3.2.1高中数学必修第一册知识点总结 函数的单调性与最大(小)值-

函数的单调性与最大（小）值知识点总结与例题讲解
一、本节主要知识点 （1）函数的单调性. （2）函数的最值. （3）单调函数的运算性质. （4）复合函数的单调性. 知识点一 函数的单调性 1.增函数与减函数 名称 定义
图象表示
几何意义
增 函 数
一般地,设函数)(x f 的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ,当
2
1x x <时
,
都
有
()()21x f x f <,那么就说函数
)(x f 在区间D 上是增函数.
函数)(x f 的图象在区间D 上从左
到右是上升的. 减 函 数
一般地,设函数)(x f 的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ,当
2
1x x <时,都有
()()21x f x f >,那么就说函数
)(x f 在区间D 上是减函数.
x y f x 2()
f x 1()
x 2
x 1
y = f x ()
O
函数)(x f 的图象
在区间D 上从左到右是下降的.
增函数、减函数定义中两个自变量的值21,x x 的三个特征:
（1）任意性 自变量的值21,x x 必须是在区间D 上任意选取的,不可以随便取两个
特殊值.
（2）有序性 一般要对21,x x 的大小作出规定,通常规定21x x <.
（3）同区间性 即21,x x 要属于同一个单调区间. 2.单调性、单调区间和单调函数
如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性,区间D 叫做函数)(x f y =的单调区间.
单调函数 如果函数)(x f y =在整个定义域上具有单调性,那么就称函数)(x f y =为单调函数.
对函数单调性和单调区间的理解:
（1）区间D 必为函数定义域I 的子集,即I D ⊆.所以单调性是函数的局部性质. （2）区间D 可以是整个定义域,此时函数为单调函数.
如函数1+=x y 在整个定义域()+∞∞-,上是增函数,函数x y -=在整个定义域
()+∞∞-,上是减函数.
（3）区间D 可以是定义域的真子集.
如函数2x y =在整个定义域()+∞∞-,上没有单调性,但在区间()0,∞-上是减函数,在区间()+∞,0上是增函数.
（4）函数在某个区间上单调,但在整个定义域上不一定单调. 如函数x
y 1
=
在区间()0,∞-和()+∞,0上都是减函数,但在整个定义域上不具有单调性（反比例函数的图象是不连续的）. （5）不是所有的函数都具有单调性.
如狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数
x x x f ,0,1)(,它的定义域是R ,但不具有单调性.
（6）若函数)(x f 在区间D 上为增函数,则称区间D 为函数)(x f 的增区间;若函数
)(x f 在区间D 上为减函数,则称区间D 为函数)(x f 的减区间.
正确书写单调区间
（1）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“ ”连接,而应该用“和”或“,”连接.
如函数x y 1=
在区间()0,∞-和()+∞,0上都是减函数,但不能认为函数x
y 1=的减区间为()0,∞- ()+∞,0,其单调减区间在书写时应该写成“()0,∞-和()+∞,0”或“()0,∞-,()+∞,0”.
（2）函数的单调性是对某个区间而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性.因此在书写单调区间时,对区间端点的开闭不作要求,可以包括区间端点,也可以不包括.但对于函数式无意义的点,单调区间一定不能包括.
单调性定义的等价形式:
（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:
⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021<-x f x f ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,
()()
02
121>--x x x f x f ;
⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121>--x f x f x x ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,
()()
0212
1>--x f x f x x .
（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:
⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021>-x f x f ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,
()()
02
121<--x x x f x f ;
⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121<--x f x f x x ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,
()()
0212
1<--x f x f x x .
3.常见函数的单调性
确定函数的单调性,有一种方法叫做直接法:对于我们所熟悉的基本初等函数,如正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数等,可以直接利用它们的性质判断单调性.
说明:
（1）由单调函数的定义可知,一次函数为在R 上的单调函数（单调增函数或顶点减函数）.
（2）在确定二次函数()02≠++=a c bx ax y 的单调性时,常把二次函数化为顶点式()k h x a y +-=2
()0≠a ,所以:
①当0>a 时,在](h ,∞-上为减函数,在()+∞,h 上为增函数; ②当0<a 时,在](h ,∞-上为增函数,在()+∞,h 上为减函数.
例 1. 若函数)(x f 的定义域为()+∞,0,且满足()()()321f f f <<,则函数)(x f 在
()+∞,0上【 】
（A ）是增函数 （B ）是减函数 （C ）先增后减 （D ）单调性不能确定
解:函数单调性的定义强调了自变量的值21,x x 的任意性,仅凭区间内有限个函数值的大小
关系,不能作为判断函数单调性的依据.
选择【 D 】.
提示:（1）判断函数的单调性时,不能根据21,x x 的两个特殊值,对函数的单调性进
行判断;
（2）若要说明函数)(x f 在某个区间上不是增函数（减函数）时,只需在该区间上找到两个自变量的值21,x x ,证明当21x x <时,)(1x f ≥)(2x f （)(1x f ≤)(2x f ）成立即可.
