高考数学二轮习题：考前冲刺 必备三 解题陷阱妙破 含解析

必备三 解题陷阱妙破
“陷阱”,顾名思义,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中
的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设置障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷. 陷阱一 混淆概念——理解概念抓本质
例1 若z=sinθ-3
5+(cosθ-4
5)i 是纯虚数,则tan (θ-π
4)的值为 .
易错分析 本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致所求tan (θ-π
4)的值为多个,从而错解.
答案 -7
正确解析 由纯虚数的概念,可知{sinθ-3
5=0,①
cosθ-4
5≠0,② 由①,得sinθ=3
5,故
cosθ=±√1-sin 2θ=±
√1-(35
)2
=±45
,而由②,可得cosθ≠45,故cosθ=-4
5,所以tanθ=sinθ
cosθ=-3
4,则tan (θ-π
4)=
tanθ-tan
π41+tanθtan
π
4
=
-34-1
1+(-3
4
)×1
=-7.
▲跳出陷阱 在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数、纯虚数、实数与复数的概念.
跟踪集训
1.已知向量a=(2,1),b =(λ,1),λ∈R,设a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是 .
陷阱二 错用结论——公式定理要记准
例2将函数g(x)=4sinxcosx的图象向左平移π
6
个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐
标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f(π
4
)=.
易错分析该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.
答案√6+√2
2
正确解析将函数g(x)=4sinxcosx=2sin2x的图象向左平移π
6
个单位长度后得到函数
y=2sin2(x+π
6)=2sin(2x+π
3
)的图象,将该函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
坐标不变)后所得图象对应的函数解析式为
f(x)=2sin(1
2×2x+π
3
)=2sin(x+π
3
).
所以f(π
4)=2sin(π
4
+π
3
)=
2sinπ
4cosπ
3
+cosπ
4
sinπ
3
=
2×(√2
2×1
2
+√2
2
×√3
2
)=√6+√2
2
.
▲跳出陷阱解决三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.
跟踪集训
2.(2018宿迁剑桥国际学校高三月考)已知函数f(x)=sin(2x+π
6)-cos(2x+π
3
)+2cos2x.
(1)求f(π
12
)的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)函数f(x)的图象可由y=sinx的图象如何变换得来?请详细说明.
陷阱三忽视验证——特例情况要谨记
例3已知椭圆y2
9+x
2
8
=1的半焦距为c,曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比
该点到y轴的距离大c.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)直线l过点F,交曲线Γ于A,B两点,过A,B分别作曲线Γ的切线交于点P,判断PF
⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ 是不是定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.
易错分析直线l过点F交曲线Γ于A,B两点,由于思维定势,经常只考虑直线l的方程为y=k(x-1),k≠0的情况,从而漏掉了过点F的直线l与x轴垂直这一特殊情况,导致错解.
正确解析(1)因为椭圆y2
9+x
2
8
=1的半焦距为c,
所以c=√9-8=1,
因为曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y轴的距离大1,
所以曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于该点到直线x=-1的距离.根据抛物线的定义,知曲线Γ为抛物线.
设曲线Γ的方程为y 2=2px(p>0),
所以p
2=1,解得p=2,所以曲线Γ的方程为y 2=4x. (2)PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值.证明如下:
①当过点F 的直线l 与x 轴垂直时,直线l 的方程为x=1, 根据抛物线的对称性知,点P 在x 轴上, 所以PF ⊥AB,所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.
②当过点F 的直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y=k(x-1),k ≠0, 由{
y =k(x -1),
y 2
=4x
得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0, 所以Δ=[-(2k 2+4)]2-4k 2·k 2=16k 2+16>0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x P ,y P ),y 1>0,y 2<0, 则x 1+x 2=2+4
k 2,x 1x 2=1.
