2020-2021学年海南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2020-2021学年海南省高一上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{}2,3,5,7A =，{}1,3,5,7,9B =，则A B =（ ）
A ．{}1,2
B ．{}3,5,7
C ．{}1,3,5,7,9
D ．{}1,2,3,5,7,9
【答案】B
【分析】根据交集的定义计算可得；
【详解】解：因为{}2,3,5,7A =，{}1,3,5,7,9B =，所以{}3,5,7A B =
故选：B 2．若
sin 0tan θ
θ
<，则θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第一或第三象限角 C ．第二或第三象限角 D ．第三或第四象限角
【答案】C
【分析】根据三角函数在各个象限的符号进行判断即可得到答案． 【详解】解：由
sin 0tan θ
θ
<，得sin θ与tan θ异号， 则角θ是第二或第三象限角， 故选：C ．
3．已知函数2,0
(),0
x x f x x x ⎧<=⎨-⎩，则((1))=f f （ ）
A ．1-
B ．12
- C ．1
2
D ．1
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式代入计算可得；
【详解】解：函数2,0
(),0
x x f x x x ⎧<=⎨-⎩，
()11f ∴=-，
()()()111122
f f f -∴=-==
． 故选：C ．
4．设221log ,3,tan 34
a b c π
-===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．c b a >>
【答案】D
【分析】根据对数函数以及指数函数的性质，三角函数值判断数的大小即可． 【详解】20221log log 10,0331,tan 1,34
a b c π
-=<=<=<=== 则c b a >>. 故选：D. 5．已知0,3πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且4sin 65
πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则cos 6α5π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭（ ） A ．4
5-
B ．
35 C ．
35
D ．
45
【答案】B
【分析】由已知结合同角平方关系可求cos()6
π
α+，然后结合诱导公式进行化简可求．
【详解】解：因为(0,)3π
α∈，
所以(,)662πππ
α+
∈， 因为)in(4
s 65
πα+=，
所以3cos 65
πα⎛⎫
+== ⎪⎝
⎭，
则53cos(
)cos()cos()6665
πππαπαα-=--=-+=-． 故选：B ．
6．已知函数2()f x x ax b =++的图象经过点()1,3，则ab （ ） A ．有最大值1 B ．有最小值1 C ．有最大值4 D ．有最小值4
【答案】A
【分析】由题意可得2a b +=，再利用基本不等式即可求出ab 的取值范围． 【详解】解：
函数2()f x x ax b =++的图象经过点(1,3)，
13a b ∴++=，2a b ∴+=，
∴2
(
)12
a b ab +=，当且仅当a b =时等号成立， 故选：A ．
7．已知函数()sin (0)4f x x πϕϕπ⎛⎫
=++
<< ⎪⎝
⎭
是奇函数，则ϕ=（ ） A ．
34
π B ．
2π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】A
【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解即可． 【详解】解：
()sin()(0)4
f x x π
ϕϕπ=++<<是奇函数，
4
k π
ϕπ∴+
=，k Z ∈，
得4
k π
ϕπ=-
，k Z ∈，
0ϕπ<<，
∴当1k =时，34
4
π
πϕπ=-
=
， 故选：A ．
8．向如图所示的瓶子中匀速注水，从空瓶到注满的过程中，水面高度h 随时间t 变化的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】根据容器的形状可得出注水时水面高度h 随时间t 变化的快慢，由此可得出合适的选项. 【详解】匀速地向容器内注水，可知容器的底面积越大，水面高度上升越慢，
该容器下部分为圆台，在注水的过程中，水面面积越来越小，可知水面高度h 随时间t 变化增长得越快， 该容器的上部分为圆柱，在注水的过程中，水面面积不变，可知水面高度h 随时间t 变化匀速增长. 故符合条件的图象为选项D. 故选：D. 二、多选题
9．下列函数中，在区间()0,1上单调递减的是（ ）
A ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．21y x =+
C ．1y x x
=+
D ．ln ||y x =
【答案】AC
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，1()2
x
y =，是指数函数，在区间(0,1)上单调递减，符合题意，
对于B ，21y x =+，为二次函数，在区间(0,1)上单调递增，不符合题意， 对于C ，1
