五年级奥数春季实验班第讲组合数学之染色与覆盖

第二讲组合数学之染色与覆盖
例1．有一次车展共36个展室，以下列图，每个展室与相邻的展室都有门相通，进口和出口以下图。

观光者（填“能”或“不可以”）从人口进去，不重复地观光完每个展室再从出口出来。

解：答：
不可以；
如图将展室黑白相间染色，进口为白色，出口也是白色，而走遍36个展室，从白到黑，再从黑到
白，
共走了35步，最后应当走到黑格，而出口仍旧是白格，矛盾，所以没法达成。

例2．棋盘由下列图所
示的9个小圆圈摆列而成，用1~9编号，在3号和9号的小圆圈中各方一枚棋子，分别
代表警察和小偷。

若两个小圆圈之间有线相连，则棋子能够从此中一格走入另一格，此刻由警察先走，两
人轮番，每人每次走一步，每步能够从一格走到有线相连的临格之中。

假
如在6步以内警察走入小偷所在
的格子中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；假如警察走了6步还没有抓住小偷，就算他渎职而失败。

问
警察应怎样取胜。

147
36
9
2
58
解：警察先从3走到1，则小偷从9走到7（或8）；第2步，警察走到2，小偷走到6（或9）；
第3步，警察走到3，小偷走到7或8；第4步，警察走到4，小偷走到9；
第5步，警察6，小偷不论是走到7（或8），警察在第6步必定能够获胜。

例3．空间六点任三点不共线，任四点不共面，成对地连结它们获得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色），求证：不论这么染，总存在一个同色的三角形。

解：设六点为A、B、C、D、E、F，从A点出发的五条线段AB、AC、AD、AE、AF中起码有3条是同色的，不如设AB、AC、AD为红色，
我们再看△BCD的三边，假如都是蓝色，那么存在同为蓝色的△BCD，
若△BCD中有一条边不是蓝色，而是红色，不如设BC是红色，则AB、AC、BC都是红色，这是一个
红色三角形。

所以总存在一个同色的三角形。

例4．下列图是由14个大小同样的方格构成的图形，试问方格构成的长方形。

（“能”或“不可以”）剪裁
成
7个由相邻两个
解：答：不可
以；
如图，将图形黑白相间染色，则出现8个黑格，6个白格，
而相邻的两个方格构成的长方形必定是一黑一白，矛盾，所以没法裁成7个小长方形。

例5．一个2×2正方形和15个4×1长方形（“能”或“不可以”）拼成8×8的大正方形请说明原因。

解：答：不可
以；
12341234
23412341
34123412
41234123
12341234
23412341
34123412
41234123
如图进行染色，
1个4×1矩形恰巧遮住四种颜色的方格各一个，而1个2×2矩形方块总不可以遮住四种颜色的方格各一个，所以这16个矩形块遮住的4种颜色的方格数不一样，而图中的四种颜色的方格数是同样的，矛盾。

所以用15个4×1矩形块和1个2×2矩形块不可以完整覆盖8×8矩形。

例6．在6×6×6的正方体盒子中最多能够放入
子的侧面平行。

解：分上下两层，基层高度为4，则6×6×4中竖着放上层高度为2，都只好横着放，每层最多能放入
36+16=52。

所以最多放入52个小长方体。

个1×1×4的小长方体这里每个小长方体的面都要与盒36个小长方体；
8个小长方体，所以2×8=16，
例7．在一个6×6的方格棋盘中，将若干个1×1的小方格染成红色，假如任意划掉3行3列，在剩下的小方
格中必然有一个是红色的，那么最少要染个方格。

解：先考虑每行每列都有一个红格，比较方便的涂法是在一条对角线上涂6格红色的（如图1），
任意划掉3行3列，能够假想划行划列的原则是：每次划掉的红格越多越好，关于图1，划掉3行去掉
了3个红格，还有3个红格在3列中，再划掉3列就不存在红格了，
所以必有一些行一些列要涂2个红格，为了尽可能的少涂红格，那么每涂一个红色的，必定要使多出
一行的同时，也多出一列有两个红色的；
先考虑有3行中有2格涂红（如图2），明显，同时必然有3个列中也有2格红色的，这时，我们能够划掉有2格红色的3行，还剩下3行，每行上只有一个涂红，每列上也只有一格涂红，那么再带红格的3列就没有红格了；
为了使起码余下一个红格，只需再涂一个红格，此红格要使图中再增添一行一列有两个红格的，
如图
3；
所以，结论是：起码需要涂红10个方格．
例8．将15×15的正方形方格表的每个格涂上色、色或色。

明起码能够找到两行，两行中某一种色的格数同样。

解：若是不存在两行，两行中某一种色的格数同样.
色在不一样的行中有不一样的格数，所以色格数起码0+1+2+⋯⋯+14＝105个，
同色或色的格数都≥105个，共起码315个格子。

