初2020届成都市成华区中考数学九年级一诊数学试卷(含答案)

初2020届成都市成华区中考数学九年级一诊数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
A卷（共100分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．2cos60°＝（）
A．1 B．C．D．
2．下面四个英文字母图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．如图所示物体的左视图是（）
A．B．
C．D．
4．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）
A．对边相等B．对角相等
C．对角线相等D．对角线互相平分
5．反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）
A．图象经过点（1，﹣3）B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称D．y随x的增大而增大
6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
7．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9
8．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10，∠B＝36°，D为BC的中点，则AD的长是（）
A．5sin36°B．5cos36°C．5tan36°D．10tan36°
9．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）
A．①处B．②处C．③处D．④处
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0）其部分图象如图所示，下列结论其中结论正确的是（）
①抛物线过原点；
②4a+b＝0；
③a﹣b+c＜0；
④抛物线线的顶点坐标为（2，b）
⑤当x＜2时，y随x增大而增大
A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
11．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是．
12．如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是．13．受非洲猪瘟及供求关系影响，去年猪肉价格经过连续两轮涨价，价格从40元/千克涨到90元/千克，
若两轮涨价的百分率相同，则这个百分率是．
14．如图，周长为16的菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，分别以点C，D为圆心，大于CD为半径画弧，两弧交于点M、N，直线MN交CD于点E，则△OCE的面积．
三、解答题（本大题共6个小题，满分48分）
15．（6分）（1）计算；
（2）解方程：（x+8）（x+1）＝﹣12．
16．（6分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a＝4cos30°+3tan45°．
17．（8分）某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：
（1）本次共调查了名家长；扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角是度．已知该校共有1600名家长，则“不赞同”的家长约有名；请补全条形统计图；
（2）从“不赞同”的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1男1女”的概率．
18．（8分）小明想测量湿地公园内某池塘两端A，B两点间的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝40°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝52.44°，若直线AB与EF 之间的距离为60米，求A，B两点的距离（结果精确到0.1）
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin52.44°≈0.79，cos52.44°≈0.61，tan52.44°≈1.30）
19．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）若点P为x轴上一点，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标．
20．（10分）在△ABC中，BC＝6，S△ABC＝18，正方形DEFG的边FG在BC上，顶点D，E分别在AB，AC上．（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点K，求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BE上取点M，作MN⊥BC于点N，MQ∥DE交AB于点Q，QP⊥BC于点P，求证：四边形MNPQ 是正方形；
（3）如图3，在BE上取点R，使RE＝FE，连结RG，RF，若tan∠EBF＝．求证：∠GRF＝90°．
B卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为．
22．第一象限的点A（a，b）和它关于x轴的对称点B分别在双曲线y＝和y＝上，则k1+k2的值为．23．如图电路中，随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个，能够点亮灯泡的概率为．
24．如图，把矩形ABCD沿EF，GH折叠，使点B，C落在AD上同一点P处，∠FPG＝90°，△A′EP的面积是8，△D′PH的面积是4，则矩形ABCD的面积等于．
25．规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）
二.解答题（本大题有3个小题，共30分）
26．（10分）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：
x（元）…190 200 210 220 …
y（间）…65 60 55 50 …
（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．
（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
27．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在对角线BD上，DE＝2，连接CE，过点E作EF⊥CE，交线段AB于点F
（1）求证：CE＝EF；
（2）求FB的长；
（3）连接FC交BD于点G．求BG的长．
