江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷Word版含解析

江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷Word版含
解析
一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上）
1. 已知集合A={ - 1,1,2} , B={0, 1,2, 7},则集合A U B中元素的个数为 _
2. __________________________________________________ 设a, b€ R,=a+bi （i为虚数单位），则b的值为______________________________ .
2 2
3. _____________________________________________________ 在平面直角坐标系xOy中，双曲线——-」=1的离心率是_______________________ .
4. 现有三张识字卡片，分别写有中”、国”、梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成中国梦”的概率是_.
5. 如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为_.
〔幵始］
*
门
结東
6. 已知一组数据3, 6, 9, 8, 4,则该组数据的方差是
厂7*^黑
7. 已知实数x , y 满足彳
x+y>2
则］的取值范围是 8. 若函数f （x ） =2sin （2x+® （0v ©<三）的图象过点（0,體），贝U 函数f （x ） 在［0, n 上的单调减区间是
1 9•在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和•若a 1^ ,
且S 5=S 2+2，则q 的值为 ____ .
10.如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，已知
AB=AA 1=3,点P 在棱CC 1 上, 则三棱锥P -ABA 1的体积为 ______ .
11 •如图，已知正方形ABCD 的边长为2, BC 平行于x 轴，顶点A , B 和C 分 别在函数y i =3log a x ,y 2=2log a x 和y 3=log a x(a > 1)的图象上，则实数a 的值为 ______ yi
12 •已知对于任意的 x €(-*, 1)U( 5, +x ),都有 x 2- 2 (a -2) x+a > 0,
则实数a 的取值范围是—.
13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ： (x+2) 2+ (y - m )
2=3，若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB=2GO ，贝U 实数m 的取值范围是 14. 已知△ ABC 三个内角A , B, C 的对应边分别为a,
「•—取得最大值时，亠的值为
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)
4
5
15. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 在边 AB 上, AD=3DB ,cosA 花,cos / ACB=p BC=13.
(1) 求cosB 的值;
(2) 求CD 的长.
兀
b ,
c ,
且 C=
16•如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上(异于 点P , C ),平面ABE 与棱PD 交于点F .
(1)求证:AB // EF ；
(2)若平面PAD 丄平面ABCD ，求证：AE 丄EF . 分别为A ，B ，过右焦点F 的直线I 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方).
(1) 若QF=2FP ,求直线I 的方程；
(2) 设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1, k 2,是否存在常数 人使得k 1=Xk? 若 存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.
18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交
(F, G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已
AR 1
知圆的半径为1m 且笔》丄，设/ EOF H ，透光区域的面积为S.
(1) 求S 关于B 的函数关系式，并求出定义域；
17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ： 2 2
亍+牛=1的左、右顶点
(2) 根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大
时，求边AB 的长度.
19. 已知两个无穷数列｛an ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n , T n , a i =1, S 2=4，对任 意的 n € N *，都有 3S n +1=2S n +S n +2+a n .
(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；
(2) 若｛b n ｝为等差数列，对任意的n € N *，都有S n >T n .证明：a n >b n ；
20. 已知函数 f (x ) 少+xlnx (m >0), g (x ) =lnx - 2.
(1)当m=1时，求函数f (x )的单调区间;
(2) 设函数 h (x ) =f (x )- xg (x )-「，x >0.若函数 y=h (h (x ))的最 小值是斗，求m 的值；
(3) 若函数f (x ), g (x )的定义域都是［1, e ］，对于函数f (x )的图象上的 任意一点A ，在函数g (x )的图象上都存在一点B ，使得OA 丄OB ，其中e 是 自然对数的底数，O 为坐标原点，求m 的取值范围.
【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题 区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分 •解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲
21. 如图，圆O 的弦AB , MN 交于点C ,且A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上，若/ ACN=3 / ADB ，求/ ADB 的度数.
(3)若｛b n ｝为等比数列,
b i =a i , b 2=a 2，求满足 =a k (k € N *)的 n 值.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
兀I
23. 在极坐标系中，已知点 A （2, 丁），点B 在直线I : p cos+© sin 9 =0< 9 < 2n ）上，当线段AB 最短时，求点B 的极坐标.