y x x
=+
，为对勾函数，在区间(0,1)上单调递减，符合题意， 对于D ，||y ln x =，在区间(0,1)上，y lnx =，为增函数，不符合题意， 故选：AC ．
10．下列叙述正确的是（ ）
A ．命题“2,10x x x ∃∈++R ”的否定是“2,10x x x ∀∈++R ”
B ．命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定是假命题
C ．“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件
D ．“关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=有实根”的充要条件是“19m ≤≤” 【答案】BC
【分析】利用含有量词的命题的否定方法判断选项A ，通过判断原命题的真假判断选项B ，通过充分条件与必要条件的定义结合不等式的性质判断选项C ，利用二次方程根的个数的判断方法结合充分条件与必要
条件的定义判断选项D ．
【详解】解：根据存在量词命题的否定可得，命题“x R ∃∈，210x x ++”的否定是“x R ∀∈，
210x x ++<”，故选项A 错误；
原命题“所有的矩形都是平行四边形”是真命题，故其否定为假命题，故选项B 正确； 当2x 且2y 时，则有228x y +，所以224x y +，故充分性成立， 当0x =，2y =时满足224x y +，不满足2x 且2y ，故必要性不成立， 所以“2x 且2y ”是“224x y +”的充分不必要条件，故选项C 正确； 因为关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=有实根，
所以2(3)40m m ∆=--，解得1m 或9m ，故选项D 错误． 故选：BC ．
11．函数cos()([,2])2
y x x π
ππ=-+∈-的图象与直线y t =(t 为常数且0t >)的交点个数可能为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】ACD
【分析】利用诱导公式化简，作出化简后的函数在指定区间上的图象，观察动直线y =t (t>0)与图象关系得解.
【详解】原函数化为：cos ([,2])2
y x x π
π=∈-
，其图象如图：
观察图象得：0<t<1时，有3个交点；t =1时，有2个交点；t>1时，没有交点，选项ACD 满足. 故选：ACD
12．下列选项中，能推出b a
a b
>的为（ ） A ．0a b >> B ．0b a << C ．10,1a b -<<> D ．1,01a b <-<<
【答案】BD 【分析】由
b a
a b
>得出()()0ab a b a b -+<，然后逐项验证可得出合适的选项.
【详解】
b a a b >，则()()220a b a b a b a b b a ab ab
-+--==<，等价于()()0ab a b a b -+<. 对于A 选项，0a b >>，则0ab >，0a b ->，0a b +>，则()()0ab a b a b -+>，A 选项不满足条件；
对于B 选项，0b a <<，则0ab >，0a b ->，0a b +<，则()()0ab a b a b -+<，B 选项满足条件； 对于C 选项，10a -<<，1b >，则0ab <，0a b -<，0a b +>，则()()0ab a b a b -+>，C 选项不满足条件；
对于D 选项，1a <-，01b <<，则0ab <，0a b -<，0a b +<，则()()0ab a b a b -+<，D 选项满足条件. 故选：BD. 三、填空题 13．函数()
f x =的定义域为__________. 【答案】(),2-∞
【分析】解不等式20x ->即可得出函数()f x 的定义域. 【详解】对于函数()
f x =
，有20x ->，解得2x <. 因此，函数()
f x =的定义域为(),2-∞. 故答案为：(),2-∞.
14．已知函数()f x 的周期为4，且当[2,2]x ∈-时，2()2f x x =-，则()9f =_______. 【答案】1
【分析】利用函数的周期为4，从而将()9f 转化为求解()1f ，再利用已知的函数解析式，即可得到答案． 【详解】解：因为函数()f x 的周期为4， 所以()()()94211f f f =⨯+=，
又因为当[2x ∈-，2]时，2()2f x x =-，
所以()()2
91211f f ==-=．
故答案为：1．
15．已知346x
y
==，则21
x y
+=_________．
【答案】2
【分析】由346x y ==可得3466log x log y ==，代入目标，利用换底公式即可得到结果. 【详解】∵346x y == ∴3466log x log y ==，， ∴
66634212123436266
log log log x y log log +=+=+== 故答案为2
【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基础题. 四、双空题 16．已知0,
2πα⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
，且满足1sin cos 2αα=-，则sin 4πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭_________，sin 2α=_________.