例2. 下列说法中正确的个数为:
①定义在()b a ,上的函数)(x f ,如果有无穷多个()b a x x ,,21∈,当21x x <时,有
()()21x f x f <,那么)(x f 在()b a ,上为增函数;
②如果函数)(x f 在区间1I 上为减函数,在区间2I 上也为减函数,那么)(x f 在区间
1I 2I 上就一定是减函数;
③对任意的()b a x x ,,21∈,且21x x ≠,当()()
02
121<--x x x f x f 时,)(x f 在()b a ,上是减函
数;
④对任意的()b a x x ,,21∈,且21x x ≠,当()()()[]02121>--x f x f x x 时, )(x f 在()b a ,上是增函数.
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
解: ①不正确,函数单调性的定义强调了21,x x 的任意性,“无穷多个”不能代表“所有”、“任意”;
②不正确,一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“ ”连接,而应该用“和”或“,”连接.以反比例函数x
y 1
=为例,函数在区间()0,∞-和()+∞,0上都是减函数,但不能认为函数x
y 1
=
的减区间为()0,∞- ()+∞,0,其单调减区间在书写时应该写成“()0,∞-和()+∞,0”或“()0,∞-,()+∞,0”.
③正确, 因为()()02121<--x x x f x f ,等价于()()⎩⎨⎧>-<-002121x f x f x x 或()()⎩⎨⎧<->-00
2
121x f x f x x ,所
以()()⎩⎨⎧><2121x f x f x x 或()()
⎩⎨⎧<>212
1x f x f x x ,即)(x f 在()b a ,上是减函数;
④正确,同③.
故正确的结论有两个.选择【 B 】.
例3. 下列四个函数中,在()+∞,0上为增函数的是【 】 （A ）x x f -=3)( （B ）x x x f 3)(2-= （C ）x x f 2)(= （D ）x
x f 1)(=
解:对于函数x x f -=3)(,因为01<-=k ,所以其图象在R 上从左到右是下降的,为R 上的单调减函数,在()+∞,0上肯定也是减函数;
对于函数49233)(2
2-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x x x x f ,在 ⎝⎛⎥⎦⎤23,0上为减函数,在⎪⎭⎫
⎝⎛+∞,23上为增函数;
对于函数x x f 2)(=,因为02>=k ,所以其图象在R 上从左到右是上升的,为R 上的增函数,在()+∞,0上肯定也是增函数; 对于函数x
x f 1
)(=
,在()+∞,0上为减函数. 综上,选择【 C 】.
注意:
（1）对于一次函数()0≠+=k b kx y ,当0>k 时,在R 上单调递增;当0<k 时,在R 上单调递减.
（2）对于反比例函数()0≠=
k x
k
y ,当0>k 时,在()0,∞-和()+∞,0上单调递减;当0<k 时,在()0,∞-和()+∞,0上单调递增.
（3）在确定二次函数()02≠++=a c bx ax y 的单调性时,常把二次函数化为顶点式()k h x a y +-=2
()0≠a ,当0>a 时,在](h ,∞-上为减函数,在()+∞,h 上为增函数,
当0<a 时,在](h ,∞-上为增函数,在()+∞,h 上为减函数. 应熟练掌握以上常见函数的单调性.
4.定义法判断和证明函数的单调性
用定义法判断函数单调性的一般步骤:取值、作差、变形、判号、定论. （1）取值 设21,x x 是给定区间上的任意两个值,且21x x <; （2）作差 计算()()21x f x f -;
（3）变形 对()()21x f x f -进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、通分、有理化等;
（4）判号 即判断()()21x f x f -的符号,当符号不确定时,需要进行分类讨论; （5）定论 根据函数单调性的定义得出结论,即确定函数在给定区间上的单调性. 在以上步骤中,作差是基础,变形是关键,判号是目的.
例4. 讨论函数x
x x f 4
)(+
=在()+∞,2上的单调性. 分析:对于一些简单的具体函数,常用定义法确定函数的单调性.定义法分为取值、作差、变形、判号和定论五步. 解:任取()+∞∈,2,21x x ,且21x x <,则有:
()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-+
=-21212211214444x x x x x x x x x f x f ()()
()()()2
12121
21212
112214414x x x x x x x x x x x x x x x x --=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-+
-=
∵()+∞∈,2,21x x ,且21x x < ∴04,0,0212121>-<->x x x x x x ∴
()()
042
12121<--x x x x x x ,即()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f <
∴函数函数x
x x f 4
)(+=在()+∞,2上为增函数.
例5. 求函数()01
)(>+
=x x
x x f 的单调区间. 解:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有:
()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+
=-22112111x x x x x f x f
()()()()()2
12121
2121211
2
2121211111
1x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x --=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-+-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+-=
∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x <
∴0,02121<->x x x x ,对()121-x x 的符号的判断,分为两种情况: ①当()1,0,21∈x x 时,1021<<x x ,∴0121<-x x ∴()()021>-x f x f ,即()()21x f x f > ∴函数x
x x f 1
)(+
=在()1,0上为减函数; ②当)[∞+∈,1,21x x 时,121>x x ,∴0121>-x x ∴()()021<-x f x f ,即()()21x f x f <
∴函数x
x x f 1
)(+
=在)[∞+,1上为增函数. 综上所述,函数()01
)(>+=x x x x f 的单调递减区间为()1,0,单调递增区间为
)[∞+,1.