D.选修4-5:不等式选讲
24. 已知 a, b ，c 为正实数，且 a 3+b 3+c 3=a 2b 2c 2，求证：a+b+c > 3「一 . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .［选
修4-4:坐标系与参数方程］ 25. 在平面直角坐标系xOy 中，点F （1，0），直线x= - 1与动直线y=n 的交点 为M ,线段MF 的中垂线与动直线y=n 的交点为P .
（I ）求点P 的轨迹r 的方程；
（U ）过动点M 作曲线r 的两条切线，切点分别为 A ，B ,求证：/ AMB 的大 小为定值.
V i X
i
J
<22.已知矩阵A= a 3： ，若A j =
.2 d .2 _4
B.选修4-2 :矩阵与变换
求矩阵A 的特征值.
[ 选修4-5 ：不等式选讲]
26. 已知集合U={1, 2,…，n} (n€ N*, n》2),对于集合U的两个非空子集A, B,若
A A B=?,则称(A, B)为集合U的一组互斥子集”记集合U的所有互斥子集”的组数为f (n)(视(A ,
B )与(B, A )为同一组互斥子集”.
(1)写出 f (2), f (3), f (4)的值；
(2)求f(n).
2017年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模
试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上）
1 •已知集合A={ - 1, 1, 2} , B={0, 1, 2, 7}，则集合A U B 中元素的个数为 5 .
【考点】1D :并集及其运算.
【分析】利用并集定义直接求解.
【解答】解：•••集合 A={ - 1, 1, 2} , B={0, 1, 2, 7},
••• A U B={ - 1, 0, 1, 2, 7},
集合A U B 中元素的个数为5.
故答案为：5.
故答案为：1. 2 2 ■— — =1的离心率是
4 3 【考点】KC :双曲线的简单性质. 2 •设 a,
b € R,'
，l-*i
=a+bi （i 为虚数单位），则b 的值为_1 【考
点】 A5:复数代数形式的乘除运算. 【分
析】
利用复数的运算法则、复数相等即可得出. 【解
答】
a+bi= (1H (1-0(1+13 2
.b=1.
2i =i. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 V7
=a+bi （i 为虚数单位）， 解：••• a, b €
R ,
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a2、b2的值，由双曲线的几何性质可得c 的值，进而由双曲线的离心率公式计算可得答案.
则 a 2=4, b 2=3,
则 c=.」一一， 则其离心率e=== J ；
a 2 故答案为：千.
4 •现有三张识字卡片，分别写有 中”、国”、梦”这三个字•将这三张卡片随 机排序，则能组成 中国梦”的概率是二•
--
【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】将这三张卡片随机排序，基本事件总数为： n =A>6,能组成 中国梦 包含的基本事件个数m=1，由此能求出能组成 中国梦”的概率.
【解答】解：现有三张识字卡片，分别写有 中”、国”、梦”这三个字. 将这三张卡片随机排序，基本事件总数为： n=； =6， 能组成 中国梦”包含的基本事件个数 m=1， •••能组成 中国梦”的概率p 亠
故答案为：士.
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为 ?
2 X
4 3
5•如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值为 6
=1,
【考点】EF :程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，即可得出 结论.
【解答】解：分析流程图所示的顺序知： k=2, 22 - 14+10=0,
不满足条件k 2- 7k+10>0,执行循环体； k=3, 32 - 21+10=-2,
不满足条件k 2- 7k+10>0,执行循环体； k=4, 42 - 28+10=- 2,
不满足条件k 2- 7k+10>0,执行循环体； k=5, 52 - 35+10=0,
不满足条件k 2- 7k+10>0,执行循环体； k=6, 62 - 42+10=4,
满足条件k 2- 7k+10>0,退出循环，输出k=6. 故答案为：6.
6.已知一组数据3, 6, 9, 8, 4,则该组数据的方差是 5.2 .
【考点】BC ：极差、方差与标准差.
【分析】利用定义求这组数据的平均数和方差即可. 【解答】解：数据3, 6, 9, 8, 4的平均数为：
n 11
k =「x( 3+6+9+8+4) =6,
方差为：
s 2#x ［ (3 -6) 2+ (6 -6) 2+ (9 -6) 2+ (8 -6) 2+ (4 - 6) 2］孝 =5.2.
故答案为：5.2.
【考点】7C ：简单线性规划.
