《初等数学研究》教学大纲

《初等数学研究》教学⼤纲
《初等数学研究》教学⼤纲
课程名称：初等数学研究英⽂名称：Research on elementary mathematics
课程性质：专业必修课
学分：4
总学时：64 理论学时：64
适⽤专业：数学与应⽤数学
先修课程：数学分析，⾼等代数，解析⼏何
⼀、教学⽬的与要求
初等数学研究是数学教育专业开设的必修课程。

通过本课程的开设，应使学⽣在掌握近、现代数学的基础上，系统深⼊掌握中学数学内容有关的初等数学知识，做到初等与⾼等相结合。

⼀⽅⾯，通过初等数学内容的研究，尽量反映近、现代数学思想⽅法，以填补学⽣在中学数学与⾼等数学之间的空⽩；另⼀⽅⾯，试图⽤近、现代数学的思想⽅法居⾼临下地分析、处理、研究中学数学内容，使学⽣对中学数学内容有个⾼屋建建瓴的认识与理解，为当好⼀名中学数学教师打下扎实的知识基础。

同时通过本课程的开设，进⾏解题策略的训练，使学⽣具有⼀定的解题能⼒。

由于学⽣对初等数学内容并⾮⼀⽆所知，因此，必须突出与强调课程的研究性质。

在每章、每节之后提出若⼲问题让学⽣进⾏探索、研究，以帮助学⽣形成⾃主探索、合作交流的学习⽅式，以便他们将来⾛向教学岗位后，能较快地适应课程改⾰的形势。

本课程主要采⽤以讲授为主、学⽣⾃学为辅的教学⽅法，必要时运⽤⼩组合作的⽅式进⾏适当的专题讨论。

初等数学研究是专业选修课，系主⼲课程。

⼀般情况下第七---⼋学期开设，安排32周，有条件时可安排36周,共64课时。

⼆、教学内容与学时分配
三、各章节主要知识点与教学要求
第⼀章绪论（2课时）
包括数学研究的对象，中学数学的发展历程，中学数学的特点，中学数学与初等数学的关系，本课程的研究对象，学习本课程的⽬的意义，等等
本章重点：中学数学的特点
本章难点：⽆
本章教学要求：要求学⽣了解数学研究的对象，中学数学的发展历程；掌握中学数学的特点，中学数学与初等数学的关系，掌握本课程的研究对象，学习本课程的⽬的意义
第⼆章集合与逻辑（6课时）
第⼀节集合
集合的特性，集合的运算。

集合的运⽤
第⼆节命题的逻辑演算
命题的特征，简单命题，复合命题的真值定义，等价命题，简单命题的演算
第三节命题中的量词
开语句，真值集，开语句的复合，全称量词，存在量词，量词的否定，假⾔命题的四种形式，充分条件与必要条件
第四节集合与逻辑的关系
本章重点：复合命题的真值定义，等价命题，假⾔命题的四种形式
本章难点：假⾔命题的四种形式
本章教学要求：要求学⽣掌握假⾔命题命题的四种形式（逆、否、逆否），开语句的复合，判断命题真假。

第三章数与式的理论（8课时）
第⼀节数扩充的概述
数的扩充的必要性，数扩充的基本原则，数扩充的基本⽅法
第⼆节⾃然数的公理体系
⽪亚诺的序数理论，归纳思想与数学归纳法，数学归纳法的⼏种形式
第三节有理数集
从⾃然数到有理数的扩充
第四节实数集
从有理数到实数的扩充
第五节复数集
从⼀维数到⼆维数的扩充
第六节式的理论及式的变形
式的定义，式的变形基础，式的变形技巧
本章重点：⽪亚诺的序数理论，式的变形基础，式的变形技巧
本章难点：式的变形基础，式的变形技巧
本章教学要求：要求学⽣掌握数系的扩充过程，深刻掌握式的变形基础，式的变形技巧
第四章函数的理论（8课时）
第⼀节函数的定义
函数的变量说定义与对应说定义，
第⼆节函数的表⽰⽅法
表达式，图表，图象，⽅程等
第三节函数的基本性质
定义域，值域，单调性、奇偶性与对称性，周期性
第四节复合函数的性质
复合函数的定义域，值域，单调性等
第五节函数与图象
函数图象的特征，数形结合的体现
第六节数列
基本数列，递推数列
本章重点：函数四⼤性质，递推数列
本章难点：递推数列
本章教学要求：要求学⽣对函数的定义、四⼤性质，理解并掌握。

