新北师大版高中数学必修二第二章《解析几何初步》测试卷(答案解析)(2)

一、选择题
1．已知圆22:1,O x y +=点()00,P x y 在直线20x y --=上，O 为坐标原点.若圆上存在点Q 使得30OPQ ∠=，则0x 的取值范围为（ ）
A ．[]1,1-
B ．[]0,1
C ．[]0,2
D ．[]22-,
2．已知半径为2的圆经过点()5,12，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A ．9 B ．11 C ．13 D ．15
3．已知半径为1的圆经过直线2110x y +-=和直线220x y --=的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4．如图，棱长为4的正四面体ABCD ，M ，N 分别是AB ，CD 上的动点，且3MN =，则MN 中点的轨迹长度为（ ）
A ．23π
B ．2π
C ．2π
D ．π
5．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点N (1，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．67
B ．127
C ．24
D ．6
6．已知过点()2,1P 的直线l 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当PA PB ⋅最小时，直线l 的方程为（ ）
A ．24x y +=
B ．3x y +=
C ．25x y +=
D ．35x y += 7．在空间四边形ABCD 中，AB BC =，AD DC =，则对角线AC 与BD 所成角的大小
是（ ）
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30
8．一个底面为正三角形的棱柱的三视图如图所示，若在该棱柱内部放置一个球，则该球的最大体积为（ ）
A ．6π
B ．12π
C ．43π
D ．83π 9．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为
（ ）
A ．64
B ．48
C ．32
D ．16
10．在下面四个正方体ABCD A B C D ''''-中，点M 、N 、P 均为所在棱的中点，过M 、N 、P 作正方体截面，则下列图形中，平面MNP 不与直线A C '垂直的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
11．在正方体1111ABCD A BC D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43球的体积为（ ）
A ．43π
B 6π
C ．323π
D ．86π 12．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是
（ ）
A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥
B ．m α⊥，n α⊥，则//m n
C ．m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．m n ⊥，//n α，则m α⊥ 二、填空题
13．以下四个命题中：①直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2；②直线310x y ++=的倾斜角为60︒，③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件.其中正确的是________.
14．已知P 是直线4100(0)kx y k +-=>上的动点，,PA PB 是圆
22:2440C x y x y +-++=的两条切线，,A B 是切点，C 是圆心，若四边形PACB 的面积的最小值为22k 的值为____________.
15．圆22440x y y +--=上恰有两点到直线0x y a -+=2a 的取值范围是______.
16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．
（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为__________；
（2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =__________．
17．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______
18．若点()1,1P 为圆()2
239x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为__________.
19．如图，点E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的有__________．
①直线AD 与直线1C M 始终是异面直线
②存在点M ，使得1B M AE ⊥
③四面体EMAC 的体积为定值
④当12D M MB =时，平面EAC ⊥平面MAC
20．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家､地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 31，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为___________.
21．正方体1111ABCD A BC D -棱长为点1，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点P 在正方体表面上运动，满足1PE BD ⊥，则动点P 的轨迹的周长为__________． 22．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且所有顶点都在球O 的表面上，侧面PAB ⊥底面ABCD ，23PA PB ==，120APB ∠=︒，4=AD ，则球O 的表面积为
_______.
23．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，13AA =，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 表面积的最小值为______.
24．在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.将BCD 沿对角线BD 翻折，得到三棱锥A BCD -，则该三棱锥外接球的表面积为________.
三、解答题
25．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，90DBA ∠=︒，2BA BD ==，10,,PA PD E F ==分别是棱,AD PC 的中点.
（1）证明：//EF 平面PAB ；
（2）若二面角P AD B --为60︒，求点B 到平面PAD 的距离.
26．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BCD ∠=，已知2PB PD ==，6PA =，E 为PA 的中点.
（1）求证：PC BD ⊥；
（2）求二面角B PC E --的余弦值；
（3）求三棱锥P BCE -的体积.
27．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB =
π3
，AB =2，EF //AC ，EA =ED 3BE 5
（1）求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；
（2）求三棱锥F -BCD 的体积.