7.已知实数x , y 满足*芷｛
1
，则］的取值范围是
【分析】由约束条件作出可行域，再由 的几何意义，即可行域内的动点与定点
O (0, 0)连线的斜率求解. O (0, 0)连线的斜率,
【解答】解：由约束条件彳尺3作出可行域如图, 卫十丫＞2
联立方程组求得A (3,- 1), B (3, 2), 又「厂•-, •••号的取值范围是［弓 寺，自- 故答案为：［ ，刼- 8•若函数 f (x ) =2sin (2x+©) (0v
©<— 7 JU )的图象过点(0,回,贝U
函数f (X ) 兀 巨’12
【考点】H2：正弦函数的图象. 【分析】根据函数f (x )图象过点(0,.；)求出©的值，写出f (x )解析式, 再根据正弦函数的图象与性质求出f (x )在［0, n
上的单调减区间. 在［0, n
上的单调减区间是_［ 1【或( )也正确】 兀
【解答】解：函数f (X ) =2sin (2x+
©) (O v ©v ——)的图象过点(0,
.；), f (0) =2sin ©二：, sin 7
又••• O v ©V
兀 .©三丁,
令k=o ,得函数f （x ）在［o , n 上的单调减区间是［—,］,
1
9. 在公比为q 且各项均为正数的等比数列｛a n ｝中，S n 为｛a n ｝的前n 项和.若a i =,
q
且S 5=S 2+2，则q 的值为2— 【考点】89:等比数列的前n 项和.
【分析】由 a 1= 2，且 S 5=S 2+2, q >0.可得 a 3+a 4+a 5=a
Q
化简解出即可得出.
z
2
as+a 4+a5^^q
(1+q+q ) =2,
/. q 2+q - 1=0, 解得q= ' 故答案为:
10. 如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，已知 AB=AA 1=3,点P 在棱CC 1上, 则三棱锥P - ABA 1的体积为——.
兀
~2 兀
+2k nC 2x 十
解得
/. f (x ) =2sin (2x
7
3兀
3
+2k nC 2x <-- 6 F 兀 +k n< x C
— +2k n, k € Z ,
+2k n, k €
Z ,
兀
12
+k n, k €
Z ;
故答案为：［
12 ' 12 ］【或（ 12 ' 12
）也正确】.
:_
(1 +q+q 2) =2,代入
【解答】解：I ai
,且 S 5=S 2+2, q >0.
1的距离即为△ ABC
的高，由此能求出三棱
锥P - ABA i
【解答】解：•••在正三棱柱ABC -
A i
B i
C i 中，AB=AA i =3,点P 在棱CC i 上, •••点P 到平面ABAi 的距离即为△ ABC
的高，即为h=：7〔一 ：,
c
1 9
三棱锥P - ABA i 的体积为：V=i 一.「“ = ；
•
故答案为：二.
ii .如图，已知正方形ABCD 的边长为2, BC 平行于x 轴，顶点A , B 和C 分 别在函数y i =3log a x , y 2=2log a x 和y 3=log a x (a >i )的图象上，则实数 a 的值为
y
o
仁
7
【考点】4N ：对数函数的图象与性质.
【分析】设B (x , 2log a x ),利用BC 平行于x 轴得出C (x 2, 2log a x ),利用AB 垂直于x 轴得出A (x , 3log a x ),则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示 为log a x=x 2-x=2 ,求出x ,再求a 即可..
【解答】解：设 B(x , 2log a x ), ■/ BC 平行于 x 轴,• C(x', 2log a x )即 log a x ' =2l (a g ,
的体积.
棱台的体积.
:.x' =2x
二正方形ABCD 边长=| BC| =x2- x=2,解得x=2.
由已知，AB垂直于x轴，二A (x, 3log a x),正方形ABCD边长=| AB | =3log a x
—2log a x=log a x=2，即log a2=2,^ a二.:,
故答案为：一.
12. 已知对于任意的x €(-x, 1)U( 5, +X),都有x2—2 (a—2) x+a> 0, 则实数a的取值范围是(1, 5].
【考点】3W：二次函数的性质.
【分析】对△进行讨论，利用二次函数的性质列不等式解出.
【解答】解：△ =4 (a-2) 2- 4&=4孑-20a+16=4 (a- 1) (a- 4).