注意:（1）变形后若结果中的某一项的符号不能确定,则应进行分类讨论.
（2）对于()021>-p p x x 的符号的判断,可取21x x =,由021=-p x x 得到临界数
p x x ±==21.
5. 对勾函数及其单调性
形如x
p
x y +
=（0>p ,且p 为常数）的函数,称为对勾函数. 对勾函数x
p
x y +=（0>p ,且p 为常数）在](p -∞-,和
)[
∞+,p 上为增函数,在
()0,p -
和()
p ,0上为减函数.
对勾函数有两条渐近线,一条是y 轴（0≠x ,图象无限接近于y 轴,但不相交）,另一条是直线x y =（当x 趋近于无穷大时,
x
p
趋近于0,y 趋近于x ,因为0≠x p ,所以x y ≠）.
对勾函数x
p
x y +
=（0>p ,且p 为常数）的图象如下图所示.
)
如例4中的函数x x x f 4)(+
=和例5中的函数x
x x f 1
)(+=都是对勾函数.
例6. 讨论函数1
)(2-=
x ax
x f 在()1,1-上的单调性,其中a 为非零常数. 分析:本题函数解析式中含有参数a ,若变形后结果的符号不能确定,则需要对a 的符号进行讨论.
解:任取()1,1,21-∈x x ,且21x x <,则有:
()()()()()()11111
12
22121222122221121-----=---=-x x x ax x ax x ax x ax x f x f ()()()()
11122212112--+-=
x x x x x x a
∵()1,1,21-∈x x ,且21x x <
∴01,01,01,02
2
212112<-<->+>-x x x x x x ∵a 为非零常数,∴分为两种情况:
①当0>a 时,()()021>-x f x f ,∴()()21x f x f > ∴()x f 在()1,1-上是增函数;
②当0<a 时,()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f < ∴()x f 在()1,1-上是减函数.
6. 单调函数的运算性质
利用单调函数的运算性质,可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构
成的函数的单调性.
若函数)(x f 与)(x g 在区间D 上具有单调性,则在区间D 上具有以下性质: （1）)(x f 与C x f +)(（C 为常数）具有相同的单调性. （2）)(x f 与)(x f -的单调性相反.
（3）当0>a 时,)(x af 与)(x f 具有相同的单调性;当0<a 时,)(x af 与)(x f 具有相反的单调性.
（4）若)(x f ≥0,则)(x f 与
)(x f 具有相同的单调性.
（5）若)(x f 恒为正值或恒为负值,则当0>a 时,)(x f 与
)
(x f a
具有相反的单调性;当0<a 时,)(x f 与
)
(x f a
具有相同的单调性. （6）)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:
7. 复合函数的单调性
对于复合函数))((x g f y =,其单调性如下表所示,简记为“同增异减”:
确定复合函数单调性的步骤: （1）求出复合函数的定义域;
（2）分解复合函数为几个基本初等函数; （3）判断每一个分解函数的单调性;
（4）根据复合函数单调性的确定方法确定函数的单调性.
例7. 求函数228)(x x x f --=的单调区间.
分析:在确定函数的单调性时,要注意“定义域优先”的原则. 解:由题意可知:228x x --≥0,解之得:4-≤x ≤2. ∴函数)(x f 的定义域为[]2,4-. 设u y =,228x x u --=
∴()912
++-=x u ,其单调增区间为](1,-∞-,单调减区间为()+∞-,1
∴函数)(x f 的单调增区间是[]1,4--,单调减区间是(]2,1-.
例8. 已知函数)(x f 在定义域[)+∞,0上单调递减,求函数()21x f -的递减区间. 分析:判断复合函数的单调性时,要注意在定义域内进行. 解:∵函数)(x f 的定义域为[)+∞,0 ∴21x -≥0,解之得:1-≤x ≤1 ∴()21x f -的定义域为[]1,1-. 令21x u -=,则()()u f x f =-21
21x u -=的单调递增区间为[]0,1-,单调递减区间为(]1,0 ∴函数()21x f -的递减区间为[]0,1-.
★例8. 已知函数32)(2--=x x x f ,)5()(2x f x g -=,试求()x g 的单调区间. 分析:求复合函数的单调区间的方法是“同增异减”.
函数()25x f -可以看成是由25x t -=与32)(2--=t t t f 复合而成的. 解:令25x t -=,则32)(2--=t t t f .
()4132)(2
2--=--=t t t t f 在(]1,∞-上单调递减,在[)+∞,1上单调递增
由25x -≥1得:x ≤2-或x ≥2;由25x -≤1得:2-≤x ≤2 函数25x t -=在(]0,∞-上单调递增,在[)+∞,0上单调递减
∴函数()x g 的单调递增区间为[]0,2-和[)+∞,2;单调递减区间为(]2,-∞-和[]2,0
.
x
t +∞
∞
例9. 函数5
41
)(2--=
x x x f 的单调递增区间为__________.
