2022-2022数学新学案同步必修四人教A版(浙江专用版)讲义第一章三角函数1Word版含答案

2022-2022数学新学案同步必修四人教A版（浙江专用版）讲义第一章三角函数1Word版含答案
§1.1任意角和弧度制
1．1.1任意角
学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．
知识点一角的相关概念
思考1用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？答案角的构成要素有始边、顶点、终边．
思考2将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？答案有顺时针和逆时针两种旋转方向．
梳理(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB 分别是角α的始边和终边．
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型正角负角零角
知识点二象限角
思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与某轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？
定义按逆时针方向旋转形成的角按顺时针方向旋转形成的角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角答案终边可能落在坐标轴上或四个象限内．
梳理在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与某轴的非负半轴重合．象限角：终边在第几象限就是第几象限角；轴线角：终边落在坐标轴上的角．知识点三终边相同的角
思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
答案它们的终边相同．－660°＝60°－2某360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角．
思考2如何表示与60°终边相同的角？答案60°＋
k·360°(k∈Z)．梳理终边相同角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
1．经过1小时，时针转过30°.(某)提示因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°.2．终边与始边重合的角是零角．(某)提示终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．3．小于90°的角是锐角．(某)提示锐角是指大于0°且小于90°的角．4．钝角是第二象限角．(√)5．第二象限角是钝角．(某)提示第二象限角不一定是钝角．
类型一任意角概念的理解
例1(2022·牌头中学月考)下列命题正确的是()A．第一象限角是锐角B．钝角是第二象限角C．终边相同的角一定相等
D．不相等的角，它们终边必不相同考点任意角的概念
题点任意角的概念答案B
反思与感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小．跟踪训练1写出下列说法所表示的角．(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．考点任意角的概念题点任意角的概念
解(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.类型二象限角的判定
例2(1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是()A．①②B．①③C．②③D．②④考点象限角、轴线角题点象限角答案D
α
(2)已知α为第三象限角，则是第几象限角？
2考点象限角、轴线角题点象限角
解因为α为第三象限角，
所以k·360°＋180°
2当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，α
n·360°＋90°<
2α
所以终边在第二象限，
2
当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z，α
n·360°＋270°<
2
α
所以终边在第四象限．
2
α
综上可知，是第二象限角或第四象限角．
2反思与感悟(1)判断象限角的步骤①当0°≤α<360°时，直接写出结果；
②当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，
0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．
α
(2)一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐
n标轴把周角分成4n个区域，从某轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上α
1,2,3,4，，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，的
终边所落在的区域，如
nα
此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．
n
跟踪训练2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，
并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.考
点象限角、轴线角题点象限角
解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，
与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3某360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
类型三终边相同的角
命题角度1求与已知角终边相同的角
例3在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最
大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．考点终边相同的角
题点终边相同的角
解与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋
10030°(k∈Z)，
(1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求
的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．跟踪训练3写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．考点终边相同的角题点终边相同的角
解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，1111
∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.3636当k＝4时，β＝4某360°－1910°＝－470°；当k＝5时，β＝5某360°－1910°＝－110°；当k＝6时，β＝6某360°－1910°＝250°.
命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例4写出终边在直线y＝－3某上的角的集合．考点终边相同的角题点终边相同的角
解终边在y＝－3某(某<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－3某(某≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝－3某上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝－3某上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分某≥0和某<0两种情况讨论，最后再进行合并．。