【答案】 34
【分析】第一个空利用辅助角公式直接求解即可，第二个空对等式1
sin cos 2
αα-=-两边平方，利用同角三角函数关系及二倍角公式求解即可；
【详解】因为0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且满足1sin cos 2αα=-，
利用辅助角公式得到：1
sin cos )42
πααα-=
-=-，
所以sin()4
π
α-
= 对1sin cos 2αα-=-两边平方得到：22
1sin 2sin cos cos 4
αααα-+=，
又因为22sin cos 1αα+=，所以1
12sin c 4os αα-=
即3sin 22sin cos 4
ααα==，
故答案为：，3
4. 【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根
据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，选正弦较好．
五、解答题
17．已知非空集合{}
2
{|123},|280A x a x a B x x x =-<<+=--.
（1）当2a =时，求A B ；
（2）若A
B =∅，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）[)2,7-；（2）[)54,5,2⎛
⎤--+∞ ⎥
⎝
⎦
【分析】（1）可求出集合{|24}B x x =-，2a =时求出集合A ，然后进行并集的运算即可； （2）根据题意得到不等式组，然后解出a 的范围即可．
【详解】解：（1）因为{}
2
{|123},|280A x a x a B x x x =-<<+=--
所以{|24}B x x =-，当2a =时，{|17}A x x =<<，
[)2,7A B ∴=-；
（2）
A B =∅，A ≠∅，
∴12314a a a -<+⎧⎨-⎩或123232
a a a -<+⎧⎨+-⎩，解得542a -<-或5a ，所以[)54,5,2a ⎛⎤∈--+∞ ⎥⎝⎦
a ∴的取值范围为：[)54,5,2⎛⎤
--+∞ ⎥
⎝
⎦．
18．化简或求值：
（1
）2020
1
20203
22733⎛⎛⎫---⨯
⎪⎝⎭
⎝⎭
；
（2）若1tan 2
α=，求sin()sin 23cos(4)cos 2παπαππαα⎛⎫
++- ⎪
⎝⎭
⎛⎫-++ ⎪
⎝⎭
的值.
【答案】（1）1；（2）
1
3
. 【分析】（1）直接利用指数幂的运算律求解；
（2）直接利用诱导公式和同角三角函数基本关系式求解.
【详解】（1
）2020
1
20203
2273⎛
⎫---⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
1010
101013313⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
=-⨯，
1=；
（2）因为1tan 2
α=
， 所以sin()sin 23cos(4)cos 2παπαππαα⎛⎫
++- ⎪
⎝⎭
⎛⎫
-++ ⎪
⎝⎭，
sin cos cos sin αααα-+=
+，
tan 11tan αα-+=+， 112112
-+=+，
13
= 19
．已知函数)
22
()sin 2cos sin f x x x x =--.
（1）求6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
； （2）求()f x 的最小正周期和单调递增区间.