分析:先求出函数)(x f 的定义域,在其定义域内确定单调递增区间.
解:由题意可知:0542≠--x x ,解之得:1-≠x 且5≠x ∴函数)(x f 的定义域为()()()+∞--∞-,55,11, . 函数541)(2
--=
x x x f 是由函数t
y 1=和函数542
--=x x t 复合而成的. 函数t
y 1
=在()0,∞-和()+∞,0上单调递减
函数542--=x x t 在(]2,∞-上单调递减,在[)+∞,2上单调递增 ∴函数)(x f 的单调递增区间为()1,-∞-和(]2,1-.
注意:若函数的定义域内不包含某端点,则该端点必须表示为开区间.
例10. 已知函数)(x f y =在R 上是减函数,则()3-=x f y 的单调减区间是【 】 （A ）()+∞∞-, （B ）[)+∞,3 （C ）[)+∞-,3 （D ）(]3,∞-
分析:本题涉及到绝对值函数x x f =)(,其图象如下图所示.把函数x x f =)(的图象向右平移3个单位长度,即可得到函数3-=x y 的图象.
3
f (
由图象可知,函数3-=x y 在(]3,∞-上为减函数,在[)+∞,3上为增函数. 雅慧,你要掌握绝对值函数图象的特征.
解:函数()3-=x f y 可以看成是由函数3-=x t 和函数)(t f y =复合而成的. 由题意可知,函数)(t f y =在R 上为减函数. 函数3-=x t 的单调增区间为[)+∞,3
∴由复合函数的单调性可知,函数()3-=x f y 的单调减区间为[)+∞,3.选【 B 】.
8.抽象函数的单调性
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数. 判断抽象函数单调性的方法:
（1）凑 凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值 给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 注意
①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:
()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-
或
()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;
②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:
()()()11
2112x f x
x x f x f x f -⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
⋅=- 或
()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
⋅-=-212212x x x f x f x f x f .
例11. 已知函数)(x f 对于任意的∈y x ,R ,总有()()()y f x f y x f +=+,且当0>x 时,()0<x f .
求证:)(x f 在R 上为减函数.
分析:本题为“和型”抽象函数问题.注意到条件“当0>x 时,()0<x f ”,若设21x x <,则012>-x x ,所以()012<-x x f .这样就充分利用了题目所给的条件. 证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x ∵当0>x 时,()0<x f ∴()012<-x x f ,∴
()()()()()()()()0)(121112111212<-=-+-=-+-=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f
∴()()21x f x f > ∴)(x f 在R 上为减函数.
注:本题也可以这样变形:
()()()()()()()()0
)(121121112121>--=---=+--=-x x f x f x x f x f x x x f x f x f x f ∴()()21x f x f >
例12. 已知函数)(x f 对于任意的∈b a ,R ,都有()()()1-+=+b f a f b a f ,并且当
0>x 时,()1>x f .
求证:)(x f 是R 上的增函数.
证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x ∵当0>x 时,()1>x f ∴()112>-x x f ,
∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=- ()0112>--=x x f ∴()()21x f x f < ∴)(x f 是R 上的增函数.
例13. 设)(x f 是定义在R 上的函数,对∈n m ,R ,恒有()()()n f m f n m f ⋅=+,（()()0,0≠≠n f m f ）,且当0>x 时,()10<<x f . （1）求证1)0(=f ;
（2）求证∈x R 时,恒有0)(>x f ; （3）求证)(x f 在R 上是减函数.
分析:（1）通过赋值求)0(f ;（2）通过()()()1)()0(=-⋅=-+=x f x f x x f f 证明
0)(>x f ;（3）利用单调性的定义证明函数)(x f 的单调性.
（1）证明:令0=m ,则有()()()n f f n f ⋅=+00 ∴()()()n f f n f ⋅=0 ∵()0≠n f ∴1)0(=f ;
（2）令0<x ,则0>-x ∵当0>x 时,()10<<x f ∴()10<-<x f
∵()()()()1)(0=-⋅=-+=x f x f x x f f ∴()()
01
>-=
x f x f 综上,∈x R 时,恒有0)(>x f ;
（3）任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x ∴()1012<-<x x f
∴()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-
()()()()()[]
11211112--=-⋅-=x x f x f x f x f x x f
∵∈x R 时,恒有0)(>x f ,()1012<-<x x f ∴()()01,0121<-->x x f x f ∴()()012<-x f x f ∴()()21x f x f > ∴)(x f 在R 上是减函数.
例14. 已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意()+∞∈,0,y x ,恒有
()()()y f x f xy f +=,且当10<<x 时,0)(>x f ,判断函数)(x f 在()+∞,0上的单调
性.
分析:本题为“积型”抽象函数问题.注意到条件“当10<<x 时,()0>x f ”,任取
()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则102
1
<<
x x ,所以021>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛x x f .这样就充分利用了题目所给的条件.
解:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有102
1
<<x x ∵当10<<x 时,0)(>x f
∴021>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛x x f .
∴()()()()()0212212221221>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+
=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f >
∴函数)(x f 在()+∞,0上单调递减.