(1)若Av O,即1v a v4时，x2- 2 (a-2) x+a>0在R上恒成立，符合题意；
(2)若厶=0,即a=1或a=4时，方程x2- 2 (a- 2) x+a>0的解为x工a- 2, 显然当a=1时，不符合题意，当a=4时，符合题意；
(3)当厶> 0,即a v 1 或a>4 时，t x2- 2 (a- 2) x+a>0 在(—x, 1) U (5, +x)恒成立，
I 25-10(呂-刃+丑>0,解得3v a<5,
J<a-2<5
又a v 1 或a>4,. 4v a<5.
综上，a的范围是(1, 5].
故答案为(1, 5].
13. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x+2) 2+ (y —m) 2=3，若圆C存在以G 为中点的弦AB，且AB=2GO，贝U实数m的取值范围是?.
【考点】J9:直线与圆的位置关系.
【分析】求出G的轨迹方程，得两圆公共弦，由题意，圆心(- 2, m)到直线
L 2 7
v二，即可求出实数m的取值范围. 的距离d=
【解答】解：设G (x, y),则
••• AB=2G0 ,
--2一 .，一- - ,；-i . =2 , ■,■ ■-,化简可得x2+y2+2x -
2
两圆方程相减可得2x - my^-m 2
^-=0
故答案为？.
兀
14. 已知△ ABC 三个内角A , B, C 的对应边分别为a, b , c ,且C 〒，c=2.当 厂•「取得最大值时，丄的值为 2+.「；. 【考点】9V ：向量在几何中的应用.
【分析】根据正弦定理用A 表示出b ,代入「=2bcosA ，根据三角恒等变换 化简得出
当寸爪;取最大值时A 的值，再计算sinA , sinB 得出答案.
2兀 ••• B =—
3
■-A )
=2cos A+希sinA ,
「•A -
- =bccosA=2bcosA=4coWA+ 一 sin2A
2
由题意，圆心（-2, m ）到直线的距离
兀
【解答】解：：C=
由正弦定理得 sinB "sinC
V3 + ” cos2A ) +2 兀
in (2A 忖)+2,
•/ A+B= §，二 0< A <
兀
冗
3
2
2兀
亍
兀
-- * --- ►
-厂时，、-取得最大值,
此时，B= 兀
7K 12
12
b
= - sin (
< :；,无解,
2TC
即A=
=2+2cos2A+ 一sin2A -1
=-L sin2A
4
=s
【分析】(1 )在厶ABC 中，求出sinA=J]—匚口 J 技二瓦•, sin /ACB=】. 可得 cosB= _ cos (A+/ACB ) =s in As in / ACB _ cosAcosB ;
(2)在厶ABC 中，由正弦定理得，AB 二子一sin / ACB .
在厶BCD 中，由余弦定理得，CD= ；…-:•…
4
【解答】解：(1)在厶ABC 中，cosA 亍，A €(0，n)，
所以 si nA 二！一：一二 二二.
112
同理可得，si n / ACB 二苕.
所以 cosB 二coq n-( A + / ACB )[二-cos (A + / ACB ) sinA=sin 兀 12 兀 兀 3 '4 sinB=sin ( 平啤=2巫 a ginA Vi-TI 故答案为2+ ::. 1 2 X 2 4 二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 4 5 15.如图，在△ ABC 中，已知点 D 在边 AB 上, AD=3DB ,cosA 話,cos / ACB=p BC=13. ) =sin ( V2_ 2 4
=si nAsi n / ACB —cosAcos/ ACB
二一；
二・
16.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上(异于 点P , C )，平面ABE 与棱PD 交于点F .
(1) 求证:AB // EF ；
(2) 若平面PAD 丄平面ABCD ，求证：AE 丄EF .
【考点】LZ :平面与平面垂直的性质.
【分析】(1)推导出AB // CD ,从而AB //平面PDC ，由此能证明AB // EF .
(2)推导出AB 丄AD ，从而AB 丄平面PAD ，进而AB 丄AF ，由AB // EF ,能证 明AF 丄EF .
【解答】证明：(1)因为ABCD 是矩形，所以AB // CD .
又因为AB?平面PDC ，CD?平面PDC ，
所以AB //平面PDC .
