【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件4-1 第1课时 平面向量的概念及线性运算
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2＝2λ 即 p＝－λ
，
∴p＝－1. 答案：－1
1．向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与 有向线段 起点的位置 没有关系．同向且等长的有向线段都 表示同一向量． 2．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起
点指向 最后一个向量 终点的向量．
3．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共
②当λ＞0时，λa与a的方向 向
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
对点演练 (2013· 四川)在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， → → → AB＋AD＝λAO，则 λ＝________. → → → → 解析：∵AB＋AD＝AC＝2AO， ∴λ＝2. 答案：2
→ → → (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，AB＝a，AC＝c，BC＝b，则|a ＋b＋c|等于 ( A．0 C ．2 2 答案：C B. 2 D．3 )
3．向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向
量的数乘，记作 λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝ |λ||a| ； 相同 ；当λ＜0时，λa与a的方 相反 ；当λ＝0时，λa＝0.
1．本节是平面向量的起始部分，从历年的高考看，平面向 量的线性运算、共线向量定理是考查的重点和热点． 2．考查的题型多为选择题、填空题；向量与三角、解析几 何交汇命题时则出现在解答题中，难度一般不大，属中
低档题．
1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 方向 的量叫向量；向量的大小叫
做向量的 模 ．
针对训练 1．给出下列命题： (1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． (2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． (3)λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零． (4)λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中错误命题的个数为 ( A．1 C．3 B．2 D．4 )
④由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行
⑤如果a＝b，b＝c，则a＝c
⑥如果|a|＝|b|，则a与b的方向相同． 其中不正确的命题是________(请把不正确的命题的序号都填 上)．
【解析】
各单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故
①不正确；当b＝0时，a与c可以为任意向量， 故②不正确； 两个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相 同，则它们的终点必相同，否则终点不相同，故③不正确；
规定0与任意向量平行，故④不正确；如果a、b、c都为零向
量，则a＝c，如果a、b、c为非零向量，则它们的长度都相等、 方向相同，所以a＝c，故⑤正确；⑥不正确． 【答案】 ①②③④⑥
【归纳提升】 键．
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时， 不要把它与函数图象移动混为一谈． a a (5)非零向量 a 与|a|的关系：|a|是 a 方向上的单位向量．
求a与b的相反向量 减法 －b的和的运算叫做
a－b＝ a＋(－b)
a与b的差
对点演练 → → → (1)如图，正六边形 ABCDEF 中，BA＋CD＋EF等于 ( A．0 → C.AD → B.BE → D.CF )
解析：因 ABCDEF 是正六边形， → → → → → → → → → 故BA＋CD＋EF＝DE＋CD＋EF＝CE＋EF＝CF. 答案：D
解析：(1)错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．
(2)正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大 小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． (3)错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0. (4)错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时a与b可以是任意向 量． 答案：C
题型二 向量的线性运算 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC 的 → → 中点，G 为 BF、DE 的交点，若AB＝a，AD＝b，试用 a，b 来 → → → 表示DE、BF、CG.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使
得 b＝λa.
对点演练 → → → 设 a、b 是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－ 2b，若 A、B、D 三点共线，则实数 p 的值为________． → → → 解析：∵BD＝BC＋CD＝2a－b，又 A、B、D 三点共线， → ∴存在实数 λ，使 AB＝λBD.
