安徽省合肥市包河区八年级(上)期末数学试卷

八年级（上）期末数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.在平面直角坐标系中，点P（-1，1）所在的象限是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.下列银行图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. 徽商银行
B. 中国建设银行
C. 交通银行
D. 中国银行
3.长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 9
4.把函数y=x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是（ ）
A. (2,2)
B. (2,3)
C. (2,4)
D. (2,5)
5.下列说法正确的是（ ）
A. .三角形三条高线所在直线的交点都在三角形内部
B. 三角形三条中线的交点称为三角形的重心
C. .三角形的一个外角等于两个内角的和
D. .三角形三边的垂直平分线交于一点这点到三边的距离相等
6.若一次函数y=（1-2k）x-k的函数值y随x的增大而增大，且此函数的图象不经过
第二象限，则k的取值范围是（ ）
A. k<12
B. k≥0
C. 0≤k<12
D. k≤0或k>12
7.如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC
的度数为（ ）
A. 40∘
B. 35∘
C. 30∘
D. 25∘
8.如图△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且
∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C的度数为（ ）
A. 48∘
B. 3307∘
C. 46∘
D. 44∘
9.如图，已知直线l1：y=3x+1和直线l2：y=mx+n交于点P
（a，-8），则关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为
（ ）
A. x>−3
B. x<−3
C. x<−8
D. x>−8
10.在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（2-a，0），且A在B的左边，点C
（1，-1），连接AC，BC，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，那么a的取值范围为（ ）
A. −1<a≤0
B. 0≤a<1
C. −1<a<1
D. −2<a<2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.点A（1，-2）关于x轴对称的点的坐标是______．
12.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方
法应用的几何原理是______．
13.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O
点，已知AB=AC，若要判定△ABE≌△ACD，则需添加条件
______．（只要求写出一个）
14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______．
15.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的底角等于______．
16.如图，一次函数y=-23x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边
在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点的直线解析式为
______．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分）
17.作图题：
如图，AC、AB是两条笔直的交叉公路，M、N是两个车
站，现欲建一个加油站P使得
此加油站到公路两边的距离相等，且离M、N两个车站的距
离也相等，此加油站P应建在何处？
要求：尺规作图，保留作图痕迹；不写作法．
18.已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，
AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．
19.如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．
（1）若∠B=30°，∠ACB=100°，求∠EAD的度数；
（2）若∠B=α，∠ACB=β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD=______．（直接写出结论即可）
20.已知：如图，点D、E分别在等边△ABC的边BC、CA
上，AD与BE相交于点P，∠APE=60°，求证：
BD=CE．
21.学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、
乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，当t=______分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为______米/分钟；
（2）求出线段AB所表示的函数表达式．
22.如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．
（1）如图1，填空∠B=______°，∠C=______°；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：∵-1＜0，1＞0，
∴点P（-1，1）所在的象限是第二象限，
故选：B．
根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．
此题主要考查了点的坐标的相关知识；掌握各个象限内点的符号特点是解决
本题的关键．
2.【答案】D
【解析】
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】
解：由三角形三边关系定理得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故选：C．
已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据
三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
4.【答案】D
【解析】
解：∵该直线向上平移3的单位，
∴平移后所得直线的解析式为：y=x+3；
把x=2代入解析式y=x+3=5，
故选：D．
根据平移的性质得出解析式，进而解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】
解：三角形三条高线所在直线的交点都在三角形内部、外部或斜边上，A错误；三角形三条中线的交点称为三角形的重心，B正确；
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，C错误；
三角形三边的垂直平分线交于一点这点到三角形三个顶点的距离相等，D错误；
故选：B．
根据三角形的高的概念、三角形的中线的概念、三角形的外角的性质、线段
垂直平分线的性质判断即可．
本题考查的是三角形的高、三角形的中线、三角形的外角的性质、线段垂直
