《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT(第2课时)教学课件

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
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情境引入
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？ 当b2－4ac≥0时，
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac<0时，方程无实数根.
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2 . 求出下列一元二次方程的根： （1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0 . 解：（1）x1=0, x2=-2.
平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.
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(3)由
y=2x+n, y=-x2-4x-2,
消去y得到x2+6x+n+2=0,
由题意Δ≥0,
∴36-4n-8≥0,∴n≤7,
∵n≥m,m=1,
∴1≤n≤7,
令y′=n2-4n=(n-2)2-4,
∴当n=2时,y′的值最小,最小值为-4,
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3.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0）， (-3m,0)(m≠0). （1）证明:4c=3b2. （2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
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解 :（1）证明：依题意知m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两个根． 根据一元二次方程根与系数的关系， 得m+(-3m)=-b , m·(-3m)=-c , b=2m , c=3m2 , ∴4c=12m2=3b2 .
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【跟踪训练】 1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( C )
A.无交点
B.只有一个交点
C.有两个交点 D.不能确定 y
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二
次方程ax2+bx+c=0的解是 x1=0，x2=5.
0
5x
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地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么
h/
（1）h与t 的关系式是什么？
m
（2）小球经过多少秒后落地？
t/s
图象知函数过点（0，0）与点（8，0） 代入关系式h=-5t2+v0t+h0得h0=0, 由已知可知v0=40， 得h=-5t2+40t.
（2）由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0， 得t=0s（舍去）或t=8s.
当n=7时,y′的值最大,最大值为21,
∴n2-4n的最大值为21,最小值为-4.
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点拨 : 二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0之间的关系： 1.b2-4ac>0⇔抛物线与x轴有2个交点⇔方程有两个不相等的实数根. 2.b2-4ac=0⇔抛物线与x轴有1个交点⇔方程有两个相等的实数根. 3.b2-4ac<0⇔抛物线与x轴没有交点⇔方程没有实数根.
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解:（1）每个图象与x轴的交点个数分别是2个，1个，0个. （2）①x1=0, x2=-2,两个不相等实数根. ②x1=x2=1,两个相等实数根. ③没有实数根. （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐 标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
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∴二次函数的最小值为-4.
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x10的图象；
(2). 作直线y=3；
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的 横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之 间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长 再十等分,借助计算器确定其近似值).
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解：（1）由题意得
-1-b+c=0, c=3,
解得
b=2, c=3,
故所求解析式为y=-x2+2x+3 .
（2）令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得x1=-1, x2=3,
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3 , 0) ,
∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围 是－1＜x＜3．
解: 在y=-x2+2x+3中，当x=0时y=3， ∴ OA=3m
而当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3 ∴水池的半径至少为3m.
第二章 二次函数
二次函数与一元二次方程
第1课时
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教学目标
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间 的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系， 理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.
课堂练习
二次函数y=-2x2+4x+1的图象如图所示， 求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根.
方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈0.2,x2≈2.2.
拓展应用
如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装 了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向 外喷水，水流在各个方向上沿形状相同 的抛物线路径落下，按如图所示的直角 坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距 离x(m)之间的关系式是 y=-x2+2x+3(x﹥0)。柱子OA的高度是多 少米？若不计其它因素，水池的半径至 少为多少米，才能使喷出的水流不至于 落在池外？
(4).确定方程x2+2x-10=3的解;
方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
课堂小结
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程 ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？
①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象； ②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标； ③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
（2）x1=x2=1. （3）没有实数根.
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我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t (s)的关系可以近似
地用公式h=－5t2+v0t +h0 表示，其中h0 (m)是抛出点距地面的高度，v0 (m/s) 是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离
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x 1
1 16
（-2，0）
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课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0之间的关系： 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是 一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 2.b2-4ac>0⇔抛物线与x轴有2个交点⇔方程有两个不相等的实数根. 3.b2-4ac=0⇔抛物线与x轴有1个交点⇔方程有两个相等的实数根. 4.b2-4ac<0⇔抛物线与x轴没有交点⇔方程没有实数根.
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思路点拨： (1)由题意Δ≥0,列出不等式,解不等式即可. (2)画出翻折、平移后的图象,根据顶点坐标即可写出函数的解析式. (3)首先确定n的取值范围,利用二次函数的性质即可解决问题.
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x
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(2)由(1)可知y=x2-2x+1=(x-1)2, 图象如图所示:
y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是
。
（-2，0）和（3，0）
2 、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）c
A 两个交点 B 一个交点
C 没有交点 D 画出图象后才能说明
3、不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标。 抛物线y=x2-6x+4与x轴交点坐标为： （-2，0）和（3，0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x 轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的 判别式Δ=b2-4ac
有两个交点 有一个交点 没有交点
两个相异的实根 两个相等的实根
没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
课前训练
1 、若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数
例题：已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+1 (m2+1)=0有实数根.
2
(1)求m的值. (2)先作y=x2-(m+1)x+1 (m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后
2
将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写
出变化后图象的解析式.
(3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点 时,求n2-4n的最大值和最小值.
(4).确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根 为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
解法2
(1).原方程可变形为x2+2x-13=0； (2).作二次函数y=x2+2x-13的图象；
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的 横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和 2.7
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二次函数①y=x2+2x，②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的图
象如图所示. y
y
y
-3 -2 -1 O 1 x
-1
-1 O 1 2 3 x
O1 2 3 x
-1
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（1）每个图象与x轴有几个交点？ （2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个实数根？ 用判别式验证一下，一元二次方程x2-2x+2=0有实数根吗？ （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标与一元二次方 程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
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1. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A， B均在抛物线上，
且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（D ）
A．（2，3）
B．（3，2）
y x=2
C．（3，3）
D．（4，3）
A
B
O
x
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课堂小测
2.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标 为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）． （1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式. （2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
合作探究
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x10=0的根吗？
如图是函数 y=x2+2x－10的图象
合作探究
(1).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的 横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间
分别约为-4.3和2.3
第二章 二次函数
二次函数与一元二次方程
第2课时
学习目标
1、利用二次函数的图象求一元二次方程近似解.（重点） 2、经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次 函数函数图象求一元二次方程解的方法.（难点）
知识回顾 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(2).确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根 为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
小组交流
用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果
你认为利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的时候，应 该注意什么？
做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的 近似根.