由y 2=4x(y>0),得y=2√x ,y'=√x ,所以过点A 的切线PA 的方程为y-y 1=
√x (x-x 1),即y=
√x +√x 1;
由y 2=4x(y<0),得y=-2√x ,y'=-√x ,所以过点B 的切线PB 的方程为y-y 2=-√x (x-x 2),即y=-
√x -
√x 2.
由{y P =P
√x +√x 1,y P =P
√x √x 2
得{x P =-√x 1x 2=-1,y P =2k , 即P (-1,2
k ),所以直线PF 的斜率k PF =2
k
-0-1-1=-1
k , 所以k PF ·k=-1
k ×k=-1,所以PF ⊥AB. 综上所述,PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值,且定值为0. 跟踪集训
3.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a +y 2
b =1(a>b>0)与直线l:x=m(m ∈R),四点(3,1),(3,-1),(-2√2,0),(√3,√3)中有三个点在椭圆C 上,剩余一个点在直线l 上. (1)求椭圆C 的方程;
(2)若动点P在直线l上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得PM=PN,再过点P作直线l'⊥MN.证明:直线l'过定点,并求出该定点的坐标.
陷阱四 讨论漏解——参数标准要恰当 例4 已知函数f(x)=lnx-ax+
1-a x
-1(a ∈R).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当0≤a<1
2时,讨论f(x)的单调性.
易错分析 该题易出现的问题是讨论f(x)的单调性时,对参数进行分类讨论的标准不正确,造成分类的重复或遗漏.
正确解析 (1)当a=-1时,f(x)=lnx+x+2
x -1,x ∈(0,+∞). 所以f'(x)=
x 2+x -2x ,x ∈(0,+∞).
因此f'(1)=0,即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为0. 又f(1)=ln1+1+2-1=2,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2. (2)因为f(x)=lnx-ax+1-a x
-1,
所以f'(x)=1
x -a+a -1
x =-ax 2-x+1-a
x ,x ∈(0,+∞).
令g(x)=ax 2-x+1-a,x ∈(0,+∞). ①当a=0时,g(x)=-x+1,
当x ∈(0,1)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
②当0<a<1
2时,由f'(x)=0,即ax 2-x+1-a=0,亦即(x-1)(ax+a-1)=0,解得x 1=1,x 2=1
a -1, 此时1
a -1>1>0,
所以当x ∈(0,1)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x ∈(1,1
a -1)时,g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x ∈(1a -1,+∞)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上,当a=0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
当0<a<1
2时,函数f(x)在(0,1),(1
a -1,+∞)上单调递减,在(1,1
a -1)上单调递增.
▲跳出陷阱 含参的函数单调性的分析是一个难点,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚,导致分类混乱.明确标准,合理分类是解决此类问题的关键,讨论含参的函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序:①最高次幂的系数是不是0;②方程f'(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系.分类后确定导函数的符号,常画出导函数的图象,根据图象与x 轴的相对位置确定导函数的符号,进而写出单调区间.
跟踪集训
4.(2019江苏七大市三模,20)已知函数f(x)=ax 2
1+lnx (a ≠0),e 是自然对数的底数. (1)当a>0时,求f(x)的单调增区间;
(2)若对任意的x ≥1
2,f(x)≥2e b-1(b ∈R),求b
a 的最大值; (3)若f(x)的极大值为-2,求不等式f(x)+e x <0的解集.
陷阱五 条件遗漏——细心审题不遗漏
例5 在锐角三角形ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=8,b=10,△ABC 的面积为20√3,则△ABC 中最大角的正切值是 .
易错分析 本题易忽视锐角三角形这一条件. 答案
5√3
3
正确解析 由题意得20√3=1
2×8×10×sinC ⇒sinC=√3
2⇒C=π
3或C=2π
3(舍),由余弦定理得,c 2=82+102-2×8×10×1
2
=84,
因为a=8,b=10,所以a 2<c 2<b 2,因此角B 最大, 由余弦定理的推论得,cosB=22
2×8×
√84
=
√84
,则
tanB=√1-cos 2B cos 2B =5√3
3.
