塑性力学第二章

yx y yz
zx l x
zy l y l z z
p
p p p
2 x 2 y 2 2 N
2 z
N p j l j ij li l j
N p
二、转轴时应力分量的变换
yx x zx km ij lki lmj y xy zy yz z xz l11 l12 l13 x yx zx l11 l21 l31 l l l 21 22 23 xy y zy l12 l22 l32 l31 l32 l33 xz yz z l13 l23 l33
ij m ij sij
sx sij s xy s xz x m xy xz s yx sy s yz s zx s zy sz
yx zx y m zy yz z m
3、应力空间中任何与L直线平行的直线 L 若直线 L 过某定点 C c1 , c2 , c3 ，其中 c1 , c2 , c3 为常数，该直线的方程为
1 c1 2 c2 3 c3
某点P 1 , 2 , 3 应力偏张量的分量为 2c1 c2 c3 s1 1 m ca 3 2c2 c1 c3 s2 2 m cb 3 2c3 c1 c2 s3 3 m cc 3
1 1 m x y z 1 2 3 3 3
m ij ——应力球张量，代表一个均匀应力 状态。与此应力状态对应的变形是弹性的体 积改变，而无形状改变。 sij ——应力偏张量，代表一个实际的应力 状态偏离均匀应力状态的程度，此应力状态 将只产生材料的形状改变，而无体积变形。







x m yx zx J 3 xy y m zy xz yz z m
1 m 2 m 3 m s1s2 s3 s x s y s z 2 s xy s yz s zx s s s s s s



3 2 2 2 2 2 2 s x s y s z 2 s xy s yz s zx 2 3 sij sij 3 J 2 2


单向应力状态时， 2 3 0, i 1 这就是
3 的来由。等效应力 i 与应力球张量无 2
关，而只与应力偏张量或形状改变有关。
§2-5 三向应力圆 Lode应力参数 Haigh-Westergaard应力空间 一、三向应力圆


O
P 3
M
O1
P2
P1

m
在已知应力状态上叠加一个静水应力， 只会使三个应力圆一起沿 轴平移一距离， 而不会改变应力圆的大小。故 轴的位置与 屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形 的只是应力圆本身的大小。
1、应力空间中过原点并与坐标轴成等角的 直线L L直线的方程为 1 2 3 。该直线上 的点代表物体上承受静水应力的点。L直线 上的点所对应的应力状态将不产生塑性变形。 2、应力空间中过原点而与L直线垂直的平面 —— 平面 平面的方程为 1 2 3 0 。该平面 上的所有点平均应力为零，只有应力偏张量， 因此这个平面也叫偏量平面。位于该平面上 的点对应于不引起体积变形的应力状态。
2 xy 2 yz 2 zx
J1 s x s y s z s1 s2 s3
1 2 2 2 1 2 2 2 s x s y s z 2 s xy s yz s zx sij sij 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y y z z x 6 xy yz zx 6 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 6
3 2 2 2 2 1 2 2 3 3 1 i 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x 6 xy yz zx 2
用 x m 、 y m z m 代替应力 、 张量三个不变量表达式中 x、 y、 z 的就 可以得到应力偏张量的三个不变量，且其主 方向与应力张量的主方向一致。
1 m 2 m 3 m 0 s1s2 s2 s3 s3 s1 J 2 ( s x s y s y s z s z s x ) s s s


§2-4 八面体应力
一、八面体上的应力
应力强度
1 8 1 2 3 m 3
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 8 3 2 J2 3
二、应力强度（等效应力） 为了使不同应力状态的强度效应能进行 比较，引入应力强度（等效应力）。作用是 将一个复杂应力状态化作一个具有相同“效 应”的单向应力状态。
1 1
三个特殊情况：
1 2 3 0, 1 0, 1, 3 1 2 0, 3 0, 1, 单向拉伸 单向压缩 2 2 0， 1 3， 0, 纯剪切
由于 值与坐标原点的选择无关，所以 是 描述应力偏张量的一个特征值。 三、Haigh-Westergaard应力空间 一点的应力状态可用应力空间中的一个 点来表示。由于我们讨论的是各向同性体， 与方向无关，故可以用主应力来表示一点的 应力状态。进而就可以用三维主应力空间中 的一点来表示，此即Haigh-Westergaard主 应力空间。 H-W主应力空间中某些特殊的线和面上 的点所表示的应力状态。
I 3 x y z 2 xy yz zx
I1 1 2 3 I 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) I 3 1 2 3
三、主剪应力
1 1 2 3 2 1 2 ( 3 1 ) 2 1 3 ( 1 2 ) 2
平均应力为
m
1 2 3
3
由此可见，P点应力偏张量的分量与P点 在 L 直线上的位置无关。因此 L 上各点的 应力偏张量都相同。它们具有相同的 J 2（或 相同的等效应力 i）。
4、应力空间中与 平面平行的平面 应力空间中与 平面平行的平面 ，方程 为
1 OO1 1 2 3 m 3 O1P 1 m s1 O1P2 2 m s2 1
O1P3 3 m s3
移轴后的三向应力圆即为描写应力偏张量的 应力圆。
二、Lode应力参数 三向应力圆和应力偏张量由 P、P2、P3 1 三点的相对位置确定，因此需要引入一个参 数来表示这三点的相对位置。若 M 是 P1P3 的 中点，应力圆就可完全由 MP 和 MP2 确定。 1
一点的应力状态由九个分量组成， 这些分量在坐标系变换时符合二阶张量 的定义，故由这九个应力分量组成一个 二阶张量，称为应力张量。
x yx zx ij xy y zy yz z xz
§2-2 主应力与主剪应力 应力张量的不变量 一、主应力
1 MP max ( 1 3 ) 1 2 MP2 MP P2 P 1 1
1925年Lode提出参数
1 1 ( 1 3 ) 1 2 2 2 1 3 2 2
对于相同的 值，三向应力圆是相似的。
MP2 2 2 1 3 2s2 s1 s3 MP 1 3 s1 s3 1
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7
一点的应力状态 主应力与主剪应力 应力张量的不变量 应力张量及其分解 八面体上的应力及应力强度 应力空间 应变状态 应变率及应变增量
§2-1 一点的应力状态
一、斜面上的应力 p x x p j ij li p y xy p z xz
xy l x y l y zy l z 0 xz l x yz l y z l z 0 l l l 1
2 x 2 y 2 z
x l x yx l y zxl z 0
x
xy xz

Biblioteka Baidux
y

yz
z
2 xy 2 yz
zx zy
0
3 x y z 2
x y y z z x 2 x yz
( )
§2-3 应力张量的分解
x yx zx m 0 0 xy y zy 0 m 0 0 yz z 0 m xz x m yx zx xy y m zy yz z m xz
2 x yz 2 y zx 3 3 s x s 3 s z 6 s xy s yz s zx 1 y 2 2 2 3 3 s xy s x s y s yz s y s z s zx s z s x 1 sij s jk ski 3 2 z xy
x y z 2 y zx

2 zx

2 z xy
2 xy yz zx 0

二、应力张量的不变量
I1 x y z I 2 ( x y y z z x )
2 xy 2 yz 2 x yz 2 y zx 2 z xy 2 zx
1 2 3 c
c 平均应力为 m 3
因此，在与 平面平行的平面上的各点 表示了这样一些点的应力状态，即它们具有 相同的弹性体积变形。
§2-6 应变张量及其分解 一、应变与位移的关系
1、小变形情况
1 ij ui , j u j ,i 2