又因为AB?平面ABEF ，平面 ABEF G 平面PDC=EF ， BC sinA
(2)在厶ABC 中，由正弦定理得， 又 AD=3DB ，所以 DB —" -.
在厶BCD 中，由余弦定理得，CD=n 「—
AB= sin / ACB=
所以AB // EF.
(2)因为ABCD是矩形，所以AB丄AD .
又因为平面 PAD 丄平面ABCD ，平面PAD G 平面ABCD=AD , AB?平面ABCD ，所以AB 丄平面PAD .
又AF?平面PAD ，所以AB 丄AF .
又由(1)知AB // EF ,所以AF 丄EF .
分别为A ，B ，过右焦点F 的直线I 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方).
(1) 若QF=2FP ,求直线I 的方程；
(2) 设直线AP ，BQ 的斜率分别为k i , k 2,是否存在常数 入，使得k i =Xk? 若 【分析】(1)由椭圆方程求出a, b ，c ，可得F 的坐标，设P (x i ，y i )，Q (x 2, y 2)，直线I 的方程为x=my+1，代入椭圆方程，求得 P , Q 的纵坐标，再由向量 共线的坐标表示，可得 m 的方程，解方程可得m ,进而得到直线I 的方程；
(2)运用韦达定理可得 y 什y 2, y 1y 2, my 1y 2，由 A (- 2, 0), B (2, 0), P (X 1, y 1), Q (X 2, y 2), x 1=my 1+1, x 2=my 2+1,
运用直线的斜率公式，化简整理计算可得常数 入的值，即可判断存在. 17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C
： 2 =1的左、右顶点
【考点】KL :直线与椭圆的位置关系.
【解答】解：(1)因为a=4, b2=3，所以c= '. i ■ =1, 所以F的坐标为(1, 0),
设 P (x i , y i ), Q (X 2, y 2),直线 l 的方程为 x=my+1,
=1 ,得(4+3m 2) y 2+6my — 9=0,
i8.某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交
（F , G 为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已
AR 1
知圆的半径为1m 且等》丄,设/ EOF H ,透光区域的面积为S.
（1）求S 关于B 的函数关系式,并求出定义域;
则y i = ,y 2= 4+3m £ 若 QF=2FP,即 一 =2「,
4+3 m 2 -3m-6v 1+n)2
1 e 丁如6寸i+£ 4+3.rn Z I 2
03m 2 解得
m=
故直线I 的方程为— 2y -.皆0.
(2) 6m 由(° 知，yi +y2=-「： , yiy2=-
g
4+3 m 所以 my i y 2=—
所以 =二(y i +y 2), (—2 , 0), B (2 , 0), P (x i , y i ), Q (X 2 , y 2), x i =my i +i , X 2=my 2+i , k l
% 训叫以呵申敖珥十叫）十知
代入椭圆方程
则 k 2
.
&， 2）， S=4S\OFH +4S 阴影 OEF =2S in A B ••• sin £ 0 co+4X 丄 0 =sin2+0 0; 7T —，■: ）； ••• S 关于0的函数关系式为 S=sin2 +2 0, 0€ [+，—
）
； C
(2)由 S 矩形=AD?AB=2 x 2sin 0 =4sin 0
2sin cos 9 +2 9 cos B
4sin 9 =2 T 2sin 9
r i d cos ~2~ L •血 -y sin
+ 蚯1"，氏[ 2sin 2 9
（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好•当该比值最大 【考点】HN :在实际问题中建立三角函数模型. 【分析】（1）过点0作0H 丄FG 于H ，写出透光面积S 关于B 的解析式S ,并 求出B 的取值范围； （2）计算透光区域与矩形窗面的面积比值，构造函数，利用导数判断函数的单 调性， 求出比值最大时对应边 AB 的长度. 【解答】解：（1）过点0作0H 丄FG 于H ,•••/OFH= / EOF=0； 又 OH=OFsi rt) =sin 0 FH=OFcosB =cos ， 时，求边AB 的长度. 兀
si FL & -B cus 。

- min 」9
2sin 2 9
cos
2sin 2 8
71 TT ：1 .
—w 9<-—,••—S in2
士sin2 0- < 0, • f '( 9)< 0,
• f ( 0)在0€ ［半，¥)上是单调减函数；
6 z
•••当0=-时f ( 0)取得最大值为—4 ,
此时 AB=2sin 0 =1( m );
• S 关于0的函数为S=sin2 +2 0, 0€ ［晋,—)；所求AB 的长度为1m . 19•已知两个无穷数列｛刘和｛b n ｝的前n 项和分别为S n , T n , a i =1, S 2=4，对任 意
的 n € N *，都有 3S n +1=2S n +S n +2+a n .