【答案】（1）0；（2）最小正周期T π=，单调递增区间为5,1212k k ππ
ππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈． 【分析】（1）先结合二倍角公式，辅助角公式先进行化简，然后把6
x π
=代入即可求解，
（2）结合正弦函数的周期公式可求T ，然后利用整体思想2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-+-
+，k Z ∈
，解不
等式可求x 的范围，即可求解．
【详解】解：（1）22()sin 2sin )
f x x x x =-，
sin 2x x =，
2sin(2)3
x π
=-，
所以()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
所以2sin 006f π⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
（2）函数的最小正周期T π=， 令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+-
+，k Z ∈，
解得51212
k x
k π
π
ππ-
++，k Z ∈ 故()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈．
20．已知二次函数2()(31)31f x x t x t =+++-. （1）若()f x 是偶函数求t 的值；
（2）若函数()f x 在区间(2,1)--和()0,1上各有一个零点，求t 的取值范围. 【答案】（1）13t =-
；（2）11,63⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求出t 的值；
（2）根据函数的零点存在定理可得关于t 的不等式组，解方程组即可得到t 的取值范围． 【详解】解：（1）
()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，
22(31)31(31)31x t x t x t x t ∴-++-=+++-，
即2(31)0t x +=， 所以310t +=解得1
3
t =-
； （2）函数()f x 在区间(2,1)--和(0,1)上各有一个零点，
所以(2)0(1)0(0)0(1)0f f f f ->⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪>⎩，即42(31)3101(31)310310131310
t t t t t t t -++->⎧⎪-++-<⎪⎨-<⎪⎪+++->⎩，解得1163
t -<<，
故t 的范围为11,63⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；
④端点函数值符号四个方面分析．
21．为了强化体育教育，促进学生身心健康全面发展，某学校计划修建一个面积为2600m 的矩形运动场，要求东西方向比南北方向宽.如图所示矩形ABCD ，满足AD AB >，运动场分为乒乓球场(ABEF )和排球场(CDFE )两部分，现要在运动场四周以及乒乓球场与排球场之间修建围墙，已知修建围墙的价格为500元/m ，设AD 的长为m x ，围墙的总造价为y 元.
（1）求y 关于x 的函数表达式.
（2）当x 为何值时，y 最小？最小值为多少？
【答案】（1）9001000()(106)y x x x
=+>（2）当30x =时， y 的最小值为60000元． 【分析】（1）直接利用矩形的面积公式，边长与造价的关系式求出结果；
（2）利用基本不等式求出结果．
【详解】解：（1）设AD x =米，AB t =，由题意知600xt =，
且x t >，即600t x x
=<，解得106x > 则600900500(23)500(23)1000()y x t x x x x
=+=+⨯=+， 所以函数的解析式为9001000()(106)y x x x =+
>． （2）由于9009001000()1000260000y x x x x
=+⨯⋅=， 当且仅当30x =时，y 值最小，y 的最小值为60000元．
22．已知函数21()log 1
x f x x -=+. （1）判断()f x 的奇偶性；
（2）证明：()f x 在区间(1,)+∞上单调递增；
（3）若当[3,1)x ∈--时，2()2f x x x m ++恒成立，求m 的取值范围.
【答案】（1）奇函数（2）见解析（3）](
,2-∞-
【分析】（1）求出函数的定义域，再求出()f x -与()f x 的关系即可判断奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义，直接证明即可；
（3）根据条件可得2()(2)m f x x x -+在[3∈-，1)-上恒成立，令2()()(2)g x f x x x =-+，求出()g x 的最小值，即可得到m 的取值范围．
【详解】解：（1）函数21()log 1x f x x -=+，则101
x x ->+，解得1x <-或1x >， 即函数()f x 的定义域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 又222111()log log log ()111
x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+， 所以()f x 为奇函数．
（2）证明：任取1x ，2(1,)x ∈+∞，且12x x <，则120x x -<． 因为12121212112()011(1)(1)
x x x x x x x x ----=<++++， 所以12121111x x x x --<++，所以12221211log log 11
x x x x --<++， 故12()()f x f x <，
所以函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增．
（3）当[3x ∈-，1)-时，2()2f x x x m ++恒成立，
即2()(2)m f x x x -+在[3∈-，1)-上恒成立，
令2()()(2)g x f x x x =-+，
由()f x 为奇函数，且在(1,)+∞上单调递增，
可得()f x 在[3-，1)-上单调递增，
因为函数22y x x =+在[3-，1)-上单调递减，
所以2()()(2)g x f x x x =-+在[3-，1)-上单调递增，
所以()(3)2min g x g =-=-，所以2m -，
即m 的取值范围为(-∞，2]-．。