例15. 定义在()+∞,0上的函数)(x f ,满足()()()n f m f mn f +=（0,>n m ）,且当
1>x 时,()0>x f . （1）求()1f 的值;
（2）求证:()()n f m f n m f -=⎪⎭
⎫
⎝⎛;
（3）求证:)(x f 在()+∞,0上是增函数; （4）若()12=f ,解不等式()()222>-+x f x f ;
（5）比较⎪
⎭
⎫
⎝⎛+2n m f 与()()2n f m f +的大小. （1）解:令1==n m ,则由题意可知:()()()1111f f f +=⨯ ∴()01=f ;
（2）证明:∵()()()n f m f mn f +=（0,>n m ）
∴()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
=⎪⎭⎫
⎝⎛⋅=n m f n f n m n f m f ∴()()n f m f n m f -=⎪⎭
⎫
⎝⎛;
证法二:由（1）可知:()01=f
∴()011=⎪⎭
⎫
⎝⎛+
=⎪⎭⎫
⎝⎛⋅n f n f n n f ∴()n f n f -=⎪⎭⎫
⎝⎛1
∴()()()n f m f n f m f n m f n m f -=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛11. （3）证明:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有11
2
>x x ∵当1>x 时,()0>x f
∴012>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛x x f .
∴()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+
=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f <
∴函数)(x f 在()+∞,0上是增函数;
（4）解:∵()12=f （利用函数的单调性解不等式） ∴()()()()()24222222==⨯=+=f f f f f ∵()()222>-+x f x f
∴()422f x x f >⎪⎭
⎫
⎝⎛+
∵函数)(x f 在()+∞,0上是增函数
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>+4
22022
x
x x
x ,解之得:720<<x
∴不等式()()222>-+x f x f 的解集为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
<
<720x x ; 解法二:∵()()222>-+x f x f ∴()()()422f x f x f +>+ ∴()()x f x f 82>+
∵函数)(x f 在()+∞,0上是增函数
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧>+>>+x
x x x 82080
2,解之得:720<<x
∴不等式()()222>-+x f x f 的解集为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
<<720x x .
（5）
()()()mn f n f m f 2
1
2=+
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫
⎝
⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2
22122212n m f n m f n m f n m f ∵2
2
22⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m mn n m ≥0（这里在作差比较2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m 与mn 的大小） 当且仅当n m =时取等号.
∴2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+n m ≥mn ∵函数)(x f 在()+∞,0上是增函数
∴⎪⎭
⎫
⎝⎛+2n m f ≥
()()2n f m f +.
例16. 已知函数()x f y =的定义域为R ,且221=⎪⎭
⎫
⎝⎛f ,对任意∈n m ,R ,都有
1)()()(-+=+n f m f n m f ,当2
1
->x 时,()0>x f .
（1）求⎪⎭
⎫
⎝⎛-21f 的值;
（2）求证()x f y =在定义域R 上是增函数.
分析:本题第（2）问具有较大的难度,前面提到判断抽象函数的单调性时,要凑定
义或凑已知,即要充分利用题目所给的条件.条件“当21
->x 时,()0>x f ”不好利
用,若设∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x ,∴212112->-
-x x ,02112>⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--x x f .
（1）解:∵221=⎪⎭⎫
⎝⎛f ,∴()31221212121211=-+=-⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
f f f f ∴()112112121-+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛f f f f ∴()0132112121=+-=+-⎪⎭
⎫
⎝⎛=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f f ; （1）证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x
∵当21->x 时,()0>x f ,∴2
1
2112->--x x ,∴
02112>⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--x x f
∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=-
()0
212221112121121211
1212121212>⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--⎪⎭
⎫
⎝⎛+
⎪⎭⎫ ⎝⎛
--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=--=x x f x x f f x x f x x f x x f ∴()()21x f x f <
∴()x f y =在定义域R 上是增函数.
9. 图象法确定函数的单调性（适用于比较容易画出图象的函数）
一般通过已知条件作出函数图象的草图,若函数的图象在某个区间从左到右上升,则函数在这个区间上是增函数;若函数的图象在某个区间上从左到右下降,则函数在这个区间上是减函数.
虽说是画出函数图象的草图,但还是要注意画图的准确性,如正确画出函数图象上的一些关键点.
例17. 已知函数4)(-=x x x f .
（1）在坐标系内画出函数()x f 的大致图象; （2）指出函数()x f 的单调递减区间.
分析:函数()x f 为含有绝对值的函数,先转化为分段函数的形式,再分段作图.
解:（1）4)(-=x x x f ()
()
⎩⎨⎧<+-≥-=444422
x x x x x x ,其大致图象如下图所示;
x
y
–11
2
3
4
5
6
–1–2
1234
（2）由图象可知,函数()x f 的单调递减区间为[]4,2.
当然了,这是用几何画板软件绘制的图象,手画草图如图所示. 例18. 画出函数322++-=x x y 的图象,并指出函数的单调区间.
解:()()
⎩⎨⎧<+--≥++-=++-=03203232222
x x x x x x x x y ,其图象如下页图所示.