求数列｛a n ｝的通项公式；
若｛b n ｝为等差数列，对任意的n € N *，都有S n > T n .证明：a n > b n ；
【考点】8E ：数列的求和；8H :数列递推式.
【分析】(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
(2)方法一、设数列｛b n ｝的公差为d ,求出S n , T n .由恒成立思想可得b 1 < 1, 求出a n - b n ,判断符号即可得证；
方法二、运用反证法证明，设｛b n ｝的公差为d ,假设存在自然数n o 》2,使得a.・ w b w ，推理可得d >2,作差T n - S n ,推出大于0,即可得证;
(1) (2)
(3)
若｛b n ｝为等比数列，b 1=a 1, b 2=a 2，求满足
=a k (k € N *)的 n 值.
a n +2T n (3)
运用等差数列和等比数列的求和公式，求得 S n , T n ,化简 ，推出 小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性，即可得到所求值.
【解答】 解：(1)由 3S n +1=2S n +S n +2+ai ，得 2 ( S n +1 — S n ) =S n +2 - S n +1+Oi , 即 2&+i =a n +2+ai ，所以 a^+2 — an +i =a n +i — c n .
由 a i =1， S 2=4，可知 a 2=3.
所以数列｛an ｝是以1为首项，2为公差的等差数列.
故｛an ｝的通项公式为 a n =1+2 (n - 1) =2n -1，n € N* .
(2)证法一：设数列｛b n ｝的公差为d ，
则 T n =nb 1+丄n (n -1) d ，
由(1)知,S n =±n (1+2n - 1) =n 2.
因为 S n >T n ,所以 n 2>nb 1峙n (n - 1) d ,
即(2 - d ) n+d - 2b 1>0 恒成立，
<d<2
眄 Vd|，
又由 S 1> T 1，得 b 1< 1,
所以 a n - b n =2n — 1 - b 1 -(n - 1) d= (2 - d ) n+d - 1 - b 1> 2 - d+d - 1 - b 1=1 - b 1 > 0.
所以a n > b n ,得证.
证法二：设｛b n ｝的公差为d ,假设存在自然数n o >2,使得a 珥< b 珥， 则 a 1+2 (n o - 1)< b 1+ (n o - 1) d , 即卩 a 1 - b 1<( n o - 1) (d - 2), 因为a 1>b 1,所以d >2.
所以 T n - S n =nb 1+丄n (n - 1) d - n 2=(丄d - 1) n 2+ (b 1 -丄d ) n , 因为-d - 1> 0,所以存在N 珥€ N*，当n >N 術时，T n - S n > 0恒成立. 这与 对任意的n € N *，都有S n >T n”矛盾！ 所以a n > b n ,得证.
(3)由(1)知，S n =n 2.因为｛b n ｝为等比数列，
，即 所以
且 b i =1, b 2=3.
所以｛b n ｝是以1为首项，3为公比的等比数列.
9 6 rT-2 口十 2
3^}+2112 因为n € N*，所以6n 2 -2n+2>0,所以 且 J2T 1 2
而 a k =2k - 1，所以 -- -- =1，即 3n - n 2+n -仁0 (*).
当n=1，2时，(*)式成立；
当 n 》2 时，设 f (n ) =3n -
1 - n 2+n - 1， 则 f (n+1)- f (n ) =3n -(n+1) 2+n —( 3n -1 - n 2+n - 1) =
2 (3n -
1 - n )> 0, 所以 0=f ( 2)V f (3)v …V f (n )<•••,
故满足条件的n 的值为1和2.
20.已知函数 f (x ) 三+xlnx (m >0)，g (x ) =lnx - 2.
(1) 当m=1时，求函数f (x )的单调区间；
(2) 设函数 h (x ) =f (x )- xg (x )-西，x >0.若函数 y=h (h (x ))的最 小值是「，求m 的值；
(3) 若函数f (x )，g (x )的定义域都是［1, e ］，对于函数f (x )的图象上的 任意一点A ，在函数g (x )的图象上都存在一点B ，使得OA 丄OB ，其中e 是 自然对数的底数，O 为坐标原点，求m 的取值范围.
