0T1 ) 2sin( k0T1 ) 2sin( T1 ) xk Txk k0T k 0
周期信号
1
T 2 0 0 T
频谱包含直流分量及0的基波和各次谐波分量; 1 或者说直流分量及0的偶次谐波分量.谐波幅度以 2 n 规律收敛.
例1：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅里 叶级数。
f (t )
A
T
2 2
T
t
解： ) f (t )是偶函数，故只含有常 数项和余弦项。 (1
E T1
cn
2
Fn
1 21
2 4
121
cn
4
E T1
Fn
2
121 2
n
4
4 2
1 21
n
4
2 4
2 4
E f (t )
频谱分析表明
2 E T1 E T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
4
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期 越大，谱线越密。
各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
E f (t )
频谱分析表明
2 E T1 E T1
T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
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121
各谱线的幅度按 Sa( n ) 包络线变化。过零点
为： 2m
T1
4
主要能量在第一过零点内。主带宽度为：
1 B 或B f τ 2
若
1 T1 4
f (t )
E
T1 2T1
若 不变， 1 扩大一倍，即 T1 4 T1 8 T
E
t
E 2 E 4
cn
2
1
4
f (t )
T1
t
E 4 E 8
cn
2
1
4
若 T1 不变， 减小一半，即 T1 4 T1 8
E
f (t )
1 a0 T
T 2 T 2
T 2 T 2
2 2 A f (t )dt Adt T 0 T
2 an T
4 2 f (t ) cosn0tdt A cosn0tdt T 0
4A n0 2A n0 sin( ) sin( ) n0T 2 n 2 A 2A n0 f (t ) sin( ) cosn0t T n 2
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
E f (t ) T1
n1 jn1t Sa ( 2 )e n
2、频谱
2 E T1 E T1 2 E T1 E T1
E c0 T1
2 E n1 2E n1 cn Sa ( ) sin ( ) Fn E Sa ( n1 ) T1 2 n 2 T1 2
f (t)
E
T1
2T1
t
t
E 2 E 4
cn
2
1
E 4
E 8
4
cn
1
2
A 2 0 2 不变； (1) : 主峰高度 T ；过零点 ；谱线间隔 1 T T
1
T1
2T1
T
1
对称矩形脉冲信号的傅里叶级数
E
f (t )
E/2
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa( 2 ) cos n1t n 1
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa( 2 ) cos n1t n 1
1 1 E n1 Fn (an jbn ) an Sa ( ) 2 2 T1 2
1 频 谱 只 含 有 直 流基 波 及 奇 次 谐 波 分 量 . 波 幅 度 以 规 律 收 敛 , 谐 2 n
四、周期半波余弦信号
E
f (t )
0
T 4
T
t
f (t )
E
E
E 2
[cos(1t )
4 3
cos( 21t )
4 15
cos( 41t ) ...]
2E 1 n cos( ) cos( n1t ) 频谱只含有直流、 n 1 ( n 2 1) 2 基波和偶次谐波频 其中1 2 T1
sin x 令 Sa( x) x
f (t )
n
称为抽样函数或取样函数
A T
F e
n
jn0t
n Fra bibliotekn0 jn0t Sa( )e 2
3.4 傅里叶变换
傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的
加权和”——傅里叶的第一个主要论点
率分量，谐波以幅
度1/n2规律收敛
五、周期全波余弦信号
f (t ) E | cos(0t ) |
f (t ) 2E
T
E
f (t )
0
T 2
t
2E
4E
3
cos( t ) cos( 2 t ) cos( 4 0t ) ...] 0 0 15 35
4E
4
4E 1 n 1 ( 1) cos( 2 n 0 t ) 2 n 1 ( 4 n 1) 其中 0 2 T0
n )
f (1) cos n1tdtjn t t t T
T1
2 余弦分量幅度 : anjn t f (t ) Fn e 1 T1
n
t0
Fn
0
1
t0
f (t )e
1
dt
双边幅度频谱（Fn ~ n1 ) 双边频谱 单边幅度频谱（c ~ n ) 单边频谱 其中n 1,2,.... 双边相位频谱（ n ~ n1 ) 单边相位频谱（ ~ n )
非周期信号
1 x(t ) Txk e jk0t 0 2 k T jk0t 0 0 Txk x(t )e dt T
X ( jk0 ) X ( j ) k 0
1 x(t ) X ( j )e jt d 2 X ( j ) x(t )e jt d
n 1
f (t )
A
(2) 指数型傅立叶级数
1 Fn T
T
T 2
T 2
f (t )e
2
jn0t
1 dt T
2
2 2
T
t
2
Ae
jn0t
dt
A e jn0t T jn0
2
n0 n0 sin( ) sin( ) 2A A 2 2 n0 T n0 T 2
1、周期信号两种三角函数形式的傅里叶级数
f (t ) d 0 d n sin( n 2、指数形式的傅立叶级数 1t
t0
直流分量 : a0
n 1 n 1
f (t ) c0 cn cos( n1t n ) 1 t T