线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，
才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线 平行，必须说明这两条直线不重合．
题型一
概念辨析
已知下列命题： ①单位向量都相等
②若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量
③两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必 相同
(2)零向量：长度等于零的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1个单位长度 的向量．
(4)平行向量：方向相同或 相反 的非零向量，又叫共线向量，
规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且 方向 相同的向量． (6)相反向量：长度相等且 方向 相反的向量．
对点演练 判断下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则
a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|. 正确的个数是 ( A．1 B．2 )
C．3
D．4
解析：只有④正确． 答案：A
2．向量的线性Leabharlann 算向量运算定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)交换律： 求两个向 加法 量和的运 算 a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
第1课时
平面向量的概念及线性运算
(一)考纲点击
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示． 4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线
的含义．
6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
(二)命题趋势
，
∴p＝－1. 答案：－1
1．向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与 有向线段 起点的位置 没有关系．同向且等长的有向线段都 表示同一向量． 2．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起
点指向 最后一个向量 终点的向量．
3．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共
②当λ＞0时，λa与a的方向 向
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
对点演练 (2013· 四川)在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， → → → AB＋AD＝λAO，则 λ＝________. → → → → 解析：∵AB＋AD＝AC＝2AO， ∴λ＝2. 答案：2
→ → → (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，AB＝a，AC＝c，BC＝b，则|a ＋b＋c|等于 ( A．0 C ．2 2 答案：C B. 2 D．3 )
3．向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向
量的数乘，记作 λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝ |λ||a| ； 相同 ；当λ＜0时，λa与a的方 相反 ；当λ＝0时，λa＝0.
1．本节是平面向量的起始部分，从历年的高考看，平面向 量的线性运算、共线向量定理是考查的重点和热点． 2．考查的题型多为选择题、填空题；向量与三角、解析几 何交汇命题时则出现在解答题中，难度一般不大，属中
低档题．
1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 方向 的量叫向量；向量的大小叫
做向量的 模 ．
针对训练 1．给出下列命题： (1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． (2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． (3)λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零． (4)λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中错误命题的个数为 ( A．1 C．3 B．2 D．4 )
④由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行
⑤如果a＝b，b＝c，则a＝c
⑥如果|a|＝|b|，则a与b的方向相同． 其中不正确的命题是________(请把不正确的命题的序号都填 上)．
【解析】
各单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故
①不正确；当b＝0时，a与c可以为任意向量， 故②不正确； 两个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相 同，则它们的终点必相同，否则终点不相同，故③不正确；
规定0与任意向量平行，故④不正确；如果a、b、c都为零向
量，则a＝c，如果a、b、c为非零向量，则它们的长度都相等、 方向相同，所以a＝c，故⑤正确；⑥不正确． 【答案】 ①②③④⑥
【归纳提升】 键．
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时， 不要把它与函数图象移动混为一谈． a a (5)非零向量 a 与|a|的关系：|a|是 a 方向上的单位向量．
求a与b的相反向量 减法 －b的和的运算叫做
a－b＝ a＋(－b)
a与b的差
对点演练 → → → (1)如图，正六边形 ABCDEF 中，BA＋CD＋EF等于 ( A．0 → C.AD → B.BE → D.CF )
解析：因 ABCDEF 是正六边形， → → → → → → → → → 故BA＋CD＋EF＝DE＋CD＋EF＝CE＋EF＝CF. 答案：D
解析：(1)错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．
(2)正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大 小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． (3)错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0. (4)错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时a与b可以是任意向 量． 答案：C
题型二 向量的线性运算 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC 的 → → 中点，G 为 BF、DE 的交点，若AB＝a，AD＝b，试用 a，b 来 → → → 表示DE、BF、CG.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使
得 b＝λa.
对点演练 → → → 设 a、b 是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－ 2b，若 A、B、D 三点共线，则实数 p 的值为________． → → → 解析：∵BD＝BC＋CD＝2a－b，又 A、B、D 三点共线， → ∴存在实数 λ，使 AB＝λBD.
线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，
才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线 平行，必须说明这两条直线不重合．
题型一
概念辨析
已知下列命题： ①单位向量都相等
②若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量
③两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必 相同
(2)零向量：长度等于零的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1个单位长度 的向量．
(4)平行向量：方向相同或 相反 的非零向量，又叫共线向量，
规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且 方向 相同的向量． (6)相反向量：长度相等且 方向 相反的向量．
对点演练 判断下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则
a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|. 正确的个数是 ( A．1 B．2 )
C．3
D．4
解析：只有④正确． 答案：A
2．向量的线性Leabharlann 算向量运算定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)交换律： 求两个向 加法 量和的运 算 a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
第1课时
平面向量的概念及线性运算
(一)考纲点击
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示． 4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线
的含义．
6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
(二)命题趋势