平分线的性质，掌握三角形三条中线的交点称为三角形的重心是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
解：∵一次函数y=（1-2k）x-k的函数值y随x的增大而增大，且此函数的图象
不经过第二象限，
∴1-2k＞0，且-k≤0，
解得0≤k＜，
故选：C．
先根据函数y随x的增大而增大可确定1-2k＞0，再由函数的图象不经过第二象限图象与y轴的交点在y轴的正半轴上或原点，即-k≤0，进而可求出k的取值范围．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系．
函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；
函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；
一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0；
一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0；
一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．
7.【答案】B
【解析】
解：∵∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-80°-30°=70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=70°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC，
=70°-35°，
=35°．
故选：B．
根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可
得∠DAE=∠BAC，然后根据∠EAC=∠DAE-∠DAC代入数据进行计算即可得解．本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】
解：设∠BAD=x，则∠BAC=3x，
∴∠DAC=2x，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=2x，
则70°+3x+2x=180°，
解得，x=22°，
则∠C=2x=44°，
故选：D．
设∠BAD=x，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】
解：∵直线l1：y=3x+1和直线l2：y=mx+n交于点P（a，-8），
∴3a+1=-8，
解得：a=-3，
观察图象知：关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为x＜-3，
故选：B．
首先将已知点的坐标代入直线y=3x+1求得a的值，然后观察函数图象得到在点P的左边，直线y=3x+1都在直线y=mx+n的下方，据此求解．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出两函数图象的交点坐标，根据函数图象可得答案．
10.【答案】A
【解析】
解：∵点A（a，0）在点B（2-a，0）的左边，
∴a＜2-a，
解得：a＜1，
记边AB，BC，AC所围成的区域（含边界）为区域M，则落在区域M的横纵坐标都为整数的点个数为4个，
∵点A，B，C的坐标分别是（a，0），（2-a，0），（1，-1），
∴区域M的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，
∴已知的4个横纵坐标都为整数的点都在区域M的边界上，
∵点C（1，-1）的横纵坐标都为整数且在区域M的边界上，
∴其他的3个都在线段AB上，
∴2≤2-a＜3．
解得：-1＜a≤0，
故选：A．
根据“点A（a，0），点B（2-a，0），且A在B的左边，点C（1，-1），连接AC，BC，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个”，得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．
本题考查了坐标与图形的性质，分析题目找出横纵坐标为整数的三个点存在于线段AB上为解决本题的关键．
11.【答案】（1，2）
【解析】
解：根据轴对称的性质，得点A（1，-2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）．
平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y）．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．
记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
12.【答案】三角形具有稳定性
【解析】
解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
13.【答案】AD=AE
【解析】
解：添加条件：AD=AE，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
故答案为：AD=AE．
添加条件：AD=AE，再由已知条件AB=AC和公共角∠A可利用SAS定理证明△ABE≌△ACD．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
14.【答案】360°
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形外角的性质及三角形的外角和定理，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键．先根据三角形外角的性质得出∠A+∠B=∠1，∠E+∠F=∠2，∠C+∠D=∠3，再根据三角形的外角和是360°进行解答．
【解答】
解：如图，
∵∠1是△ABG的外角，
∴∠1=∠A+∠B，
∵∠2是△EFH的外角，
∴∠2=∠E+∠F，
∵∠3是△CDI的外角，
∴∠3=∠C+∠D，
∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为360°．
15.【答案】55°或35°
【解析】
解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC于D，
∴∠A=70°，
∴∠ABC=∠C=（180°-70°）÷2=55°；
②∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC于D，
∴∠BAC=20°+90°=110°，
∴∠ABC=∠C=（180°-110°）÷2=35°．
故答案为：55°或35°．
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行
分析，注意分类讨论思想的运用．
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，进行分类讨论是解题的关键．
16.【答案】y=15x+4
【解析】
解：∵一次函数y=-x+4中，
令x=0得：y=4；令y=0，解得x=6，
∴B的坐标是（0，4），A的坐标是（6，0），
如图，作CD⊥x轴于点D，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO．
在△ABO与△CAD中，，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴OB=AD=4，OA=CD=6，OD=OA+AD=10．
则C的坐标是（10，6）．