T1
0
1
f (t )dt
t 0 T1
1 1 f (t ) (cos 1t cos 31t cos 51t ) 3 5
cn
E
2E
31
1
E
71 51
cn
1
31
51
71
n
1
31
51
71
二、周期锯齿脉冲信号
f (t )
E 2
T1 2
E 2
T1 2
0
t
1 1 1 f (t ) [sin( 1t ) sin( 21t ) sin( 31t ) sin( 41t ) ...] 2 3 4 E n 1 1 (1) sin( n1t ) n 1 n 1 频谱只含有正弦分量. 谐波幅度以 规律收敛. n
bn 0
4 an T1
T1
T1 2
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2
T1 2
T1
t
2 T1 2 E 2 2 a0 f (t )dt Edt T1 0 T1 0 T1
T1 2 0
4 f (t ) cos n1tdt T1
2 0
n1 2 E E cos n1tdt Sa( ) cn T1 2
E
三、周期三角脉冲信号
f (t )
E
t
T1
T1 2
0
T1 2
T1
E 4E 1 1 f (t ) 2 [cos(1t ) 2 cos(31t ) 2 cos(51t ) ...] 2 3 5 E 4E 1 2 n 2 2 sin ( ) cos( n1t ) 2 n1 n 2
吉布斯现象MATLAB程序集\LT3_1.m
本次课的主要内容
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号 周期三角脉冲信号
3.4 傅里叶变换
频谱密度函数的概念 傅立叶变换对 傅立叶存在的条件
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
一、周期矩形脉冲信号
f (t )
T1 2T1
t
T1
T 1 4
T1 4
t
T1
E/2
E 2 E n1 周期矩形脉冲信号: f (t ) Sa ( 2 ) cosn1t T1 T1 n 1 令 a0 0, T1 2 ，则有 n f (t ) E Sa ( ) cos n1t 2 n 1 2E 1 1 (cos1t cos31t cos51t ) 3 5
n 1
3 、周期函数的频谱： 2 正弦分量幅度 : b
n
t 0 T1
T1
t0
f (t ) sin n1tdt
n
1
复习
4、函数的对称性与傅里叶系数的关系 周期偶函数只含直流和 an 周期奇函数只含正弦项
cos n1t
奇谐函数的偶次谐波的系数为0，只含有奇次谐波分量。 5 、吉布斯现象:当选取的傅里叶项数越多,合成波形中出现的峰起越靠近f(t)的不 连续点。当项数N很大时,峰起值趋于一个常数,约为总跳变值的9%,并从不连续 点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。无论N多大，这个超量不变。 但是在不连续点附近波峰宽度趋近于零，所以波峰下面积也趋近于零，因而 在能量的意义下部分和的波形收敛于原波形。
Fs
2sin T1
X j | k0
2T1
of
k0
3.4 傅里叶变换
2 T , 0 0 T
1
x(t)
非周期信号
T1
T1
t
Fs
2sin T1
X ( j)
2T1
连续时间的
<一般规律>
周期信号
3.4 傅里叶变换
2 T
X ( j ) k0
E f (t )
T1
T1 2 2
2
T1 2
T1
t
T1 T1 一个周期[ , ] 内 2 2 E ( t 2 ) f (t ) E[u (t ) u (t )] 2 2 0 (t ) 2
E f (t )
1、傅立叶级数
复习
上次课主要介绍了周期信号的傅立叶级数分 析,介绍了三角形式和指数形式的傅立叶级 数表示方法,两种频谱的结构特点等了分析, 再对偶函数,奇函数,奇谐函数的级数特点作 为分析.最后介绍了吉布斯现象.
复习
2 f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t ), 1 T1 n 1
3.4 傅里叶变换
周期信号
x(t )
此信号可以看成是由一 个非周期信号延拓而成
0
2T
2 T
T
T
非周期信号
则
2 2 1 2 1 ( ) T1 4 4 1 T1 n
2 E T1 E T1
cn
2
121
4
因此，第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有3根谱线。
一般情况： 若
则
第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1根谱线。
3、频谱结构与波形参数的关系（T1, ）
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
3.4 傅里叶变换
一 傅立叶级数到傅立叶变换
X ( j)
k0
2sin( k0T1 ) 2sin( k0T1 ) 2sin( T1 ) xk Txk k0T k 0
周期信号
1
T 2 0 0 T
频谱包含直流分量及0的基波和各次谐波分量; 1 或者说直流分量及0的偶次谐波分量.谐波幅度以 2 n 规律收敛.
例1：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅里 叶级数。
f (t )
A
T
2 2
T
t
解： ) f (t )是偶函数，故只含有常 数项和余弦项。 (1
E T1
cn
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Fn
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4
E T1
Fn
2
121 2
n
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4 2
1 21
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E f (t )
频谱分析表明
2 E T1 E T1