▲跳出陷阱 审题时一定要仔细,注意题中正数、整数、锐角、钝角、x 轴上方等限制条件.
跟踪集训
5.已知钝角△ABC 的三个内角成等差数列,最大边长与最小边长的比值为m,则实数m 的取值范围为 .
陷阱六 推理不当——归纳类比要合理
例6 我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理:幂势既同,则积不容异.这句话的意思:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.设由曲线x 2=4y 和直线x=4,y=0所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1,由同时满足x ≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2,根据祖暅原理可知,通过类比Γ2可以得到Γ1的体积为 .
易错分析 该题易出现的问题是不能准确理解祖暅原理,只关注两个平面图形形状的差异性,找不出共性,导致错误的类比.
答案 32π
正确解析 设图(1)中的阴影部分绕y 轴旋转一周得到的旋转体Γ'1的体积为V',则V'=2V Γ1,图(1)、(2)中的两图形绕y 轴旋转所得的旋转体均夹在两个相距为8的平行平面之间,用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点的距离为|y|,则所得截面面积S 1=π(42-4|y|),S 2=π(42-y 2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|),所以S 1=S 2,由祖暅原理知,Γ'1与Γ2的体积相等.
因为Γ2是由同时满足x ≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体,所以它应该是一个大的球体减去两个半径一样的小的球体,体积为
4π
3·43-2·4π
3
·23=64π,所以Γ1的体积为32π.
▲跳出陷阱 类比推理的关键在于“类”,即找到两类事物的共性,这是类比推理的基础,在此基础上才能进行由此及彼的相关性质研究,如该题中两个截面面积相等是类比两个几何体体积相等的关键.
跟踪集训
6.先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:
已知a 1,a 2∈R,a 1+a 2=1,求证:a 12+a 22≥1
2.
证明:构造函数f(x)=(x-a 1)2+(x-a 2)2,
则f(x)=2x 2-2(a 1+a 2)x+a 12+a 22=2x 2-2x+a 12+a 22,
∵对一切x ∈R,恒有f(x)≥0,∴Δ=4-8(a 12+a 22)≤0,从而得a 12+a 22≥1
2.
(1)若a 1,a 2,…,a n ∈R,a 1+a 2+…+a n =1,请写出上述结论的推广式; (2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.
陷阱七画图不准——数化“形”要准确例7已知定义在R上的函数f(x)满足:
①f(x)+f(2-x)=0;
②f(x-2)=f(-x);
③在[-1,1]上的表达式为f(x)={√1-x2,x∈[-1,0], cos(π
2
x),x∈(0,1].
则函数f(x)与函数g(x)={2x,x≤0,
1-x,x>0
的图象在区间[-3,3]上的交点个数为.
易错分析该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数.
答案6
正确解析由①可得f(1-x)+f(1+x)=0,即f(x)的图象关于点(1,0)对称;
由②可得f(x-1)=f(-x-1),即f(x)的图象关于直线x=-1对称.
如图,根据③先作出函数f(x)在[-1,1]上的图象,然后作出其关于直线x=-1对称的图象,则得函数f(x)在[-3,-1]上的图象,再作其关于点(1,0)对称的图象,则得函数f(x)在[-3,3]上的图象,最后作出函数g(x)的图象.
由图象可知两函数的图象在[-3,3]上有6个交点.
▲跳出陷阱该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性等.
跟踪集训
-|x+a|有且仅有三个零点,并且这三个零点构成等差数7.(2019扬州期末,13)已知函数f(x)=a+3+4
x
列,则实数a的值为.
陷阱八推理跳步——步骤过程要合理
例8(2019南通通州、海门联考,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱AC,A1B1的中点,且AB=BC.
求证:(1)平面BMN⊥平面ACC1A1;
(2)MN∥平面BCC1B1.
