高中数学训练题及解析——两角和与差

高中数学训练题及解析——两角和与差
一、选择题
1．(2010·福建卷)计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于()
A.1
2 B.
3
3
C.
2
2 D.
3
2
答案 A
解析原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝1 2.
2．已知sinα＝12
13，cosβ＝
4
5，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α
－β)等于()
A.33
65 B.
63
65
C．－16
65D．－
56
65
答案 A
解析因为α是第二象限角，且sinα＝12
13，所以cosα＝－1－
144
169＝－
5
13.
又因为β是第四象限角，cosβ＝4
5，所以sinβ＝－1－
16
25＝－
3
5.sin(α－β)＝
sinαcosβ－cosαsinβ＝12
13×
4
5－(－
5
13)×(－
3
5)＝
48－15
65＝
33
65.
3．设α∈(0，π
2)，若sinα＝
3
5，则2cos(α＋
π
4)等于()
A.7
5 B.
1
5
C．－7
5D．－
1
5
答案 B
解析因为α∈(0，π
2)，sinα＝
3
5，所以cosα＝1－
9
25＝
4
5.
所以2cos(α＋π
4)＝2(cosαcos
π
4－sinαsin
π
4)＝2(
2
2cosα－
2
2sinα)＝cosα－
sinα＝4
5－
3
5＝
1
5
4．化简cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ的结果为() A．sin(2α＋β) B．cos(α－2β)
C．cosαD．cosβ
答案 C
解析等式即cos(α－β＋β)＝cosα
5．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝
6
2，则a、b、c的大小关
系是( )
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <a <c
D ．b <c <a 答案 B
解析 a ＝2sin(45°＋14°)＝2sin59° b ＝2sin(45°＋16°)＝2sin61°
c ＝6
2＝2sin60°，∴b >c >a .
6．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则cos A cos B ＝( ) A.14 B.34 C.12 D ．－14 答案 B
解析 tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B
cos B
＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin (A ＋B )cos A cos B ＝sin60°cos A cos B ＝32cos A cos B ＝
23
3
∴cos A cos B ＝3
4
7．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π4等于( )
A.1318
B.1322
C.322
D.16 答案 C
解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛
⎭
⎪
⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4
＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛
⎭⎪
⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫β－π4＝3
22
.
8．(09·陕西卷)若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2α＋sin2α
的值为( )
A.103
B.53
C.2
3 D ．－2 答案 A
解析 3sin α＝－cos α⇒tan α＝－1
3.
1
cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α
＝
1＋191－23
＝103.
二、填空题 9．cos84°cos24°－cos114°cos6°的值为________．
答案 1
2
解析 cos84°cos24°－cos114°cos6°＝cos84°cos24°＋cos66°sin84°＝
cos84°cos24°＋sin24°sin84°＝cos(84°－24°)＝cos60°＝1
2.
10．(2010·全国卷Ⅰ，理)已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan (π
4＋2α)＝________.
答案 －1
7
解析 由cos 2α＝2cos 2α－1＝－35，且α为第三象限角，得cos α＝－5
5，sin α
＝－255，则tan α＝2，tan2α＝－43，tan(π4＋2α)＝1＋tan 2α1－tan 2α
＝－1
7
.
11．(2011·厦门)
如图，角α的顶点在原点O ，始边在x 轴的正半轴，终边经过点P (－3，－4)．角β的顶点在原点O ，始边在x 轴的正半轴，终边OQ 落在第二象限，且tan β＝－2，则cos ∠POQ 的值为________．
答案 －5
5 解析
tan β＝tan(π－θ1)＝－tan θ1＝－2，∴tan θ1＝2，tan θ2＝4
3. tan ∠POQ ＝tan θ1＋tan θ2
1－tan θ1·tan θ2
＝－2＝sin ∠POQ
cos ∠POQ
.
又由sin 2∠POQ ＋cos 2∠POQ ＝1，得cos ∠POQ ＝－5
5.
12．(2011·潍坊)化简：
sin (3α－π)sin α＋cos (3α－π)
cos α＝________.
答案 －4cos2α
解析 原式＝－sin3αsin α＋－cos3α
cos α＝ －sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－
sin4αsin αcos α＝ －4sin αcos α·cos2αsin αcos α
＝－4cos2α.
13．不查表，计算1sin10°－3
sin80°＝________.(用数字作答) 答案 4
解析 原式＝cos10°－3sin10°
sin10°
cos10°
＝2(12cos10°－32sin10°)sin10°cos10°
＝4(sin30°cos10°－cos30°sin10°)2sin10°cos10°
＝
4sin (30°－10°)sin20°＝4. 三、解答题
14．求(tan10°－3)·cos10°
sin50°
的值．
解析 (tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝(sin10°
cos10°－
sin60°cos60°)·cos10°sin50°＝sin10°
cos60°－sin60°cos10°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－sin (60°－10°)cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝－1
cos60°
＝－2. 15．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π
4.求cos α的值．
解析 sin(α＋π4)＝45且π4<α<3π
4 ∴π2<α＋π4<π
∴cos(α＋π4)＝－1－sin 2(α＋π4)＝－3
5
∴cos α＝cos[(α＋π4)－π
4]
＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π
4
＝－35×22＋45×22＝210.
16．已知tan2θ＝34(π
2<θ<π)，求
2cos 2θ
2＋sin θ－1
2cos (θ＋π4)的值．
解 ∵tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝3
4
，
∴tan θ＝－3或tan θ＝1
3，
又θ∈(π
2，π)，∴tan θ＝－3，
∴
2cos 2θ
2＋sin θ－1
2cos (θ＋π4
)
＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ
1－tan θ
＝1－31＋3
＝－12.。