28．如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．
（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；
（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据圆的切线的性质，可知当过P 点作圆的切线，切线与OP 所成角是圆上的点与OP 所成角的最大值，只需此角大于等于30即可，此时半径，切线与OP 构成直角三角形，由切线与OP 所成角大于等于30可得OP 小于等于半径的2倍，再用含0x 的式子表示OP ，即可求出0x 的取值范围．
【详解】
设过P 的C 的切线切点为R ，根据圆的切线性质，有30OPR OPQ ∠∠=︒．
反过来，如果30OPR ∠︒，则存在C 上点Q 使得30OPQ ∠=︒． ∴若圆C 上存在点Q ，使30OPQ ∠=︒，则30OPR ∠︒
||1OR =，||2OP ∴>时不成立，||2OP ∴．
222222000000||(2)244OP x y x x x x =+=+-=-+
200240x x ∴-，解得，0002x x ∴的取值范围是[0，2]
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考查了学生的转化能力，计算能力．
2．B
解析：B
【分析】
设圆心坐标为(),a b ，则圆的圆心轨迹方程()()22
5124a b -+-=，再利用点与点的距离公式求解
【详解】
半径为2的圆经过点()5,12，设圆心坐标为(),a b ，则其方程为()()224x a y b -+-= ， 由其过点()5,12，则()()225124a b -+-=，即()()22
5124a b -+-= 可得该圆的圆心轨迹是以()5,12为圆心，2为半径的圆，
故圆心到原点的距离的最小值为()5,12到原点的距离减半径，
213211=-=，
故选：B ．
【点睛】
关键点睛：本题考查轨迹问题和点与圆上的点的距离的最值，解答本题的关键是由题意得到圆心的轨迹方程()()22
5124a b -+-=，再根据点与圆上的点的距离的最值的求法得出答案，属于中档题. 3．C
解析：C
【分析】
设出圆的方程，求出直线交点代入圆可得圆心在以()3,4为圆心，1为半径的圆上，即可由此求出最值.
【详解】
设圆的方程为()()22
1x a y b -+-=， 联立直线方程2110220x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩
，
将()3,4代入圆得()()22
341a b -+-=， 则可得圆心(),a b 在以()3,4为圆心，1为半径的圆上，
则()3,4到原点的距离为22345+=，则圆心(),a b 到原点的距离的最大值为516+=. 故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查与圆相关的距离的最值问题，解题的关键是得出圆心的轨迹是以()3,4为圆心，1为半径的圆，再求出轨迹圆的圆心到原点的距离，加上半径即可. 4．D
解析：D 【分析】
把正四面体放在正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、中点坐标公式以及圆的标准方程进行求解即可.
【详解】
把正四面体ABCD 放在正方体AFCE HBGD -中，并建立如图所示的空间直角坐标系， 设该正方体的棱长为a ，
因为正四面体ABCD 的棱长为422422a a a +=⇒= 因此相应点的坐标为：(0,00),(22,0,22),(22,22,0),(0,22,22)D A B C ，， 因为N 是CD 上的动点，所以设点N 的坐标为：(0,,)n n ，
设AM mAB =，000(,,)M x y z ，因此有000(22,,22)(0,22,22)x y z m --=-， 因此00022,22,2222x y m z m ===，
设MN 中点为(,,)P x y z ，因此有：
2(1)
2
2
x
x
y n y
n z
n
z
⎧
=
⎪
⎧
⎪=
⎪
⎪⎪⎪
=⇒+=
⎨⎨
⎪⎪
-=
⎪
⎪⎩
+
=
⎪
⎪⎩
，
因为3
MN=，
3
=，
化简得：22
))1(2)
n n
-+-=，把(1)代入(2)中得：
22
1
((
4
y z
+=，显然MN中点的轨迹是圆，半径为1
2
，
圆的周长为：
1
2
2
ππ
⋅=.
故选：D
【点睛】
关键点睛：利用正方体这个模型，结合解析法是解题的关键.
5．A
解析：A
【分析】
先求得圆的圆心和半径，易知最长弦为直径，最短弦为过点()
1,1与AC（直径）垂直的弦，再求得BD的长，可得面积.
【详解】
由224410
x y x y
+---=可得：22
(2)(2)9
x y
-+-=，
故圆心为(2,2)，半径为3
r=，
由N()
1,1为圆内点可知，过N(1，1)最长弦为直径，即AC=6
而最短弦为过()
1,1与AC垂直的弦，
圆心(2,2)到()
1,1
的距离：d==
所以
BD==
所以四边形ABCD
的面积：
1
2
S AC BD
=⋅=
故选：A
【点睛】
本题考查了直线与圆，圆的方程，圆的几何性质，面积的求法，属于中档题.