【考点】6E :禾U 用导数求闭区间上函数的最值； 6B :利用导数研究函数的单调 性.
【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即 可；
V 3.
所以 b n =3n 1, T n =」・(3n - 1). 则
(2)求出h (x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出h (x)的最小值，从而求出m的值即可；
2
(3)根据0A 和OB 的关系，冋题转化为 ——-x 2lnx < m < x 2 (e- Inx )在［1, e ］ 2 上恒成立，设p (x ) =_ - x 2Inx ，根据函数的单调性求出 m > p (1)=-，设q (x ) =x 2 (e - Inx ),根据函数的单调性求出 m w q (1),从而求出m 的范围即可. 【解答】解：(1)当 m=1 时，f (x )丄+xlnx , f'(x ) 吕"+lnx+1, x x 因为f'( x )在(0，+x)上单调增，且f 气1) =0， 所以当 x > 1 时，f'(x )>0；当 0v x v 1 时，f'(x )v 0， 所以函数f (x )的单调增区间是(1, +x). 9 2 (2) h (x )』+2x-J^，贝U h' (x ) = h 「 乂 x 所以［h ( x ) ］ min =h 2(2^0+2 (血-1) Q
即 17m -26一 ：+9=0,解得一 =1 或.；
综上所述，m 的值为1. (3)由题意知，K OA =V+Inx , K OB = 当 0v x v ［时，h' (x )v 0,函数 h (x )在(0,) 当x > 时 V2 时，h ' (x ) >0,函数 h (x )在(”丄, 上单调减; +X )上单调增. ①当.「(2m - 1)> ,函数y=h (h (x ))的最小值 h (2^m-Ml ) W2 ［ (舍)，所以m=1；
②当0v 巫(2石-1)v 函数y=h (h (x))的最小值h m v 二时，
(I ) = 一(2 - 1)
lns-2
，令 h ' (x ) =0,得 ，即m Hi -
， ，解得一：=二(舍),
所以p (x )在［1, e ］上单调减，所以m > p (1)=-,
\2
设 q (x ) =x 2 (e - Inx ),
则 q' (x ) =x (2e- 1 - 2lnx ) >x (2e - 1 - 2lne )> 0 在［1, e ］上恒成立， 所以q (x )在［1, e ］上单调增，所以m < q (1) =e ,
综上所述，m 的取值范围为［丄,e ］.
【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题 区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分 •解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲
21 •如图，圆0的弦AB , MN 交于点C ,且A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上，若/ ACN=3 / ADB ，求/ ADB 的度数.
【考点】NB ：弦切角.
【分析】连结AN , DN •利用圆周角定理，结合/ ACN=3 / ADB ，求/ ADB 的 度数.
【解答】解：连结AN , DN .
因为A 为弧MN 的中点，所以/ ANM= / ADN .
而/ NAB= / NDB ,
所以/ ANM +Z NAB= /
ADN +Z NDB ,
即/ BCN= / ADB .
又因为/ ACN=3 / ADB ,
所以/ ACN+Z BCN=3 / ADB+Z ADB=180 ,
考虑函数y=
,因为y ' 在［1, e ］上恒成立,
在［1, e ］上单调增，故K OB € ［ - 2,- 所以函数y=
故/ ADB=45 .
B. 选修4-2 :矩阵与变换
【分析】利用矩阵的乘法，求出a , d ,利用矩阵A 的特征多项式为0,求出矩
阵A 的特征值.
（廿1）, 令f （ R =0,解得矩阵
A 的特征值为入=4或- 1. C. 选修4-4:坐标系与参数方程
一 兀I
23. 在极坐标系中，已知点 A （2,可），点B 在直线I : p cos*-（p sin 0 =0< 0 < 2n ）上，当线段AB 最短时，求点B 的极坐标.
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】点A （2, —-）的直角坐标为（0, 2）,直线I 的直角坐标方程为x+y=0. AB 最短时，点B 为直线x -y+2=0与直线I 的交点，求出交点，进而得出.
