2019版高考数学大复习函数导数及其应用课时达标12函数模型及其应用

课时达标 第12讲 函数模型及其应用
[解密考纲]本考点考查函数在实际生活中的应用等．在近几年的高考中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．
一、选择题
1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y (单位：台)与投放市场的月数x 之间关系的是( C )
A ．y ＝100x
B ．y ＝50x 2
－50x ＋100 C ．y ＝50×2x D ．y ＝100log 2x ＋100
解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得C 项正确．
2．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少( B )
A ．9天
B ．10天
C ．11天
D ．12天
解析 设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)， 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则
y 1＝
9x
x ＋＋900x ＋1 800×6＝900
x
＋9x ＋10 809≥2
900
x
·9x ＋10 809＝10 989，
当且仅当9x ＝900
x
，即x ＝10时取等号．
故该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．故选B ． 3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例⎝ ⎛⎭⎪⎫缴税比例＝纳税额年收入为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( D )
A ．560万元
B ．420万元
C ．350万元
D ．320万元
解析 设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意，得y ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
x ×p %，x ≤280，280×p %＋x －
p ＋，x >280，
依题意有1
x
[280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%]
＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.
4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,10
0.007 5
≈1.017)( C )
A ．1.5%
B ．1.6%
C ．1.7%
D ．1.8%
解析 设每年世界人口平均增长率为x ，则(1＋x )40
＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5
＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，
所以x ＝1.7%.
5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( A )
A ．甲食堂的营业额较高
B ．乙食堂的营业额较高
C ．甲、乙两食堂的营业额相同
D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得m ＋8a ＝m ×(1＋x )8
，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4
＝m
m ＋8a ，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2
－
m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．
6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( B )
A ．3 000元
B ．3 300元
C ．3 500元
D ．4 000元
解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )． 则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x ) ＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝
⎛⎭
⎪⎫58＋x ＋70－x 22，
当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．故选B ．
二、填空题
7．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝
76 000v
v 2
＋18v ＋20l
.
(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为__1_900__辆/小时；
(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加__100__辆/小时． 解析 (1)当l ＝6.05时， F ＝76 000v
v 2＋18v ＋20×6.05， ∴F ＝
76 000v v 2
＋18v ＋121＝76 000
v ＋121
v
＋18≤
76 000
2
v ·121v
＋18
＝1 900，
当且仅当v ＝121
v
，即v ＝11时取等号．
∴最大车流量F 为1 900辆/小时． (2)当l ＝5时，F ＝
76 000v v 2
＋18v ＋20×5＝76 000
v ＋100
v
＋18
，
∴F ≤
76 000
2
v ·100v
＋18
＝2 000，
当且仅当v ＝100
v
，即v ＝10时取等号．
∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/小时．
8．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__6__级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__10_000__倍．
解析 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106
，同理5级地震最大振幅A 5＝102
，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．
9．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据关系如下表.
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系．
Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .
利用你选取的函数，求得：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__120__； (2)最低种植成本是__80__(元/100 kg)． 解析 根据表中数据可知函数不单调， 所以Q ＝at 2
＋bt ＋c 且开口向上， 对称轴t ＝－b
2a
＝
60＋180
2
＝120. 代入数据⎩⎪⎨⎪
⎧
3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，
32 400a ＋180b ＋c ＝116，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＝－2.4，
c ＝224，a ＝0.01，
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.
三、解答题
10．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．
(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值．
解析 (1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，
在△EDF 中，EQ PQ ＝
EF FD ，所以x －48－y ＝4
2
，
所以y ＝－1
2
x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．
(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2
＋50，所以S (x )是
关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为x ＝10，
所以当x ∈[4,8]，S (x )单调递增，所以当x ＝8米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米．
11．(2018·甘肃会宁一中月考)某公司对营销人员有如下规定： ①年销售额x (单位：万元)在8万元以下，没有奖金；
②年销售额x (单位：万元)，x ∈[8,64]时，奖金为y 万元，且y ＝log a x ，y ∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；
③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金． (1)求奖金y 关于x 的函数解析式；
(2)若某营销人员争取奖金y ∈[4,10] (单位：万元)，则年销售额x (单位：万元)在什么范围内？
解析 (1)依题意，y ＝log a x 在x ∈[8,64]上为增函数，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
log a 8＝3，
log a 64＝6，解得a ＝2，
所以y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
0，0≤x <8，
log 2
x ，8≤x ≤64，
110x ，x >64.
(2)易知x ≥8，当8≤x ≤64时，要使y ∈[4,10]，则4≤log 2x ≤10，解得16≤x ≤1 024，所以16≤x ≤64；当x >64时，要使y ∈[4,10]，则40≤x ≤100，所以64<x ≤100.综上所述，当年销售额x ∈[16,100](单位：万元)时，奖金y ∈[4,10](单位：万元)．
12．(2018·广东广州检测)某旅游景点预计2018年1月份起前x 个月的旅游人数的和
p (x )(单位：万人)与x 的关系近似为p (x )＝1
2
x (x ＋1)·(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知
第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的关系近似是q (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
35－2x ，x ∈N *
，且1≤x ≤6，160x
，x ∈N *
，且7≤x ≤12.
(1)写出2018年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：人)与x 的函数关系式； (2)试问2018年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？ 解析 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *
时，f (x )＝p (x )－p (x
－1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12
x (x －1)(41－2x )＝－3x 2
＋40x ，
经验证x ＝1时也满足此式，
所以f (x )＝－3x 2
＋40x (x ∈N *
，且1≤x ≤12)． (2)由题意知第x 个月的旅游消费总额为
g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－3x 2
＋40x －2x ，x ∈N *
，且1≤x ≤6，－480x ＋6 400，x ∈N *
，且7≤x ≤12.
①当1≤x ≤6，且x ∈N *
时，
g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，
令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝140
9(舍去)．
当1≤x ≤5时，g ′(x )≥0， 当5<x ≤6时，g ′(x )<0， ∴g (x )max ＝g (5)＝3 125.
②当7≤x ≤12，且x ∈N *
时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数， ∴g (x )max ＝g (7)＝3 040.
综上，2018年5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3 125万元．。