由图象可知,函数322++-=x x y 的单调递增区间是(]1,-∞-和[]1,0,单调递减区间是[]0,1-和[)+∞,1.
x
y
O
–1–2–3–41234
–1
–2
1
2345
例19. 求函数32)(2-+=x x x f 的单调区间.
分析:用图象法确定函数32)(2-+=x x x f 的单调区间.由函数图象的翻折变换:
要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可
解:先作出函数322-+=x x y 的图象,然后保留其在x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方,即可得到函数32)(2-+=x x x f 的图象,如下图所示.
由图象可知,函数32)(2-+=x x x f 的单调递增区间是[]1,3--和[)+∞,1;单调递减区间是(]3,-∞-和[]1,1-.
x
y
O
f x () = x 2 + 2∙x 3
–1–2–3–41
2
3
–1
–2–3–4
1
234
例20. 求函数()21-++=x x x f 的单调区间.
解:()()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤<--≤+-=-+--=-++=2122131122121x x x x x x x x x x f ,其图象如图所示.
+ 1 + x 2
由图象可知,函数()21-++=x x x f 的单调递减区间为(]1,-∞-,单调递增区间为[)+∞,2.
10. 性质法确定函数的单调性
利用单调函数的运算性质,可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构
成的函数的单调性.
)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:
例21. 求函数()03
4)(3<+-=
x x x x x f 的单调区间. 解:()03
434)(23<+-=+-=
x x
x x x x x f ∵函数42-=x y 与函数x
y 3
=
在()0,∞-上都是减函数 ∴函数x
x x x f 3
4)(3+-=在()0,∞-上是减函数.
∴函数()03
4)(3<+-=x x
x x x f 的单调递减区间为()0,∞-,无增区间.
例22. 求函数x x y 2
3-=的单调区间.
解:函数x
x y 2
3-=的定义域为()()+∞∞-,00, .
∵函数x y 3=与函数x
y 2
-=在()0,∞-和()+∞,0上均为增函数
∴函数x x y 2
3-=在()0,∞-和()+∞,0上是增函数
∴函数x
x y 2
3-=的单调递增区间为()0,∞-和()+∞,0,无减区间.
11. 判断函数单调性的方法总结 判断或证明函数的单调性的方法有: （1）定义法; （2）直接法; （3）图象法; （4）性质法.
判断抽象函数单调性的方法:
（1）凑 凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值 给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 注意
①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:
()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-
或
()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;
②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:
()()()11
2112x f x
x x f x f x f -⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
⋅=- 或
()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
⋅-=-212212x x x f x f x f x f .
12.一道有代表性的判断函数单调性的题目
例23. 求函数()0)(>>++=
b a b
x a
x x f 的单调区间. 分析:先确定函数的定义域,记住“定义域优先”的原则. 解法一:函数b
x a
x x f ++=
)(的定义域为()()+∞--∞-,,b b . 任取()+∞-∈,,21b x x ,且21x x <,则有:
()()()()()()()()()()
()()b x b x x x b a b x b x b x a x b x a x b
x a x b x a x x f x f ++--=++++-++=++-++=
-2112211221221121.
∵21,0x x b b a <<->>
∴()0,0,0,021112>+>--=+>->-b x b x b x x x b a ∴()()021>-x f x f ∴()()21x f x f >
∴函数()x f 在()+∞-,b 上为减函数,即函数()0)(>>++=b a b
x a
x x f 的单调递减区间为()+∞-,b ;
同理可证函数()x f 在()b -∞-,上为减函数. 综上所述,函数()0)(>>++=
b a b
x a
x x f 的单调递减区间为()b -∞-,和()+∞-,b . 解法二:（利用单调函数的运算性质）
b
x b
a b x b a b x x f +-+
=+-++=
1)(,函数的定义域为()()+∞--∞-,,b b ∵0>>b a ,∴0>-b a
∴函数b x b
a y +-=
在()b -∞-,和()+∞-,b 上为减函数 ∴函数()0)(>>++=
b a b x a
x x f 在()b -∞-,和()+∞-,b 上为减函数 即函数()0)(>>++=
b a b
x a
x x f 的单调递减区间为()b -∞-,和()+∞-,b . 注意:本题中函数b x b a y +-=和函数()0)(>>++=
b a b x a
x x f 在相同的单调区间()b -∞-,和()+∞-,b 上具有相同的单调性.
例24. 已知()a x a
x x
x f ≠-=
)(. （1）若2-=a ,试证明)(x f 在()2,-∞-上单调递增; （2）若0>a 且)(x f 在()+∞,1内单调递减,求a 的取值范围. 解:（1）当2-=a 时
2
2
12222)(+-
=+-+=+=
x x x x x x f ,函数的定义域为()()+∞-∞-,22, . ∵函数22
+-=x y 在()2,-∞-上单调递增
∴函数2)(+=x x
x f 在()2,-∞-上单调递增;
（2）a
x a
a x a a x a x x x f -+
=-+-=-=1)( ∵0>a ,∴函数a x a
y -=在()a ,∞-和()+∞,a 上为减函数
∴函数a x x
x f -=)(在()a ,∞-和()+∞,a 上单调递减
∵)(x f 在()+∞,1内单调递减 ∴a <0≤1,即a 的取值范围为(]1,0.
