概率第6-7章(点估计)复习题解答

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《概率论与数理统计》第六、七章（点估计）复习题解答

1. 设来自总体X 的一个样本为)4,3,1,4,4,1,3,2,1,2(),,,(1021=x x x , (1) 求x , 2s , 2B ; (2) 求经验分布函数)(*

10x F 并作图; (3) 求总体期望μ=

)(X E , 方差2)(σ=X D 的矩估计值.

解: 来自总体X 的一个样本为)4,3,1,4,4,1,3,2,1,2(),,,(1021=x x x , 故

(1)

310

110

1

==∑

=i i x x , ⋅

==-=

∑

6.4)(9

1

10

1

2

2i i x x s , 2.4)(10

1

10

1

22=-=

∑=i i

x x

B .

(2) 样本的频数分布为

样本值 1 2 3 4 频数

3

2

2

3

频率分布为

样本值 1 2 3 4 频率

0.3

0.2

0.2

0.3

经验分布函数及其图形为

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎨⎧><≤<≤<≤<=4

,143 ,7.03

2 ,5.021 ,3.01

,0)(*

10x x x x x x F 0

0 1 2 3 4 x

(3)

μμ==)(1X E ，X A =1，令11A =μ，即得3ˆ==X μ

； 22222)()()(μσμ+=+==X E X D X E ，∑

==

n

i i X n A 1

2

21

，令22A =μ，即∑

==

+n

i i X n

1

22

2

1

μσ，

解得

2.41ˆ122

1

22

1

2

2

==-=-=∑

∑

==∧B X

X n

X n

n

i i n

i i μ

σ.

(若记得教材第179页例3的结论, 也可以利用来直接求μ=

)(X E , 2)(σ=X D 的矩估计值.)

2. 设21,X X 是总体)2,1(~N X 的样本，求概率)408.0)((2

21≤-X X P . 1

y 1 0.7 0.5 0.3

解: 21,X X 是总体)2,1(~N X 的样本，故)2,1(~,21N X X , 且相互独立. 所以

)4,0(~21N X X -. 从而

)1,0(~221N X X -, )1(~)2

(22

21χX X - )408.0)((221≤-X X P )102.0)2((

221≤-=X X P α=>--=)102.0)2

((12

21X X P α-=>-∴1)102.0)2

((

221X X P , 于是102.0)1(21

=-αχ, 查表知102.0)1(275.0=χ, .25.0,75.01==-αα 即25.0)408.0)((221=≤-X X P

(考虑一下: 此题如果不用2

χ分布, 而利用标准正态分布函数表, 该怎么求解?) 3. 设521,,,X X X 是总体),0(~2

σN X 的样本，证明: )1(~325

43

21t X X X X X Y -++=

.

证明: 521,,,X X X 是总体),0(~2

σN X 的样本，故),0(~,,,2

521σN X X X , 且相互独立. 所以

)1,0(~3,)3,0(~3

212321N X X X N X X X σ

σ++∴

++ (1)

)2,0(~254σN X X -. 从而

)1,0(~25

4N X X σ

-, )1(~)2(

225

4χσ

X X - (2)

且

σ

33

21X X X ++与25

4)2(

σ

X X -相互独立. (3)

由 (1) (2) (3) 及t 分布定义知

)1(~1

/)2(325

4321t X X X X X σ

σ

-++, 即)1(~325

43

21t X X X X X Y -++=

. 证毕.

4. 设随机变量),(~n m F F , (1) 求)12,10(01.0F ,)12,10(99.0F ; (2) 当10==n m 时, 求常数c , 使概率

05.0)(=>c F P , 并把c 用上α分位点记号表示出来; (3) 当20,15==n m 时, 求概率)84.1(>F P .

解: (1) 查教材第452页附表得: 30.4)12,10(01.0=F , 21.071

.41

)10,12(1)12,10(01.099.0===F F ;

(2) 查教材第449页附表得: 98.2)10,10(05.0==F c