设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，
解得：，
∴直线BC的解析式是y=x+4．
故答案为：y=x+4．
先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知
OA=CD，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式．本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
17.【答案】解：如图所示，点P就是所求的点．
【解析】
到AB、AC距离相等的点在∠BAC的平分线上，到M，N距离相等的点在线
段MN的垂直平分线上，那么所求点是角平分线与垂直平分线的交点．
本题考查了作图-应用与设计作图，角平分线的判定以及线段垂直平分线的判定，到两条相交直线距离相等的点在这两条相交直线夹角的平分线上；到两点距离相等的点，在这两点连线的垂直平分线上．
18.【答案】证明：∵AB∥ED，
∴∠B=∠E．
在△ABC和△CED中，AB=CE∠B=∠EBC=ED，
∴△ABC≌△CED．
∴AC=CD．
【解析】
根据AB∥ED推出∠B=∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC=CD．本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都
有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．
19.【答案】12β-12α
【解析】
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠D=90°，
∵∠ACB=100°，
∴∠ACD=180°-100°=80°，
∴∠CAD=90°-80°=10°，
∵∠B=30°，
∴∠BAD=90°-30°=60°，
∴∠BAC=50°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=25°，
∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=35°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠D=90°，
∵∠ACB=β，
∴∠ACD=180°-β，
∴∠CAD=90°-∠ACD=β-90°，
∵∠B=α，
∴∠BAD=90°-α，
∴∠BAC=90°-α-（β-90°）=180°-α-β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=90°-（α+β），
∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=90°-（α+β）+β-90°=β-α．
故答案为：β-α．
（1）根据垂直的定义得到∠D=90°，根据邻补角的定义得到
∠ACD=180°-100°=80°，根据三角形的内角和得到∠BAC=50°，根据角平分线
的定义得到∠CAE=∠BAC=25°，于是得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D=90°，得到∠ACD=180°-β，求得∠BAC=90°-α-（β-90°）=180°-α-β，根据角平分线的定义得到∠CAE=∠BAC=90°-（α+β），根
据角的和差即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
20.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵∠APE=∠ABP+∠BAP=60°，∠ABP+∠CBE=60°，
∴∠BAD=∠CBE，
在△BAD和△CBE中，
∠BAD=∠CBEAB=BC∠ABD=∠C，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
∴BD=EC．
【解析】
欲证明BD=CE，只要证明△BAD≌△CBE（ASA）即可．
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】24 40
【解析】
解：（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60=40米/分钟．
故答案为24，40；
（2）∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t=24分钟时甲乙两人相遇，
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，
∴乙的速度为100-40=60米/分钟．
乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟，
40×40=1600，
∴A点的坐标为（40，1600）．
设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b，
∵A（40，1600），B（60，2400），
∴，解得．
∴线段AB所表示的函数表达式为y=40t（40≤t≤60）．
（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根
据速度=路程÷时间可得甲的速度；
（2）由t=24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标，再将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数表达式．
本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
22.【答案】36 72
【解析】
解：（1）∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∵DA=DB，
∴∠BAD=∠B，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B，
∴∠DAC=∠B，
∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，
∴2∠B+2∠B+∠B=180°，
∴∠B=36°，∠C=2∠B=72°，
故答案为：36；72；
（2）①在△ADB中，∵DB=DA，∠B=36°，
∴∠BAD=36°，
在△ACD中，∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=72°，
∴∠CAD=36°，
∴∠BAD=∠CAD=36°，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠AEN=∠ANE=54°，
即△ANE是等腰三角形；
②CD=BN+CE．
证明：由①知AN=AE，
又∵BA=BC，DB=AC，
∴BN=AB-AN=BC-AE，CE=AE-AC=AE-BD，
∴BN+CE=BC-BD=CD，
即CD=BN+CE．
（1）BA=BC，且DB=DA=AC可得∠C=∠ADC=∠BAC=2∠B，∠DAC=∠B，在
△ADC中由三角形内角和可求得∠B，∠C；
（2）①由（1）可知∠BAD=∠CAD=36°，且∠AHN=∠AHE=90°，可求得
∠ANH=∠AEH=54°，可得AN=AE；
②由①知AN=AE，借助已知利用线段的和差可得CD=BN+CE．
本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边、等边对等角是解题的关键，注意方程思想的应用．。