正确证明(1)因为M为棱AC的中点,且AB=BC,所以BM⊥AC,
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以A1A⊥平面ABC,
因为BM⊂平面ABC,
所以A1A⊥BM,
又因为AC,A1A⊂平面ACC1A1,且AC∩A1A=A,
所以BM⊥平面ACC1A1,
因为BM⊂平面BMN,
所以平面BMN⊥平面ACC1A1.
(2)如图,取BC的中点P,连接B1P,MP.
因为M,P分别为棱AC,BC的中点,
所以MP∥AB,且MP=1
AB,
2
因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1∥AB,A1B1=AB,且N为棱A1B1的中点,
所以B1N∥BA,且B1N=1
BA,
2
所以B1N∥PM,且B1N=PM,
所以四边形MNB1P是平行四边形,
所以MN∥PB1,
又因为MN⊄平面BCC1B1,PB1⊂平面BCC1B1,
所以MN∥平面BCC1B1.
跟踪集训
8.(2019南京六校联考,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,PC⊥底面ABCD,点E为侧棱PB的中点.
求证:(1)PD∥平面ACE;
(2)平面PAC⊥平面PBD.
陷阱九转化不当——由此及彼要等价
例9f(x)=1
x2-2alnx+(a-2)x,a∈R.
2
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性;
>a恒成立?若存在,求出a的
(3)是否存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有f(x2)-f(x1)
x2-x1
取值范围;若不存在,说明理由.
易错分析该题易出现的问题是直接把f(x2)-f(x1)
>a转化为函数f(x)的导数的范围,即f'(x)>a,
x2-x1
导致错解.
正确解析 f'(x)=x-2a x +a-2=(x -2)(x+a)
x
(x>0).
(1)当a=1时,f(1)=-1
2, f'(x)=
(x -2)(x+1)
x
,f'(1)=-2,
所以所求的切线方程为y-(-1
2)=-2(x-1), 即4x+2y-3=0. (2)①当-a=2,即a=-2时, f'(x)=
(x -2)2x
≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当0<-a<2,即-2<a<0时,
因为0<x<-a 或x>2时,f'(x)>0;-a<x<2时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,-a),(2,+∞)上单调递增,在(-a,2)上单调递减. ③当-a>2,即a<-2时,
因为0<x<2或x>-a 时,f'(x)>0;当2<x<-a 时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,2),(-a,+∞)上单调递增,在(2,-a)上单调递减.
(3)假设存在这样的实数a 满足条件,不妨设x 1<x 2. 由
f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1
>a 恒成立,知f(x 2)-ax 2>f(x 1)-ax 1恒成立.
令g(x)=f(x)-ax=1
2x 2-2alnx-2x,
则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g'(x)=x-2a
x -2≥0,即2a ≤x 2-2x=(x-1)2-1在(0,+∞)上恒成立,
因为(x-1)2-1在(0,+∞)上的最小值为-1,所以a ≤-12, 故存在这样的实数a 满足题意,其取值范围为(-∞,-12].
▲跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如本题中的第(3)问中的“
f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1
”,其几何意义是曲
线上两点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))连线的斜率,但若直接利用导数的几何意义将该直线的斜率转化为函数图象上某点处的切线斜率,则求解较为复杂,故应该通过代数式的等价变换,将原问题转化为函数g(x)=f(x)-ax的单调性问题进行求解.
跟踪集训
9.(2018江苏楚水实验学校等三校联考)已知函数f(x)=x-b
x
,g(x)=2alnx.
(1)若b=0,函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,求a的值;
(2)若a>0,b=-1,函数F(x)=xf(x)+g(x)满足对任意x1,x2∈(0,1](x1≠x2),都有|F(x1)-F(x2)|<3|1
x1-1
x2
|恒
成立,求a的取值范围;
(3)若b=1,函数G(x)=f(x)+g(x),且G(x)有两个极值点x1,x2,其中x1∈(0,1
3
],求G(x1)-G(x2)的最小值.
