级数求和方法总结

级数求和方法总结
级数求和问题是无穷级数中的重点也是难点,同时具有较强的技巧*。

以下是小编整理的级数求和方法总结，欢迎阅读。

一、定义法
这是以无穷级数前n项求和的概念为基础，以拆项，递推等为方法，进行的求和运算。

这种方法适用于有特殊规律的无穷级数。

二、逐项微分法
由于幂函数在微分时可以产生一个常系数，这便为我们处理某些幂函数求和问题提供方法.当然从实质上讲，这是求和运算与求导（微分）运算交换次序问题，因而应当心幂级数的收敛区间（对后面的逐项积分法亦如此）.
有时候，所求级数的通项为另一些函数的导数，而以这些函数为通项的级数易于求和，则可将这些函数逐项求导。

三、逐项积分法
同逐项微分法一样，逐项积分法也是级数求和的一种重要方法，这里当然也是运用函数积分时产生的常系数，而使逐项积分后的新级数便于求和。

【拓展延伸】
数列求和的方法
一、分组转化求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列构成，则求这个数列的前n项和Sn时可以用分组求和法求解。

一般步骤是：拆裂通项??重新分组??求和合并。

例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和
解由和式可知，式中第n项为an=n（3n+1）=3n2+n
∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）
=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）
=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）
=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2
=n（n+1）2
二、奇偶分析求和法
求一个数列的前n项和Sn，如果需要对n进行奇偶*讨论或将奇数项、偶数项分组求和再求解，这种方法称为奇偶分析法。

例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
分析：观察数列的通项公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn与数列项数n的奇偶*有关，故利用奇偶分析法及分组求和法求解，也可以在奇偶分析法的基础上利用并项求和法求的结果。

解：当n为偶数时，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2
=-n2-n2+n2+n2=n
当n为奇数时，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2
=-n2+n2+n2-n2=-n
综上所述，Sn=（-1）nn
三、并项求和法
一个数列an的前n项和Sn中，某些项合在一起就具有特殊的*质，因此可以几项结合求和，再求Sn，称之为并项求和法。

形如an=（-1）nf（n）的类型，就可以采用相邻两项合并求解。

如例3中可用并项求和法求解。

例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002
解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）
=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050
四、裂项相消法
如果一个数列an的通项公式能拆分成两项差的形式，并且相加过程中可以互相抵消至只剩下有限项时，这时只需求有限项的和，把这
种求数列前n项和Sn的方法叫做裂项相消法。

裂项相消法中常用的拆项转化公式有：
（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）
（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）
（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）] （4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），
其中n∈N，k∈R且k≠0
例5：求数列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。

解由题知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）
∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n
=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）
=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）
=2（1-1n+1）=2nn+1。