递推数列，⾼阶等差数列、线性循环数列。

第五章⽅程（不等式）的理论（8课时）
第⼀节⽅程与不等式概念
⽅程与不等式的概念、解⽅程与解不等式的基本思想
第⼆节⽅程与不等式的变形
同解变形，不同解变形，⽅程与不等式变形的区别，
第三节线性⽅程组与与线性规划
⼆元⼀次⽅程组，三元⼀次⽅程组，线性⽅程组，⼆元⼀次不等式与线性规划
第四节基本不等式及其应⽤
不等式的基本性质，⼏个基本不等式及其图形表⽰，基本不等式的应⽤。

本章重点：同解变形，不同解变形，三元⼀次⽅程
本章难点：三元⼀次⽅程
本章教学要求：掌握⽅程和不等式的同解⾮同解变形，掌握三元⼀次⽅程的公式解，⼏个不等式及其应⽤。

第六章逻辑推理及演绎⼏何（6课时）
第⼀节⼏何公理的产⽣与发展
公理化⽅法的基本要求，公理系统的基本要求，公理化⽅法的产⽣与发展
第⼆节欧⽒公理体系与希⽒公理体系
欧⽒公理体系的来源，基本内容，存在问题；希⽒公理体系的产⽣，内容，对公理化⽅法的影响
第三节平⾯图形及平⾯图形的推理论证
平⾯图形基本性质、平⾯图形推理论证的基本⽅法
第四节空间图形及空间图形的推理论证
空间图形的研究内容，空间图形推理论证的基本⽅法
本章重点：平⾯图形推理论证的基本⽅法，空间图形推理论证的基本⽅法
本章难点：平⾯图形推理论证的基本⽅法，空间图形推理论证的基本⽅法
本章教学要求：了解三⼤⼏何体系的形成和发展，，掌握平⾯和空间图形推理论证的⽅法。

第七章图形变换及变换⼏何（8课时）
第⼀节合同变换
定义，合同变换的性质
第⼆节平移与旋转变换
定义，性质，在解题中的应⽤，
第三节反射变换
定义，性质，在解题中的应⽤
第四节相似变换
相似变换的定义、性质，位似变换的定义、性质，在解题中的应⽤
第五节其它变换
仿射变换，射影变换，拓扑变换
本章重点：合同变换
本章难点：拓扑变换
本章教学要求：掌握各种⼏何变换在中学中的应⽤。

第⼋章向量及解析⼏何（6课时）
第⼀节平⾯向量及其运算
向量的概念，平⾯向量的三种运算，平⾯向量基本定理，三种运算的相应坐标表⽰第⼆节空间向量及其运算
空间向量的三种运算，空间向量基本定理，三种运算的相应坐标表⽰
第三节向量与解析⼏何中的基本公式
⽤向量推导两点间距离公式，夹⾓公式，点到直线的距离公式，正弦、余弦定理等第四节运⽤向量解题例说
本章重点：平⾯向量的三种运算，空间向量的三种运算
本章难点：向量解题例说
本章教学要求：掌握平⾯和空间向量及其运算，掌握解析⼏何中的诸多基本公式。

第九章组合数学初步（6课时）
第⼀节两个基本原理
计数问题，加法原理，乘法原理。

第⼆节排列组合问题例说
排列数的基本公式，组合数的基本公式，解题例说，
第三节⼆项式定理
⼆项式定理及其运⽤
第四节母函数与排列组合
抽屉原理，容斥原理，母函数与排列组合公式。

本章重点：计数问题，加法原理，乘法原理
本章难点：排列组合问题例说
本章教学要求：掌握两个基本原理，掌握排列和组合的基本公式及其应⽤。

第⼗章中学数学解题策略（6课时）
第⼀节中学数学解题策略
定义法、利⽤图形、正难则反、特殊化、⼀般化、类⽐、模式转换
第⼆节研究性课题及其研究⽅法
本章重点：利⽤图形，特殊化，⼀般化
本章难点：模式转换
本章教学要求：要求学⽣熟练掌握各种解题策略的应⽤。

四、成绩考核⽅式
考试：闭卷，总评成绩=平时成绩×30%+期末成绩×70% ，其中平时成绩由出勤、课堂表现、作业三部分组成，作业形式是每节布置作业，书写在作业本上。

五、教材与参考资料
1.季素⽉朱家⽣林波编著, 《初等数学研究教程》, 2004年8⽉第⼀版, 吉林科学技术出版
社 ,2004
2.葛军涂荣豹编著, 《初等数学研究教程》,2009年7⽉第⼀版, 江苏教育出版社, 2009 3．李长明周焕⼭编著，《初等数学研究》，1995年6⽉第⼀版，⾼等教育出版社，1995
4.叶⽴军编著，《初等数学研究》，2008年5⽉第⼀版，华东师范⼤学出版社，2008
5. Klaus Hulek著，胥鸣伟译，《初等代数⼏何》，2014年10⽉第⼀版，⾼等教育出版社，2014。