陷阱十新定义不明——用新定义要明确
例10(2019天一中学检测,18)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则f(x)称为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数f(x)=ax2+x-4a(a∈R),试判断f(x)是不是“局部奇函数”,并说明理由;
(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[-1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;
(3)若f(x)=4x-2x+1m+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
易错分析对新定义“局部奇函数”理解不透彻或理解有误导致错误.
正确解析f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f(-x)=0在定义域内有解.
(1)f(x)是“局部奇函数”.对于f(x)=ax2+x-4a(a∈R),方程f(x)+f(-x)=0即2a(x2-4)=0,解得x=±2,
所以f(x)为“局部奇函数”.
(2)对于f(x)=2x+m,f(x)+f(-x)=0即2x+2-x+2m=0,
因为f(x)的定义域为[-1,1],所以方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解.
令t=2x,t∈[1
2,2],则-2m=t+1
t
,设g(t)=t+1
t
,
则g'(t)=1-1
t2=t
2-1
t2
,
当t∈(0,1)时,g'(t)<0,故g(t)在(0,1)上为减函数;
当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,故g(t)在(1,+∞)上为增函数.
所以t ∈[12,2]时,g(t)∈[2,5
2]. 所以-2m ∈[2,5
2],故m ∈[-5
4,-1].
(3)对于f(x)=4x -2x+1m+m 2-3,f(x)+f(-x)=0可化为 4x +4-x -2m(2x +2-x )+2m 2-6=0. 令t=2x +2-x ,t ∈[2,+∞),则4x +4-x =t 2-2,
从而t 2-2mt+2m 2-8=0在[2,+∞)上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”. 令F(t)=t 2-2mt+2m 2-8,
①当F(2)≤0时,t 2-2mt+2m 2-8=0在[2,+∞)上有解, 由F(2)≤0,即2m 2-4m-4≤0, 解得1-√3≤m ≤1+√3;
②当F(2)>0时,t 2-2mt+2m 2-8=0在[2,+∞)上有解,等价于 {Δ=4m 2-4(2m 2-8)≥0,m >2,F(2)>0,
解得1+√3<m ≤2√2. 综上,所求实数m 的取值范围为{m|1-√3≤m ≤2√2}. 跟踪集训
10.(2019苏州期初,20)若对任意的实数k,b,函数y=f(x)+kx+b 的图象与直线y=kx+b 总相切,则称函数f(x)为“恒切函数”.
(1)判断函数f(x)=x 2是不是“恒切函数”;
(2)若函数f(x)=mlnx+nx(m ≠0)是“恒切函数”,求实数m,n 满足的关系式; (3)若函数f(x)=(e x -x-1)e x +m 是“恒切函数”,求证:-1
4<m ≤0.
答案精解精析
陷阱一 混淆概念——
理解概念抓本质
跟踪集训
1.答案 {λ|λ>-1
2且λ≠2} 解析 因为θ为锐角,所以0<cosθ<1. 又因为cosθ=a ·b
|a||b|=√5·√λ2+1,
所以
√5·√λ2+1
>0且
√5·√λ2+1
≠1,
所以{2λ+1>0,2λ+1≠√5·√λ2+1,解得{λ>-1
2,λ≠2,
所以λ的取值范围是{λ|λ>-1
2且λ≠2}.
陷阱二 错用结论——
公式定理要记准
跟踪集训
2.解析 (1)f(x)=sin (2x +π
6
)-cos (2x +π
3
)+2cos 2x
=√32sin2x+12cos2x-12cos2x+√3
2sin2x+cos2x+1 =√3sin2x+cos2x+1=2sin (2x +π
6)+1, ∴f (π
12)=2sin (2×π
12+π
6)+1=√3+1.
