平面向量的等和线定理的证明

平面向量的等和线定理的证明
平面向量的等和线定理是指，如果在平面上有一组向量，使得它们的和等于一个固定向量，则这组向量构成的所有点的集合在平面上形成的曲线，称为等和线。

本文将介绍平面向量的等和线定理的证明。

首先，假设有一组向量v1、v2、v3、...、vn，它们的和等于向量s，即：
v1 + v2 + v3 + ... + vn = s
我们要证明，这组向量构成的所有点的集合在平面上形成的曲线为等和线。

为了证明这一点，我们需要证明两个部分：
一、等和线上任意一点的向量和等于向量s。

二、等和线上任意一点的向量和小于向量s，且任意一点的向量和大于向量s的点都不在等和线上。

首先，证明一。

假设p是等和线上的任意一点，则有：
p = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ... + anvn
其中，a1、a2、a3、...、an是任意实数。

我们将上式两边同时乘以一个实数k，则有：
kp = ka1v1 + ka2v2 + ka3v3 + ... + kanvn
由于v1、v2、v3、...、vn是一组向量，所以它们的和也可以表示为：
v1 + v2 + v3 + ... + vn = s
将等号两边同时乘以k，则有：
kv1 + kv2 + kv3 + ... + kvn = ks
由此可知，kp + ks也可以表示为：
kp + ks = ka1v1 + ka2v2 + ka3v3 + ... + kanvn + kv1 + kv2 + kv3 + ... + kvn
将等式右边的所有向量都合并起来，则有：
kp + ks = (ka1 + k)v1 + (ka2 + k)v2 + (ka3 + k)v3 + ... + (kan + k)vn
由于等和线上的任意一点p可以表示为a1v1 + a2v2 + a3v3 + ... + anvn，因此等式右边的向量的系数之和为a1 + a2 + a3 + ... + an + k。

由于k是任意实数，因此a1 + a2 + a3 + ... + an + k可以等于任意实数。

因此，等和线上任意一点的向量和可以表示为p + s 的形式，即等和线上任意一点的向量和等于向量s。

其次，证明二。

假设q是等和线上的任意一点，则有：
q = b1v1 + b2v2 + b3v3 + ... + bnvn
其中，b1、b2、b3、...、bn是任意实数。

我们将上式两边同时乘以一个实数k，则有：
kq = kb1v1 + kb2v2 + kb3v3 + ... + kbnvn
由于v1、v2、v3、...、vn是一组向量，使得它们的和等于向量s，因此有：
v1 + v2 + v3 + ... + vn = s
将等式两边同时乘以一个实数k，则有：
kv1 + kv2 + kv3 + ... + kvn = ks
由此可知，kq + ks也可以表示为：
kq + ks = kb1v1 + kb2v2 + kb3v3 + ... + kbnvn + kv1 + kv2 + kv3 + ... + kvn
将等式右边的所有向量都合并起来，则有：
kq + ks = (kb1 + k)v1 + (kb2 + k)v2 + (kb3 + k)v3 + ... + (kbn + k)vn
由于等和线上的任意一点q可以表示为b1v1 + b2v2 + b3v3 + ... + bnvn，因此等式右边的向量的系数之和为b1 + b2 + b3 + ... + bn + k。

由于k是任意实数，因此b1 + b2 + b3 + ... + bn + k可以等于任意实数。

因此，等和线上任意一点的向量和可以表示为kq + ks 的形式，其中k为任意实数。

假设r是平面上的任意一点，且r不在等和线上。

我们要证明，对于任意实数k，向量kr + s的终点均不在等和线上。

假设向量kr + s的终点p在等和线上，则有：
kr + s = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ... + anvn
将等号两边同时减去向量s，则有：
kr = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ... + anvn - s
由于向量v1、v2、v3、...、vn的和为向量s，因此有：
a1v1 + a2v2 + a3v3 + ... + anvn = s + (a1 - 1)v1 + (a2 - 1)v2 + (a3 - 1)v3 + ... + (an - 1)vn
将上式代入kr = a1v1 + a2v2 + a3v3 + ... + anvn - s中，则有：
kr = s + (a1 - 1)v1 + (a2 - 1)v2 + (a3 - 1)v3 + ... + (an
- 1)vn - s
化简可得：
kr = (a1 - 1)v1 + (a2 - 1)v2 + (a3 - 1)v3 + ... + (an - 1)vn 左边是向量kr的终点，右边是向量v1、v2、v3、...、vn的线性组合，因此向量kr的终点必然位于向量v1、v2、v3、...、vn的张成平面上。

然而，向量s不在向量v1、v2、v3、...、vn的张成平面上，因此所有向量kr + s的终点都不在等和线上。

综上所述，我们证明了平面向量的等和线定理的两个部分，即等和线上任意一点的向量和等于向量s，且等和线上任意一点的向量和小于向量s，且任意一点的向量和大于向量s的点都不在等和线上。

因此，平面向量的等和线定理得证。