【解答】解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，
则点A （2, -一）的直角坐标为（0, 2）,直线I 的直角坐标方程为x+y=0. AB 最短时，点B 为直线x -y+2=0与直线I 的交点, 联立二\得产「1,所以点B 的直角坐8 4, 【考点】OV :特征值与特征向量的计算.
22.已知矩阵A= a 3
.2 d ,求矩阵A 的特征值.
所以」 .2+2d=4
，解得 a=2, d=1. 所以矩阵A 的特征多项式为f （ R =
=（入—2）（入—1）— 6=（入—4） 【解答】解：因为A a+6 2+2d
标为(—1,1). 所以点B的极坐标为(近* =》)•
D. 选修4-5:不等式选讲
24. 已知a, b，c 为正实数，且a3+b3+c3=a2b2c2，求证:a+b+c> 3 :.
【考点】R6：不等式的证明.
【分析】利用基本不等式的性质进行证明.
【解答】证明：：s P+b3+c3=a2b2c2, a3+b3+c3> 3abc,
二a^b2c2>3abc,.°. abc>3,
••• a+b+c> 3；——> 3；-.
当且仅当a=b=c==?介时，取“=”
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4:坐标系与参数方程］
25. 在平面直角坐标系xOy中，点F (1, 0),直线x= - 1与动直线y=n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P.
(I)求点P的轨迹r的方程；
(U)过动点M作曲线r的两条切线，切点分别为 A , B,求证：/ AMB的大小为定值.
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】(I )连接PF,运用中垂线的性质可得| MP|=| PF|，再由抛物线的定义可得点P的轨迹方程；
(U)求得M (- 1 , n)，过点M的切线斜率存在，设为k,则切线方程为：y -n=k (x+1),联立抛物线的方程，消去y，运用相切的条件：判别式为0,再由韦达定理，结合两直
线垂直的条件：斜率之积为- 1,即可得证.
【解答】解：(I)据题意，MP丄直线x=- 1，
•••| MP|为点P到直线x= - 1的距离，
连接PF，v P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点，
••• | MP| =| PF|，
••• P点的轨迹是抛物线，焦点为F (1，0)，准线为直线x= - 1，
•曲线r的方程为y2=4x；
(U)证明：据题意，M (- 1，n)，过点M的切线斜率存在，设为k，
则切线方程为：y-n=k (x+1)，
I'
联立抛物线方程'■
可得ky2- 4y+4k+4n=0，
由直线和抛物线相切，
可得△ =16 - 4k (4k+4n) =0，
即k2+kn —1=0， (*)
=n2+4>0，二方程(*)存在两个不等实根，设为k1，k2，
T k1=k AM，k2=k BM，
由方程(*)可知,k AM?k BM=k1?k2= - 1，
•切线AM丄BM，•/ AMB=90，结论得证.
［选修4-5：不等式选讲］
26. 已知集合U={1, 2，…，n} (n€ N*，n A2)，对于集合U的两个非空子集A, B,若A n B二？，则称(A, B)为集合U的一组互斥子集”记集合U的所有互斥子集”的组数为f (n)(视(A , B )与(B, A )为同一组互斥子集”.
(1)写出 f (2), f (3), f (4)的值；
(2)求 f (n).
【考点】1H：交、并、补集的混合运算.
【分析】(1)直接由互斥子集”的概念求得f (2), f (3), f (4)的值；
(2)由题意，任意一个元素只能在集合A , B, C=C u (A U B)之一中，求出这n个元素在集合A, B, C中的个数，再求出A、B分别为空集的种数，则f (n) 可求.
【解答】解：(1) f (2) =1, f (3) =6, f (4) =25；
(2)任意一个元素只能在集合 A , B, C=C u (A U B)之一中，
则这n个元素在集合A, B, C中，共有3n种；其中A为空集的种数为2n, B为空集的种数为2n, ••• A, B均为非空子集的种数为3n-2n+1+1, 又(A, B)与(B, A)为一组互斥子集” 二 f (n)=二(屮-严'十1).
2017年5月24日
x
所以K OA€ ［〒，e］，即丄w…+lnx w e在［1, e］上恒成立，
-x2lnx w m w x2(e- Inx)在［1, e］上恒成立，
2
设p (x)=二--x2lnx，则p'(x) =- 2lnx w0 在［1, e］上恒成立,。