28．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．
（1）抛物线的表达式及顶点D的坐标．
（2）若点F是线段AD上一个动点，
①如图1，当FC+FO的值最小时，求点F的坐标；
②如图2，以点A，F，O为顶点的三角形能否与△ABC相似？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．【解答】解：2cos60°＝2×＝1．
故选：A．
2．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
3．【解答】解：左视图为：，
故选：B．
4．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
5．【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；
由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数y＝﹣的图象关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
6．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得：m≤1．
故选：B．
7．【解答】解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0，x﹣5＝0，
x1＝2，x2＝5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
8．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴BD＝BC＝5，AD⊥BC．
在Rt△ABD中，
∵tanB＝，
∴AD＝tanB×BD＝5tan36°．
故选：C．
9．【解答】解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2、4；“车”、“炮”之间的距离为1，
“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，
∵＝＝，
∴马应该落在②的位置，
故选：B．
10．【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且抛物线过原点，
∴﹣＝2，c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝0，
∴4a+b＝0，结论②正确；
③∵当x＝﹣1时，y值为正，
∴a﹣b+c＞0，结论③错误；
④当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝4a+2b+c＝（4a+b+c）+b＝b，
∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故选：C．
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
11．【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0，x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝1，
故答案为：x1＝2，x2＝1．
12．【解答】解：∵反比例函数y＝y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，∴a﹣2＞0，
∴a＞2．
故答案为：a＞2．
13．【解答】解：设两轮涨价的百分率为x，
依题意，得：40（1+x）2＝90，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
故答案为：50%．
14．【解答】解：由作法得MN垂直平分CD，即CE＝DE，
∵四边形ABCD为菱形，周长为16，
∴AD＝CD＝AB＝4，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DCB＝60°．
∴△DCB为等边三角形，
∴DO＝＝2，∠DCO＝30°，
∴OC＝2，
∴＝＝2，
∴＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，满分48分）
15．【解答】解：（1）原式＝1+1+2×﹣4
＝2+﹣4
＝﹣2；
（2）方程整理为一般式得x2+9x+20＝0，
则（x+4）（x+5）＝0，
∴x+4＝0或x+5＝0，
解得x＝﹣4或x＝﹣5．
16．【解答】解：当a＝4cos30°+3tan45°时，
所以a＝2+3
原式＝•
＝
＝
17．【解答】解：（1）总人数：50÷25%＝200名，无所谓人数：200×20%＝40名，很赞同人数：200﹣90﹣50﹣40＝20名，
很赞同对应圆心角：360°×＝36°，
1600×＝720名，
故答案为：200，36，720，补全条形统计图如图所示：
（2）用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有20种可能出现的情况，正确“1男1女”的有12种，
∴P（1男1女）＝＝，
答：选中“1男1女”的概率为．
18．【解答】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如图所示，
由题意可得，AM＝BN＝60米，CD＝100米，∠ACF＝40°，∠BDF＝52.44°，∴CM＝≈≈71.43（米），
DN＝≈≈46.15（米），
∴AB＝CD+DN﹣CM＝100+46.15﹣71.43≈74.7（米），
即A、B两点的距离是74.7米．
19．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝，
解得，，，
∴B（2，1）；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
∵A（1，2），
∴AC＝＝2，
过A作AD⊥x轴于D，
∴OD＝1，CD＝AD＝2，
当AP＝AC时，PD＝CD＝2，
∴P（﹣1，0），
当AC＝CP＝2时，△ACP是等腰三角形，
∴OP＝3﹣2或OP＝3+2
∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），
当AP＝CP时，△ACP是等腰三角形，此时点P与D重合，
∴P（1，0），
综上所述，所有点P的坐标为（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．
20．【解答】（1）解：如图1中，设正方形DEFG的边长为x．
∵AH⊥BC，
∴S△ABC＝•BC•AH＝18，
∴×6×AH＝18，
∴AH＝6，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝3，
∴正方形DEFG的边长为3．
（2）证明：如图2中，