6．B
解析：B
【分析】 由题意结合三角函数的知识可得1sin PA θ=，2cos PB θ=，结合正弦的二倍角公式可得4sin 2PA PB θ
⋅=
，求出θ后即可得直线的斜率，再由点斜式即可得解. 【详解】 设()090BAO θθ∠=<<，如图：
则1sin PA θ=，2cos PB θ=， 所以124sin cos sin 2PA PB θθθ⋅=
⋅=， 所以当290θ=即45θ=时，PA PB ⋅最小，
此时，直线的倾斜角为135，斜率tan1351k ==-，
所以直线l 的方程为()12y x -=--即3x y +=.
故选：B.
【点睛】
本题考查了三角函数、三角恒等变换的应用，考查了直线方程的求解，关键是合理转化条件，属于中档题.
7．A
解析：A 【分析】
取AC 中点O ，根据条件分析AC 与平面BOD 的位置关系，由此得到异面直线AC 与BD 所成角的大小.
【详解】
取AC 中点O ，连接,,BO DO BD ，如图所示：
因为AB BC =，AD DC =，所以,BO AC DO AC ⊥⊥，且BO
DO O =， 所以AC ⊥平面BOD ，又BD ⊂平面BOD ，所以AC BD ⊥，
所以AC 与BD 所成角为90︒， 故选：A.
【点睛】
关键点点睛：解答问题的关键是通过找AC 中点证明线面垂直，从而确定出线线垂直关系，和常规的求解异面直线所成角的方法不同.
8．C
解析：C 【分析】
先由三视图计算底面正三角形内切圆的半径，内切圆的直径和三棱柱的高比较大小，确定球的半径的最大值，计算球的最大体积. 【详解】
由三视图知该直三棱柱的高为4，底面正三角形的高为33半径为高的三分之一，即3r =234，所以该棱柱内部可放置球的半径的最大33
4
3
433
V π
π==.
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的第一个关键是由三视图确定底面三角形的高是33定球的最大半径.
9．C
解析：C 【分析】
在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积. 【详解】
根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P -ABCD （补形法） 且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4， 故该四棱锥的体积为1
(64)4323
V =⨯⨯⨯=. 故选C ． 【点睛】
(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；
(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
10．A
解析：A 【分析】
利用线面垂直的判定定理可判断BCD 选项，利用假设法推出矛盾，可判断A 选项. 【详解】
对于A 选项，连接B C '，假设A C '⊥平面MNP ，
在正方体ABCD A B C D ''''-中，A B ''⊥平面BB C C ''，B C '⊂平面BB C C ''，
A B B C '''∴⊥，所以，A B C ''为直角三角形，且A CB ''∠为锐角，
因为M 、N 分别为BB '、BC 的中点，则//MN B C '，所以，MN 与A C '不垂直， 这与A C '⊥平面MNP 矛盾，故假设不成立，即A C '与平面MNP 不垂直； 对于B 选项，连接B D ''、A C ''，如下图所示：
因为四边形A B C D ''''为正方形，则A C B D ''''⊥，
CC '⊥平面A B C D ''''，B D ''⊂平面A B C D ''''，CC B D '''∴⊥，
A C CC C ''''=，
B D ''∴⊥平面A C
C ''，
A C '⊂平面A CC ''，AC
B D '
''∴⊥，
M 、P 分别为A B ''、A D ''的中点，则//MN B D ''，可得MP A C '⊥， 同理可证A C MN '⊥，
MP MN M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP ；
对于C 选项，连接C D '、A N '、CN 、A P '、PC ，取A B ''的中点E ，连接C E '、
PE ，
因为四边形CC D D ''为正方形，则CD C D ''⊥，
A D ''⊥平面CC D D ''，C D '⊂平面CC D D ''，C D A D '''∴⊥， CD A D D ''''=，C D '∴⊥平面A CD ''，
A C '⊂平面A CD ''，A C C D ''∴⊥，
M 、N 分别为DD '、C D ''的中点，//MN C D '∴，A C MN '∴⊥，
在正方形A B C D ''''中，E 、N 分别为A B ''、C D ''的中点，//A E C N ''∴且A E C N ''=， 所以，四边形A EC N ''为平行四边形，所以，//A N C E ''且A N C E ''=， 同理可证四边形CC EP '为平行四边形，//C E CP '∴且C E CP '=， 所以，//A N CP '且A N CP '=，所以，四边形A PCN '为平行四边形， 易得A N CN '=，所以，四边形A PCN '为菱形，所以，A C PN '⊥，
MN PN N =，A C '∴⊥平面MNP ；
对于D 选项，连接AC 、BD ，
因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，
AA '⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AA BD '∴⊥，
AC AA A '⋂=，BD ∴⊥平面AAC '
， A C '⊂平面AAC
'
，A C BD '∴⊥， M 、N 分别为CD 、BC 的中点，则//MN BD ，A C MN '∴⊥，同理可证
A C MP '⊥，
MN MP M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP .
故选：A. 【点睛】
方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；
三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；
另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．
11．B
解析：B 【分析】
根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果． 【详解】
解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B C D C a ======， 由于三棱锥11A B CD -的表面积为43 所以)
12
13344224AB C
S S a
==⨯=所以2a =
()()()
2
2
2
2226++=
， 所以正方体的外接球的体积为3
4
663
π
π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
故选：B ． 【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
12．D
解析：D 【分析】
利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A 选项的正误；由线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；根据已知条件判断直线n 与平面α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断直线m 与平面α的位置关系，可判断D 选项的正误. 【详解】 对于A ，//n α，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行
于n ，
m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故A 正确；
对于B ，若m α⊥，n α⊥，由直线与平面垂直的性质，可得//m n ，故B 正确； 对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，又n α⊄，//n α∴，故C 正确； 对于D ，若m n ⊥，//n α，则//m α或m 与α相交或m α⊂， 而m α⊄，则//m α或m 与α相交，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】
方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进
行推理或者反驳．
二、填空题
13．①④【分析】根据直线方程直线的倾斜角的定义方差公式对立事件的概念分别判断各命题【详解】①直线中令则∴直线必过定点①正确；②直线的斜率为倾斜角为②错误；③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后
解析：①④ 【分析】
根据直线方程，直线的倾斜角的定义，方差公式，对立事件的概念分别判断各命题． 【详解】
①直线()32y ax a a R =-+∈中，令3x =，则2y =，∴直线必过定点()3,2，①正确；
②10y ++=的斜率为k =120︒，②错误；
③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差变为原来的2a 倍，③错误；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 不可能同时发生，为互斥事件，但事件3发生时，,A B 都不发生．因此它们不是对立事件，④正确． 故答案为：①④ 【点睛】
本题考查命题的真假判断，掌握直线方程，直线的倾斜角，方差，对立事件等概念是解题关键．本题属于中档题．
14．3【分析】由面积关系与勾股定理将已知面积转化为由表示再由点到直线的距离公式求得最小值最后由面积的最小值构建方程求得参数【详解】由题可知四边形又因为所以四边形的面积的最小值为故答案为：3【点睛】本题考
解析：3 【分析】
由面积关系与勾股定理将已知面积转化为由PC 表示，再由点到直线的距离公式求得PC 最小值，最后由面积的最小值构建方程求得参数. 【详解】
由题可知，S 四边形1
222
PACE PAC S PA AC r ==⨯==
，
又因为min C l PC d -==
=
所以四边形PACB 的面积的最小值为
2
22
1812234k k k ⎛⎫
--=⇒= ⎪+⎝⎭
故答案为：3 【点睛】
本题考查利用直线与圆相切的位置关系转化所求面积，还考查点与直线的最小距离，属于中档题.
15．【分析】由与直线的距离为的两条平行线一条与圆相交一条与圆相离可得【详解】圆标准方程为圆心为半径为圆心到已知直线的距离为由题意解得或故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系利用圆心到直线的距离判断 解析：()
()4,04,8-
【分析】
由与直线0x y a -+=2 【详解】
圆标准方程为22
(2)8x y +-=，圆心为(0,2)C ，半径为22r =
圆心C 到已知直线的距离为0222
2
a
a d -+-=
=
，
由题意2
222222222a a ⎧-+>⎪
⎪⎨-<，解得40a 或48a <<．
故答案为：(4,0)(4,8)-．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系是常用方法．
16．【分析】（1）设出公切线方程利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求解即可；（2）设出方程分别表示出圆心到直线的距离结合弦长公式求得即可【详解】解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为设公切线方程为 解析：
125
【分析】
（1）设出公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求解即可； （2
）设出方程，分别表示出圆心到直线的距离1d =
，2d =
，
3d =
，结合弦长公式求得k ，m 即可
【详解】
解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为(4,0)-，(4,0)，
设公切线方程为(0)y kx m k =+≠且k
存在，则22
==
，解得k =，0m =，
故公切线方程为y =，则Q 到直线l
的距离d =， 故l 截圆Q
的弦长3=； （2）设方程为(0)y kx m k =+≠且k 存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：
1d =
，2d =
，3d =
，
则222
212
34(4)4(4)4(9)d d d d =-=-=-，
即有22=，
①2249-=-，②
解①得0m =，代入②得2
421
k =
， 则24
16144
214(4)425121
d ⨯
=-=+
，即125d =， 故答案为：3；125
． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，公切线方程，方程思想，数形结合思
想，属于中档题．
17．【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用角平分线 解析：0x y -=
【分析】
设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||
||
CD DB ，利用共线向量坐
标关系，求出D 点坐标，即可求解.