(2)令2kπ-π
2≤2x+π
6≤2kπ+π
2(k ∈Z),解得kπ-π
3≤x ≤kπ+π
6(k ∈Z);令2kπ+π
2≤2x+π
6≤2kπ+3π
2(k ∈Z),解得kπ+π
6
≤x ≤kπ+2π3
(k ∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-π3,kπ+π
6] (k ∈Z),
f(x)的单调递减区间为[kπ+π
6,kπ+2π
3
]
(k∈Z).
(3)变换步骤:(答案不唯一)
y=sinx
y=sin2x
y=sin(2x+π
6
)
y=2sin(2x+π
6
)
y=2sin(2x+π
6
)+1.
陷阱三忽视验证——
特例情况要谨记
跟踪集训
3.解析(1)由题意知有三个点在椭圆C上,根据椭圆的对称性,则点(3,1),(3,-1)一定在椭圆C上,
即9
a2+1
b2
=1(a>b>0)①,
若点(-2√2,0)在椭圆C上,则点(-2√2,0)必为椭圆C的左顶点,而3>2√2,则点(-2√2,0)一定不在椭圆C上,故点(√3,√3)在椭圆C上,点(-2√2,0)在直线l上,
所以3
a2+3
b2
=1②,
联立①②可解得a2=12,b2=4,
所以椭圆C的方程为x2
12+y
2
4
=1.
(2)证明:由(1)可得直线l的方程为x=-2√2,
设P(-2√2,y0),y0∈(-2√3
3,2√3 3
),
当y0≠0时,设M(x1,y1),N(x2,y2),显然x1≠x2,
联立{x 1212+y 1
24=1,x 2212+y 2
24=1,则x 12-x 2212+y 12-y 2
24=0,即y 1
-y 2x 1-x 2=-13·x 1
+x
2y 1+y 2, 又PM=PN,即点P 为线段MN 的中点,
故直线MN 的斜率为-13·-2√2y 0=2√23y 0
, 又直线l'⊥MN,所以直线l'的方程为y-y 0=-02√2
(x+2√2), 即y=-0
2√2+4√23
), 显然直线l'过定点(-4√23
,0); 当y 0=0时,直线MN 为x=-2√2,此时直线l'为x 轴,亦过点(-
4√23,0). 综上所述,直线l'过定点,且该定点的坐标为(-4√23
,0). 陷阱四 讨论漏解——
参数标准要恰当
跟踪集训
4.解析 (1)f(x)的定义域为(0,e -1)∪(e -1,+∞).
f'(x)=2ax(1+lnx)-ax 2·1x (1+lnx)2 =2ax(12+lnx)
(1+lnx),
令f'(x)>0,因为a>0,所以x>e -1
2,
因为e -12>e -1,
所以f(x)的单调增区间是(e -12,+∞).
(2)当a<0时,f(1)=a<0<2e b-1,不合题意;
当a>0时,令f'(x)<0,得0<x<e -1或e -1<x<e -1
2
, 所以f(x)在区间(0,e -1)和(e -1,e -1
2)上单调递减. 因为12∈(e -1,e -1
2),且f(x)在区间(e -1
2
,+∞)上单调递增,
所以f(x)在e -12处取极小值2a e ,即最小值为2a e .
若∀x ≥12,f(x)≥2e b-1,则2a e ≥2e b-1,即a ≥e b .
不妨设b>0,则b a ≤b e b .
设g(b)=b e b (b>0),则g'(b)=1-b e b .
当0<b<1时,g'(b)>0;
当b>1时,g'(b)<0,
所以g(b)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以g(b)≤g(1),即b e b ≤1e ,
所以b a 的最大值为1e .
(3)由(2)知,当a>0时,f(x)无极大值,不符合题意.
当a<0时,f(x)在(0,e -1)和(e -1,e -12)上单调递增;在(e -12
,+∞)上单调递减, 所以f(x)在x=e -12处取极大值,
且f(e -12)=2a e =-2,故a=-e.