可是一共只有
15×15=225个格子
所以是不行能的.
所以起码能够找到两行，两行中某一种色的格数同样.
试
随堂测
1．下是小学素教育成就展会的展室，每两个相的展室之都有相通，有一个人打算从挨次而入，不重
A室开始复地看各室展以后，仍回到A室，他的目的可否达到，什么
A A
解：答：不可以；
将中方格黑白相染色，有5个黑格，4个白格，依据个人的走法，每次从黑格走到白格或许从白格走到黑
格，奇数步走入白格，偶数步走入黑格，
他从A室出，走遍各室回到A室，一共走九步，最后走到白格，与A室黑格矛盾，所以他的目的不可以
达到。

（“能”2．下是半中国象棋棋，棋上放有一只，尽人皆知，是走“日”字的。

：只或“不可以”）不重复地走遍棋上的每
一个点，而后回到出点。

○马○马
解：答：不可以；
将中的点相染色，如在在色点上，按的走法，它下一步走到的点必定是色的点，同从色点出必定走到色的点。

所以它走奇数步走到色点，偶数步走到色点。

在一共有5×9=45个点，从色点出不重复地走遍各点，回到本来的地点，一共走49步，抵达色点，而本来是从色点出的，矛盾。

所以没法达成上述任。

3．将段AA挨次用分点A，A，⋯⋯，A
n?1分红n段小段，将端点A和A涂成色，中的分点涂
0n120n
上色或色，那么在n段小段中，端点异色的小段的条数（）
A．偶数B．奇数C．不必定
解：答：A，有偶数条端点异色的小段；
假如n+1个点都涂成色，那么中端点异色的小段的条数0条，0是偶数，
将中的n?1个点中的某一个点成色，那么中端点异色的小段的条数2条，2是偶数，
再将剩下的点中某一个点成色，假如它与前方的点相，那么中端点异色的小段的条数不
，假如它与前方的点不相，那么中端点异色的小段的条数增添2条，条数仍旧是偶数，增添点的个数，假如新增添的点恰巧将本来两个点之的点成点以后，使得原
来断开的两部分点成一串，那么端点异色的小段的条数减少2条，条数是偶数。

依据个律增添点，直到全部的点都成色点，条数是偶数。

4．下是有40个1的小正方形成的形，从它上边最多能剪出个和分2和1的
方形。

解：答：19个；
如将棋黑白染色，按在的染色方法获得21个黑色的方格和19个白色的方格，
而美国和分2×1的方形，需要占一个黑格和一个白格，所以最多剪出19个方形。

5．用若干个2×2和3×3的小正方形（“能”或“不可以”）拼成一个11×11的大正方形明原因。

解：答：不可以；
如将11×11的大正方形按条形黑白相染色，在黑色比白色的小方格多11个。

于2×2的小正方形，无怎样搁置，黑格和白格都一多，而于3×3的小正方形，可能是6黑3白，也可能是3黑6白，它的差都是3个，也就是黑白小格的差必定是3的倍数。

而于可能用到的3×3的小正方形的个数，无是多少个，黑白小格的差都不会是11.矛盾。

所以没法覆盖。

6．如，把正方体的6个表面均剖分红9个相等的正方形，用、黄、
要求有公共的正方形所染的色不一样。

那么染成色的正方形的个数最多是3种色去染些小正方形，个。

解：答案：22块；
先涂前方的一块，最多能够有5个小正方形涂成红色，即四角和中心。

这时与它相邻的面（如右边）最多有4块能够涂成红色，假如后边与左面与它们对称染色，
则这时已经有(5+4)×2=18个红格，此时上下边只好各有2个面染成红色，7．在1000×1000的方格表中任意选用n个方格染成红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的极点。

N的最小值是。

解：答案：1999；
假如我们在正方形ABCD的相邻两边，AB、BC上取除了它们重合的小方分外的
999×2=1998个方格，
把它们涂成红色，那么它们的中心都不可以构成一个直角三角形的极点。

下边证明任取1999个方格必定能够建立。

先看行，在1000行中，起码有一些行中起码有两个格子是红色的，
那么由于含有0或1个红点的行最多999个，所以其余行含有红点必定大于等于
1999?999=1000，
假如是大于1000，那么依据抽屉原理，必定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；
假如是等于1000而没有这样的 2个红点在一列，说明有999行只含有1个红点，而剩下的一行全部是红
点，那也必定已经出现直角三角形了，所以n的最小值为1999.
8．大厅中齐集了100个客人，他们中每人起码认识67个人，证明在这些客人中必定能够找到4人，他们
之中任何两人都相互认识。

证明：在此中先确立A，A起码认识67人，有不多于32人（99?67=32）不认识；
在这67人中选定B，A与B认识，B除了认识A以外，假如他还认识其余的
32人，那么在本来的67人中他起码还认识67?32?1=34（人），有不多于32人（67?1?34=32人）不认识，
在这34人中选定C，于是A、B、C两两认识。

C除了认识而C也认识A、B以外，还认识A、B和
67人，67?2?32?32=1，说明
A不认识的32人，
以及
C应当在A、B都认识的
A认识、B不认识的32人，
34人中起码还认识1人，设这人为
D，
则A、B、C、D都认识。