【详解】
设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，
1
||||sin ||210||221||||10||||sin 2
ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠，
2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--，解得55
,33
a b ==，
55
(,)33
D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=.
故答案为:0x y -=.
【点睛】
本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.
18．【分析】先求出直线MN 的斜率再写出直线的点斜式方程得解【详解】∵为圆的弦的中点∴圆心与点确定的直线斜率为∴弦所在直线的斜率为2则弦所在直线的方程为即故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系考 解析：210x y --=
【分析】
先求出直线MN 的斜率，再写出直线的点斜式方程得解. 【详解】
∵()1,1P 为圆()2
239x y -+=的弦MN 的中点，
∴圆心与点P 确定的直线斜率为101
132
-=--， ∴弦MN 所在直线的斜率为2，
则弦MN 所在直线的方程为()121y x -=-，即210x y --=. 故答案为：210x y --= 【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线的方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．②③④【分析】取点为线段的中点可判断①建立空间直角坐标系假设存在点使得利用解出的值即可判断②；连接交于点证明线段到平面的距离为定值可判断③；求出点的坐标然后计算平面和平面的法向量即可判断④【详解】对
解析：②③④. 【分析】
取点M 为线段1BD 的中点可判断①，建立空间直角坐标系假设存在点M ，使得
1B M AE ⊥，利用()
1110AE B M AE B B BD λ⋅=⋅+=解出λ的值即可判断②；连接
AC 、BD 交于点1O ，证明11//EO BD ，线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，可判断
③；求出点M 的坐标，然后计算平面AEC 和平面MAC 的法向量，即可判断④. 【详解】
对于①：连接1AC 交1BD 于点O ，当点M 在O 点时直线AD 与直线1C M 相交，故①不正确，
以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则
()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，
()12,2,2B ，
对于②：()2,0,1AE =-，假设存在点M ，使得1B M AE ⊥，
()()()1110,0,22,2,22,2,22B M B B BD λλλλλ=+=-+--=---，[]0,1λ∈，
所以14220AE B M λλ⋅=+-=，解得1
3
λ=，所以当12D M MB =时1B M AE ⊥， 故②正确；
对于③：连接AC 、BD 交于点1O ，因为点E 是棱1DD 的中点，此时11//EO BD ，故线段
1BD 到平面AEC 的距离为定值，所以四面体EMAC 的体积为定值，故③正确；
对于④：当12D M MB =时，442,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-，设平面
AEC 的法向量为()111,,m x y z =
，由111120
220m AE x z m AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
令12z =，可得11x =，
11y =，可得()1,1,2m =，设平面MAC 的法向量为()222,,n x y z =，
242,,333MA ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭，由22222220
2420
333n AC x y n MA x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩解得:20y =，令 21x =可得22z =，所以1,1,1n
，因为1111120m n ⋅=⨯+⨯-⨯=，m n ⊥
所以平面EAC ⊥平面MAC ，故④正确； 故答案为：②③④. 【点睛】
方法点睛：证明面面垂直的方法
（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可； （2
）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）； （3）面面垂直的定义（不常用）；
（4
）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.