设F(x)=f(x)+e x ,即F(x)=e x -ex 21+lnx ,
当x ∈(0,e -1),1+lnx<0,所以F(x)>0;
当x ∈(e -1,+∞),F'(x)=e x -ex(1+2lnx)
(1+lnx)2,
由(2)知,ex ≤e x ,又1+2lnx ≤(1+lnx)2,
所以F'(x)≥0,且F(x)不恒为零,
所以F(x)在(e -1,+∞)上单调递增.
不等式f(x)+e x <0,即F(x)<0=F(1),所以e -1<x<1,
即不等式的解集为(e -1,1).
陷阱五条件遗漏——
细心审题不遗漏
跟踪集训
5.答案(2,+∞)
解析不妨设A<B<C,则a<b<c,A+C=2B=π-B,B=π
3
,
{0<A<π
3
,
π
2
<C=2π
3
-A<π
⇒0<A<π
6
,0<tanA<√3
3
,√3
2tanA
>3
2
,
m=c
a =sinC
sinA
=
sin(2π
3
-A)
sinA
=
√3
2
cosA+1
2
sinA
sinA
=1
2
+√3
2tanA
>2,即实数m的取值范围是(2,+∞).
陷阱六推理不当——
归纳类比要合理
跟踪集训
6.解析(1)若a1,a2,…,a n∈R,a1+a2+…+a n=1,则a12+a22+…+a n2≥1
n
.
(2)证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2,
则f(x)=nx2-2(a1+a2+…+a n)x+a12+a22+…+a n2
=nx2-2x+a12+a22+…+a n2,
∵对一切x∈R,恒有f(x)≥0,
∴Δ=4-4n(a12+a22+…+a n2)≤0,
从而得a12+a22+…+a n2≥1
n
.
陷阱七画图不准——
数化“形”要准确
跟踪集训
7.答案 116或-1-3√32
解析 由f(x)=a+3+4x -|x+a|=0,得4x +3=|x+a|-a,
原函数有三个零点,即函数y=4x +3与y=|x+a|-a={x,x ≥-a,-x -2a,x <-a
的图象有且仅有三个交点,设三个交点的横坐标分别为x 1,x 2,x 3,且x 1<x 2<x 3,
①如图所示:
联立{y =4x +3,y =x,
解得x 2=-1,x 3=4, 又三个零点构成等差数列,则x 2=
x 1+x 32,得x 1=-6,
得4-6+3=-(-6)-2a,解得a=116.
②如图所示:
联立{y =4x +3,y =x,解得x 3=4,由x 2=x 1
+x 32,得x 1-2x 2=-4, 由{y =4x +3,y =-x -2a,
消去y,得x 2+(2a+3)x+4=0, 由根与系数的关系,得{
x 1+x 2=-(2a +3),x 1x 2=4,
又x 1-2x 2=-4,
∴{x 1=-4a -103,x 2=1-2a 3,∴(-4a -10)(1-2a)9=4,化为4a 2+8a-23=0,
因为-a>0,所以a<0,所以a=
-2-3√32. 综上可得,a 的值为116或-1-3√32.
陷阱八 推理跳步——
步骤过程要合理
跟踪集训
8.证明 (1)连接OE.
因为O 为正方形ABCD 的对角线的交点,
所以O 为BD 的中点.
因为E 为PB 的中点,所以PD ∥OE.
又因为OE ⊂平面ACE,PD ⊄平面ACE,所以PD ∥平面ACE.
(2)在四棱锥P-ABCD 中,因为PC ⊥底面ABCD,BD ⊂平面ABCD,所以BD ⊥PC. 因为四边形ABCD 为正方形,
所以BD ⊥AC.
又PC,AC ⊂平面PAC,PC ∩AC=C,
所以BD ⊥平面PAC.
因为BD ⊂平面PBD,
所以平面PAC ⊥平面PBD.