∵MN⊥BC，四边形DEFG是正方形，∴∠MNB＝∠EFB＝90°，DE＝EF，∴MN∥EF，
∴＝，
∵MQ∥DE，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝MQ，
∵QP⊥BC，MN⊥BC，
∴QP∥MN，
∵MQ∥DE，DE∥BC，
∴QM∥PN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵∠MNP＝90°，
∴四边形MNPQ是矩形，
∵MN＝MQ，
∴四边形MNPQ是正方形．
（3）证明：如图3中，
在Rt△EBF中，∵tan∠EBF＝＝，
∴可以假设EF＝GF＝3k，BF＝4k，则BG＝k，BE＝5k，∵ER＝EF＝3k，
∴BR＝BE﹣ER＝2k，
∴BR2＝BG•BF＝4k2，
∴＝，
∵∠RBG＝∠RBF，
∴△RBG∽△FBR，
∴∠BRG＝∠RFB，
∵ER＝EF，
∴∠ERF＝∠EFR，
∵∠EFR+∠BFR＝90°，
∴∠ERF+∠BRG＝90°，
∴∠FRG＝90°．
二、填空题（每小题4分，共20分）
21．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴由根与系数的关系得：α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣4）＝12，
故答案为：12．
22．【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线y＝上，
∴k1＝ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，﹣b）
∵点B在双曲线和y＝上，
∴k2＝﹣ab；
∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；
故答案为：0．
23．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有12种可能出现的情况，其中能够点亮灯泡的有8种，
∴P（点亮灯泡）＝＝，
故答案为：．
24．【解答】解：由翻折可知：
∠A＝∠A′＝90°，∠D＝∠D′＝90°，
∵∠FPG＝90°，
∴∠A′＝∠FPG，
∴A′E∥PF，
∴∠A′EP＝∠D′PH，
∴△AE′P∽△D′PH，
∴＝＝，
∵AB＝CD，AB＝A′P，CD＝D′P，
∴A′P＝D′P，
∵＝＝，
∴A′E＝D′P，
∴S△A′EP＝A′E•A′P＝×D′P•D′P＝8，解得D′P＝4（负值舍去），
∴A′P＝D′P＝4，
∴AE＝A′E＝4，
∴EP＝＝＝4，
∴PH＝＝2，
DH＝D′H＝＝2，
∴AD＝AE+EP+PH+DH
＝4+4+2+2
＝6+4+2．
AB＝A′P＝4，
∴S矩形ABCD＝AB•AD
＝4（6+4+2）
＝8（3+2+）．
故答案为：8（3+2+）．
25．【解答】解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），
∴MP＝＝，PQ＝+1，
∵点P在第一象限，
∴m＞0，
∴MP＝+1，
∴MP＝PQ，
又∵MN∥PQ，
∴四边形PMNQ是广义菱形．
④正确；
故答案为①④；
二.解答题（本大题有3个小题，共30分）
26．【解答】解：（1）如图所示：
（2）设y＝kx+b，
将（200，60）、（220，50）代入，得：，
解得，
∴y＝﹣x+160（170≤x≤240）；
（3）w＝xy＝x（﹣x+160）＝﹣x2+160x，
∴对称轴为直线x＝﹣＝160，
∵a＝﹣＜0，
∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小，
∴当x＝170时，w有最大值，最大值为12750元．27．【解答】解：（1）过E作EM⊥AB于M，EH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM＝∠HBE＝45°，
∴EM＝EH，
∵∠EMB＝∠MBH＝∠BHE＝90°，
∴∠MEH＝90°，
∵EF⊥CE，
∴∠MEF＝90°，
∴∠MEF＝∠CEH，
∴△EMF≌△EHC（ASA），
∴CE＝EF；
（2）∵AB＝6，
∴BD＝6，
∵DE＝2，
∴BE＝BD﹣DE＝4，
∴BM＝BH＝4，
∴AM＝CH＝2，
∵△EMF≌△EHC，
∴FM＝CH＝2，
∴BF＝AB﹣AM﹣MF＝6﹣2﹣2＝2；
（3）过G作GN⊥BC于N，
∴GN＝BN，
设GN＝BN＝x，
∴CN＝6﹣x，
∵GN⊥BC，AB⊥BC，
∴GN∥BF，
∴△CGN∽△CFB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴BN＝GN＝，
∴BG＝BN＝．
28．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
函数的对称轴为：x＝﹣1，故顶点D的坐标为：（﹣1，4）；
（2）①点D的坐标为：（﹣1，4），点A（﹣3，0），点C（0，3），
作点O关于直线AD的对称轴R，连接CR交AD于点F，则点F为所求点，
FC+FO＝FC+RF＝CR为最小，
连接AR，设直线OR交AD于点H，
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+6①，
则tan∠DAO＝2＝tanα，
设∠HOA＝∠β，则tanβ＝，则cosβ＝，sinβ＝，
OH＝AO•cosβ＝，OR＝2OH＝，
y R＝ORsinβ＝，同理x R＝﹣，故点R（﹣，），
由点R、C的坐标得，直线RC的表达式为：y＝x+3…②，
联立①②并解得：x＝﹣，y＝，
则点F（﹣，）；
②在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝，
在Rt△OBC中，tan∠OCB＝＝，
∴∠CAD＝∠OCB，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠FAO＝∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，
∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将点B、C的坐标代入上式并解得：
直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，
∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，
直线AD的解析式为y＝2x+6，
联立直线OF、AD的表达式并解得：x＝﹣，故点F（﹣，）；当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，
∵∠CAB＝45°，
∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y＝﹣x，
将上式与y＝2x+6联立并解得：x＝﹣2，
故点F（﹣2，2）；
综合以上可得F点的坐标为（﹣，）或（﹣2，2）。