知识点二 函数的最值 1.函数的最大（小）值的定义
2.对最值的理解
（1）最值指的是函数值,即存在一个自变量0x ,使得()0x f 等于最值;
（2）对于定义域内的任意一个x ,都有)(x f ≤()0x f 或)(x f ≥()0x f .“任意”两个字不可以省略;
（3）使函数取得最值的自变量的值可能不止一个;
（4）函数的最值是函数值域的元素.反映的是函数的整体性质（定义域内）,具有非常明显的几何意义;
（5）函数)(x f 的最大值记作max )(x f ,最小值记作min )(x f . 3.函数的最值和值域的关系
（1）联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域,而函数的单调性反映的却是函数的局部性质. （2）区别:
①函数的值域一定存在,但函数的最值不一定存在;
（另外,在定义域上,函数可能既没有最大值,也没有最小值;可能有最大值,但没有最小值;可能有最小值,但没有最大值）
②函数的最值若存在,则最值是值域的元素;
③若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则函数的最值在值域的端点处取得.
由以上函数的最值和值域的关系,我们可以可以函数的值域来确定函数的最值. 3.求函数最值的常用方法 （1）单调性法; （2）图象法.
4.利用单调性法求最值的结论
（1）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递增,在区间[]c b ,上单调递减,那么函数
()x f y =在区间[]c a ,上有最大值)()(max b f x f =.如下页图所示;
（2）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递减,在区间[]c b ,上单调递增,那么函数
()x f y =在区间[]c a ,上有最小值)()(min b f x f =.如下页图所示.
f x ()max = f b ()
f x ()min = f b ()
知识点三 二次函数的最值问题
求二次函数的最大（小）值有两种类型:一是函数的定义域为实数集R ,这时只要根据抛物线的开口方向,应用配方法即可求出最大（小）值;二是函数的定义域为某一闭区间,这是函数的最值由它的单调性确定,而它的单调性又与抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上、在区间的左侧、在区间的右侧）来决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,还需要进行分类讨论.
求二次函数()0)(2
>++=a c bx ax x f 在区间[]n m ,上的最值分为以下三种情况:
（1）对称轴在区间的左侧 若m a
b
x <-
=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是增函数,最大值为()n f ,最小值为()m f ; （2）对称轴在区间内
若m ≤a b
2-≤n ,则)(x f 的最小值为
a b ac a b f 4422
-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-,最大值为()m f 、()n f 中的较大者（或区间端点n m ,中与直线a
b
x 2-
=的距离较大的那一个端点所对应的函数值）; 即最小值为a b
ac a b f 4422
-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-,最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =. （3）对称轴在区间的右侧
若n a
b
x >-
=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是减函数,最大值为()m f ,最小值为()n f . 注意:当抛物线的对称轴a b x 2-=在区间[]n m ,上,即m ≤a
b
2-≤n 时,函数的最小
值在顶点处获得,为顶点的纵坐标,即a b ac a b f x f 442)(2
min
-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=,函数最大值的
确定需要分为两种情况:
区间[]n m ,的中点为
2
n
m +（由中点坐标公式得到）. ①当m ≤a b 2-≤2n
m +时（即右端点n 距离对称轴较远）,函数的最大值为()n f ;
②当a b n m 22-
<+≤m 时（即左端点m 距离对称轴较远）,函数的最大值为()m f . 综上所述,二次函数的最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =.
二次函数的最值的图象说明
对称轴在区间的左侧
对称轴在区间的右侧
对称轴在区间内靠近左端点
对称轴在区间内靠近右端点
常见的二次函数最值问题类型 类型1 定轴定区间
例25. 已知函数5123)(2+-=x x x f ,当自变量在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.
（1）R ; （2）[]3,0; （3）[]1,1-
分析:这是定轴定区间上的最值问题,应结合抛物线的开口方向和对称轴的位置进行解答,在必要时可画出函数图象的简图来辅助解答.
对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,在 ⎝⎛
⎥⎦⎤-∞-a b 2,上单调递减,在
⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-
,2a b 上单调递增;当0<a 时,在 ⎝
⎛⎥⎦⎤-∞-a b 2,上单调递增,在⎪⎭⎫
⎝⎛+∞-,2a b 上单调递减.
解:()7235123)(2
2--=+-=x x x x f
（1）当∈x R 时,函数的最小值为()()72min -==f x f ,无最大值; （2）当∈x []3,0时,对称轴2=x 在区间[]3,0内,且
322
3
0<<+,所以函数在0=x 时取得最大值,最大值为()()50max ==f x f ;在2=x 时取得最小值,最小值为7-; （3）当∈x []1,1-时,函数在区间[]1,1-上为减函数,所以()()201max =-=f x f ,
()()41min -==f x f .
类型二 动轴定区间
例26. 已知函数22)(2+-=ax x x f ,[]1,1-∈x ,求函数)(x f 的最小值.