陷阱九 转化不当——
由此及彼要等价
跟踪集训
9.解析 (1)当b=0时,函数f(x)=x 的图象与g(x)=2alnx 的图象相切,设切点为(x 0,2alnx 0),则切线方程为y=2a x 0x-2a+2alnx 0,所以{2a x 0
=1,-2a +2alnx 0=0,
解得{x 0=e,a =e 2,所以a=e 2.
(2)当a>0,b=-1时,F(x)=x 2+1+2alnx,F'(x)=2x+2a x >0,所以F(x)在(0,1]上递增. 不妨设0<x 1<x 2≤1,原不等式⇔F(x 2)-F(x 1)<3(1x 1-1
x 2), 即F(x 2)+3x 2<F(x 1)+3
x 1. 设h(x)=x 2+1+2alnx+3x ,则原不等式⇔h(x)在(0,1]上递减,即h'(x)=2x+2a x -3x 2≤0在(0,1]上恒成立,所以2a ≤3x -2x 2在(0,1]上恒成立.因为y=3x -2x 2在(0,1]上递减,所以y min =3-2=1,所以2a ≤1,又a>0,所以0<a ≤12.
(3)当b=1时,函数G(x)=f(x)+g(x)=x-1x +2alnx,
G'(x)=x 2+2ax+1
x 2(x>0),
由题意知x 1,x 2是x 2+2ax+1=0的两根,
∴x 1x 2=1,x 1+x 2=-2a,x 2=1
x 1, 2a=-x 1-1
x 1, G(x 1)-G(x 2)=G(x 1)-G (1x 1)=2[x 1-1x 1-(x 1+1
x 1)lnx 1]. 令H(x)=2[x -1x -(x +1x )lnx],
H'(x)=2(1x 2-1)lnx=
2(1+x)(1-x)lnx x 2. 当x ∈(0,13]时,H'(x)<0,所以H(x)在(0,13]上单调递减,H(x)的最小值为H (13)=
20ln3-163, 即G(x 1)-G(x 2)的最小值为20ln3-163.
陷阱十 新定义不明——
用新定义要明确
跟踪集训
10.解析 (1)函数f(x)=x 2为“恒切函数”.设切点为(x 0,y 0).
则{
f(x 0)+kx 0+b =kx 0+b,f '(x 0)+k =k,∴{f(x 0)=0,f '(x 0)=0.
对于函数f(x)=x 2,f'(x)=2x,∴{x 02=0,2x 0=0,
解得x0=0.∴f(x)=x2是“恒切函数”.
(2)若函数f(x)=mlnx+nx(m≠0)是“恒切函数”,设切点为(x0,y0),
∵f'(x)=m
x +n,∴{
mlnx0+nx0=0,
m
x0
+n=0,
解得lnx0=1,即x0=e.
∴实数m,n满足的关系式为m+ne=0.
(3)证明:函数f(x)=(e x-x-1)e x+m是“恒切函数”,设切点为(x0,y0).∵f'(x)=(2e x-x-2)e x,
∴{(e x0-x0-1)e x0+m=0, (2e x0-x0-2)e x0=0,
∴{m=-(e x0-x0-1)e x0, 2e x0=x0+2.
求方程2e x=x+2的解,设g(x)=2e x-x-2. g'(x)=2e x-1,令g'(x)=0,解得x=-ln2.
当x∈(-∞,-ln2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(-ln2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.∴g(x)min=g(-ln2)=ln2-1<0.
①当x∈(-∞,-ln2)时,
∵g(-2)=2
e2>0,g(-1)=2
e
-1<0,
∴g(x)=2e x-x-2在(-∞,-ln2)上有唯一零点x0∈(-2,-1).又∵m=-(e x0-x0-1)e x0=1
4
x0(x0+2),∴m∈(-
1
4
,0).
②当x∈(-ln2,+∞)时,
∵g(0)=0,∴g(x)=2e x-x-2在(-ln2,+∞)上有唯一零点0,∴m=0.
综上可知,-1
4
<m≤0.。