2019大一轮高考总复习理数课时作业提升：第08章 立体

课时作业提升(四十八) 利用空间向量求空间角

(对应学生用书P 260) A 组 夯实基础

1．(2018·临沂调研)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )

A ．

5

5

B ．－

55

C ．255

D ．－255

解析：选A 不妨设CB ＝1，则B (0,0,1)，A (2,0,0)，C 1＝(0,2,0)，B 1(0,2,1)，∴BC 1→

＝(0,2，－1)，AB 1→

＝(－2,2,1)．

cos 〈BC 1→，AB 1→

〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→|·|AB 1→|

＝0＋4－15×3＝55.

2．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则 CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )

A ．2

3

B ．

3

3

C ．

2

3

D ．13

解析：选A 设AB ＝1，则AA 1＝2，分别以D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →

的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．如图所示：

则D (0,0,2)，C 1(0,1,0)，B (1,1,2)，C (0,1,2).DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1，－2)，DC →

＝(0,1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的一个法向量，

则⎩⎪⎨⎪⎧

n ·DB →＝0，n ·

DC 1→＝0即⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＝0，y －2z ＝0.取n ＝(－2,2,1)．

设CD 与平面BDC 1所成角为θ， 则sin θ＝|n ·DC →

||n ||DC →|

＝2

3，故选A ．

3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )

A ．1

2

B ．2

3

C ．

3

3

D ．

22

解析：选B 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz,

设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，1

2，D (0,1,0)， ∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →

＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12. 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， ∴有⎩⎪⎨⎪⎧ A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0即⎩⎪⎨⎪

⎧

y －z ＝0，x －12z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝2，

z ＝2.

∴n 1＝(1,2,2)．

∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，

即所成的锐二面角的余弦值为2

3

.

4．(2018·郑州模拟)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为____________.

解析：以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BC 1的法向量，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，B (1,2,0)，C (0,2，1)，

∴A 1B →＝(0,2，－1)，A 1C 1→

＝(－1,2,0)．

则n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

2y －z ＝0，－x ＋2y ＝0，令z ＝2，则y ＝1，x ＝2， 于是n ＝(2,1,2)，D 1C 1→

＝(0,2,0)．

设所求线面角为α，则sin α＝|cos 〈n ，D 1C 1→

〉|＝13.

答案：13

5．已知单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点．试求： (1)AD 1与EF 所成角的大小； (2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，得A (1,0,1)，B (0,0,1)，D 1(1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1

2，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0.

(1)因为AD 1→＝(0,1，－1)，EF →

＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，

所以cos 〈AD 1→，EF →

〉＝(0，1，－1)·⎝⎛⎭⎫12，12，02×

2

2

＝12，

即AD 1与EF 所成的角为60°.

(2)F A →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，1，由图可得，BA →

＝(1,0,0)为平面BEB 1的一个法向量，设AF 与平面BEB 1所成的角为θ，

则sin θ＝|cos 〈BA →，F A →

〉|＝⎪⎪⎪⎪

(1，0，0)·⎝⎛⎭⎫12，－1，11× ⎝⎛⎭

⎫122＋(－1)2＋12＝13，所以cos θ＝223.

即AF 与平面BEB 1所成角的余弦值为22

3

.

6．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1

2

AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ．

(1)证明：DC 1⊥BC ；

(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．

(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形， 由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.

又AC ＝12AA 1，可得DC 2

1＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC ． 而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD ． BC ⊂平面BCD ，故DC 1⊥BC ．

(2)解：由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1， 所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．

以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →

|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .

由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)． 则A 1D →＝(0,0，－1)，BD →＝(1，－1,1)，DC 1→

＝(－1,0,1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，

则⎩⎪⎨⎪⎧

n ·BD →＝0，n ·

A 1D →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧

x －y ＋z ＝0，－z ＝0.可取n ＝(1,1,0)．

同理，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面C 1BD 的法向量． 则⎩⎪⎨⎪⎧

m ·BD →＝0，m ·

DC 1→＝0即⎩⎪⎨⎪⎧

x 1－y 1＋z 1＝0，

－x 1＋z 1＝0.可取m ＝(1,2,1)．