分析:本题抛物线的开口方向确定,对称轴不确定,需要根据对称轴与定区间的相对位置关系进行讨论,必要时画出函数图象的简图,用数形结合思想解决问题. 解:()22
2222)(a a x ax x x f -+-=+-=,其图象的开口方向向上,对称轴为直线
a x =.
当1-<a 时,函数()x f 在[]1,1-上是增函数,所以()()321min +=-=a f x f ; 当1-≤a ≤1时,()()2min 2a a f x f -==;
当1>a 时,函数()x f 在[]1,1-上是减函数,所以()()321min +-==a f x f .
综上所述,函数)(x f 的最小值为()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧>+-≤≤---<+=132112132)(2min a a a a a a x f .
例27. 求函数12)(2--=ax x x f 在区间[]2,0上的最大值和最小值.
解:()112)(22
2---=--=a a x ax x x f ,其图象的开口方向向上,对称轴为直线
a x =.
（1）当0<a 时,函数()x f 在区间[]2,0上是增函数,所以1)0()(min -==f x f ,
()()342max +-==a f x f ;
（2）当0≤a ≤2时,()()12min --==a a f x f : ①若0≤a ≤
12
2
0=+,则()()342max +-==a f x f ; ②若1＜a ≤2,则()()10max -==f x f .
（3）当2>a 时,函数()x f 在区间[]2,0上是减函数,所以34)2()(min +-==a f x f ,
()()10max -==f x f .
综上所述,()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧>+-≤≤--<-=234201012min
a a a a a x f ,()()
()⎩⎨⎧>-≤+-=11134max
a a a x f . 类型三 定轴动区间
例28. 求函数22)(2+-=x x x f 在区间[]1,+t t 上的最小值()t g . 解:()1122)(2
2+-=+-=x x x x f ,其开口方向向上,对称轴为直线1=x .
当1>t （此时对称轴在给定区间的左侧）时,函数()x f 在区间[]1,+t t 上为增函数,所以()()222+-==t t t f t g ;
当t ≤1≤1+t ,即0≤t ≤1时,()()11==f t g ;
当11<+t ,即0<t 时,函数()x f 在[]1,+t t 上为减函数,所以()()112+=+=t t f t g .
综上所述,()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧<+≤≤>+-=0110112222
t t t t t t t g .
例29. 若函数34)(2-+-=x x x f 的定义域为[]t ,0,值域为[]1,3-,则实数t 的取值范围是【 】
（A ）(]4,0 （B ）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,23 （C ）[)+∞,2 （D ）[]4,2
分析:若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则函数的最值在值域
的端点处取得.
解:()1234)(2
2+--=-+-=x x x x f ,其图象开口向下,对称轴为直线2=x .
当2=x 时,1=y ;当3342-=-+-x x 时,4,021==x x . ∵函数的定义域为[]t ,0,值域为[]1,3-
∴2≤t ≤4,即实数t 的取值范围是[]4,2.选择【 D 】.
类型四 动轴动区间
例30. 求函数()a x x y --=在∈x []a ,1-上的最大值.
分析:本题要结合对称轴（含参数）与给定闭区间（含参数）之间的相对位置关系进行讨论,并结合函数的单调性确定最大值.
解:()4222
a a x a x x y +⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=--=,其图象开口向下,对称轴为直线2a x =. 由题意可知:1->a .（区间的左端点必小于右端点）（见区间的表示） 当
12
-≤a
,即2-≤a 时,与1->a 矛盾,舍去; 当21a <-≤a ,即a ≥0时,4
22max a a f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛
=;
当
a a
>2
,即01<<-a 时,函数在区间[]a ,1-上是增函数,所以()0==a f y mzx .
综上所述,()()
⎪⎩⎪⎨⎧<<-≥=010042
max
a a a
y . 例31. 已知函数12)(2++=ax ax x f 在区间[]2,1-上有最大值4,求实数a 的值. 分析:本题未指明函数是二次函数,所以要对a 是否等于0展开讨论.二次函数
)(x f 的对称轴为直线122-=-
=a
a
x ,对称轴在区间[]2,1-的左侧,但抛物线的开口方向不确定,取得最大值的条件也就不确定,所以还要对a 的符号进行讨论. 解:当0=a 时,1)(=x f ,不符合题意,舍去;
当0≠a 时,函数12)(2++=ax ax x f 为二次函数,其对称轴为直线122-=-=a
a
x . ∵函数在[]2,1-上有最大值4 ∴分为两种情况:
①当0>a 时,函数在区间[]2,1-上为增函数 ∴()()41442max =++==a a f x f ,解之得:8
3=a ; ②当0<a 时,函数在区间[]2,1-上为减函数 ∴()()4121max =+-=-=a a f x f ,解之得:3-=a .
综上所述,实数a 的值为8
3
或3-.
知识点四 求函数最值的方法 求函数最值的常用方法有:
（1）配方法 主要用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围. （2）换元法 用换元法时一定要注意新元的取值范围. （3）图象法 即数形结合的方法.
（4）单调性法 利用函数的单调性求最值的方法,要注意函数的单调性对函数最值的影响. 利用函数的单调性求最值
例32. 求函数x
x x f +=
1)(的最小值.
解:由题意可知函数的定义域为()+∞,0.。