20．【分析】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径再由已知条件和球的表面积公式可得答案【详解】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径满足：则由题意知：则该正方体的内切球的 解析：
【分析】
设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径2
R =，再由已知条件和球的表面积公式可得答案． 【详解】
设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2
a r =
， 正方体的外接球半径R 满足：2
2
2
222a R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3R a =. 由题意知：3312
a
R r a -=
-=-，则2a =，3R =， 该正方体的内切球的表面积为4π，
又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即2
5
168
π=，所以10π=， 所以内切球的表面积为410 故答案为：410 【点睛】
关键点点睛：本题考查正方体的外接球和内切球问题，考查空间几何新定义，解决本题的关键点是利用正方体的外接球半径，内切球半径和正方体面对角线的一半组成勾股定理，得出正方体内切球半径，进而得出表面积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．
21．【分析】根据题意得平面在上取使得连接证得平面平面将空间中的动点轨迹的周长问题转化为求三角形边周长问题又代入计算即可【详解】解：如图正方体中连接：易得平面在上取使得连接易得根据线面平行判定定理证得平面
解析：2． 【分析】
根据题意得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB ==连接
,,GE EF GF 证得平面1//AB C 平面EFG ，将空间中的动点P 轨迹的周长问题转化为求三
角形EFG 边周长问题，又2
GE EF GF ===，代入计算即可. 【详解】
解：如图正方体中连接11,,AC B C B A ：
易得1BD ⊥平面1ABC ，
在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB == 连接,,GE EF GF ，易得1//,//GE AC EF BC 根据线面平行判定定理证得平面1//AB C 平面EFG 所以1BD ⊥平面EFG
所以线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，
因为133
GE EF GF ===
=
所以动点P 的运动轨迹周长为3GE EF GF ++==
【点睛】
关键点点睛：本题考查线面垂直，面面平行的概念，解题的关键是借助图形将空间问题转化为平面问题.本题中根据1BD ⊥平面1ABC 及平面1//AB
C 平面EFG 得到线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，代值计算即可.
22．【分析】首先利用垂直关系和底面和侧面外接圆的圆心作出四棱锥外接球的球心再计算外接球的半径以及球的表面积【详解】连结交于点取中点连结并延长于点点是外接圆的圆心侧面底面侧面底面平面过点作平面侧面所以点是 解析：64π
【分析】
首先利用垂直关系和底面ABCD 和侧面ABCD 外接圆的圆心，作出四棱锥P ABCD -外接球的球心，再计算外接球的半径，以及球O 的表面积. 【详解】
连结,AC BD ，交于点M ，取AB 中点N 连结AN ，MN ，并延长于点E ，点E 是
PAB △外接圆的圆心，
侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，MN AB ⊥
MN ∴⊥平面PAB ，
过点M 作MO ⊥平面ABCD ，//EO MN ，
EO ∴⊥侧面PAB ，所以点O 是四棱锥P ABCD -外接球的球心，
可知四边形MNEO 是矩形，
右图，PA PB ==，120APB ∠=，2cos306AB PB ∴==， 点E 是PAB △外接圆的圆心，
sin303PN PB ∴==，PBE △是等边三角形，PE =
NE ∴==MO ∴=
2211641322
MC AC =
=+=， 223134R OC MO MC ∴==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==
故答案为：64π 【点睛】
本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径
2222R a b c =++2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心
做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.
23．【分析】设球的半径为连接交于点取中点连接即为三棱柱外接球球心根据三棱锥体积可得间关系表示出根据基本不等式可求得的最小值从而得到球的表面积的最小值【详解】如图因为三棱柱是且设球的半径为连接交于点取中点 解析：27π
【分析】 设AB
a ，BC
b =，球的半径为r ，连接1AC ，1AC 交于点O ，取AC 中点D ，连接
BD ，即O 为三棱柱外接球球心，根据三棱锥体积可得a b ，间关系，表示出r ，根据基本
不等式可求得r 的最小值，从而得到球的表面积的最小值.
【详解】
如图，因为三棱柱111ABC A B C -是 ，且90ABC ∠=︒， 设AB
a ，BC
b =，球的半径为r ，连接1AC ，1AC 交于点O ，取AC 中点D ，连接
BD ，
则O 到三棱柱六个定点的距离相等，即O 为三棱柱外接球球心，
113
2OD AA =
=
， 又因为三棱锥O ABC -3 即1133322
ab ⨯
⨯=12ab =， 所以2
2
22
22
31333
2224a b r AD OD ab ⎛⎫⎛⎫+=+=+≥+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭， 当且仅当a b =时等号成立，
所以球O 的表面积最小值为2427S r ππ==， 故答案为：27π. 【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
24．【分析】作出图示求得外接球的半径由球的表面积可求得答案【详解】作出图示因为在矩形ABCD 中则连接交于点则设该三棱锥外接球的半径为则所以该三棱锥外接球的表面积故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的 解析：4π。