2017-2018学年数学北师大版必修4练习：6 余弦函数的图像与性质 含解析 精品
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C．0≤m≤2 D．－2≤m≤0
答案：C
解析：由于－1≤cosx≤1，即－1≤1－m≤1，即0≤m≤2.
4．函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成的封闭图形的面积是()
A．4 B．8
C．2π D．4π
答案：D
解析：函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像与直线y＝2围成的封闭图形如右图中阴影部分所示．
12．(1)求函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈ 的值域；
(2)已知函数y＝acos ＋3，x∈ 的最大值为4，求实数a的值．
解：(1)y＝3cos2x－4cosx＋1＝3 2－ .
∵x∈ ，∴cosx∈ .
从而当cosx＝－ ，即x＝ 时，ymax＝ ；
当cosx＝ ，即x＝ 时，ymin＝－ .
∴函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈ 的值域为 .
(2)∵x∈ ，∴2x＋ ∈ ，
∴－1≤cos ≤ .
若a>0，则当cos ＝ 时，y取得最大值 a＋3，
∴ a＋3＝4，∴a＝2.
若a<0，则当cos ＝－1时，y取得最大值－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1.
综上，实数a的值为2或－1.
6余弦函数的图像与性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数y＝1＋cosx的图像()
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线x＝ 对称
答案：B
解析：y＝1＋cosx是偶函数，其图像关于y轴对称．
11．已知函数f(x)＝2cos ，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f ＝ ，α∈ ，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－ .
(2)∵f ＝2cos ＝－2sinα＝ ，
∴sinα＝－
∵α∈＝ ，
∴cosα＝ ＝
∴f(2α)＝2cos
＝ cos2α＋sin2α＝ (2cos2α－1)＋2sinαcosα＝ (2× －1)＋2× × ＝ .
6．函数y＝－xcosx的图像大致是图中的()
答案：D
解析：令f(x)＝－xcosx，则f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝xcosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以A、C排除，又当x∈ 时，f(x)＜0，故选D.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．三个数cos110°，cos80°，－cos50°的大小关系为__________．
2．若函数f(x)＝2cosx，x∈[0， ]，则函数f(x)的最小值是()
A．－ B．－1
C．－2 D．－
答案：C
解析：函数f(x)＝2cosx，∵x∈[0， ]，∴cosx∈[－1,1]，∴2cosx∈[－2,2]，∴函数f(x)的最小值为－2.
3．使cosx＝1－m有意义的m的值为()
A．m≥0 B．m≤0
利用图像的对称性可知该封闭图形的面积等于矩形OABC的面积．
又OA＝2，OC＝2π，∴S封闭图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
5．函数y＝1＋cosx(x∈[0,2π])的图像与直线y＝ 的交点个数为()
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
解析：由函数y＝1＋cosx(x∈[0,2π])的图像，可知直线y＝ 与函数y＝1＋cosx的图像有2个交点，故选C.
答案：cos80°＞cos110°＞－cos50°
解析：－cos50°＝cos(180°－50°)＝cos130°，
∵函数y＝cosx在[0，π]上为减函数，∴cos80°＞cos110°＞cos130°，即cos80°＞cos110°＞－cos50°.
8．设0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围为________．
答案：
解析：由题意，知sinx－cosx≥0，即]与y＝cosx，x∈[0,2π]的图像，如图所示：
观察图像，可知x∈ .
9．函数y＝log (1＋λcosx)的最小值是－2，则λ的值是________．
答案：±3
解析：由题意，知1＋λcosx的最大值为4，当λ>0时，1＋λ＝4，λ＝3；当λ<0时，1－λ＝4，λ＝－3.∴λ＝±3.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．画出函数y＝ cosx＋ |cosx|的图像，并根据图像讨论其性质.
解：y＝ cosx＋ |cosx|＝ ，利用五点法画出其图像，如图：
由图像可知函数具有以下性质：定义域：R；值域：[0,1];奇偶性：偶函数；周期性：最小正周期为2π的周期函数；单调性：在区间[2kπ，2kπ＋ ](k∈Z)上是递减的；在区间[2kπ－ ，2kπ](k∈Z)上是递增的．
答案：C
解析：由于－1≤cosx≤1，即－1≤1－m≤1，即0≤m≤2.
4．函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成的封闭图形的面积是()
A．4 B．8
C．2π D．4π
答案：D
解析：函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像与直线y＝2围成的封闭图形如右图中阴影部分所示．
12．(1)求函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈ 的值域；
(2)已知函数y＝acos ＋3，x∈ 的最大值为4，求实数a的值．
解：(1)y＝3cos2x－4cosx＋1＝3 2－ .
∵x∈ ，∴cosx∈ .
从而当cosx＝－ ，即x＝ 时，ymax＝ ；
当cosx＝ ，即x＝ 时，ymin＝－ .
∴函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈ 的值域为 .
(2)∵x∈ ，∴2x＋ ∈ ，
∴－1≤cos ≤ .
若a>0，则当cos ＝ 时，y取得最大值 a＋3，
∴ a＋3＝4，∴a＝2.
若a<0，则当cos ＝－1时，y取得最大值－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1.
综上，实数a的值为2或－1.
6余弦函数的图像与性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数y＝1＋cosx的图像()
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线x＝ 对称
答案：B
解析：y＝1＋cosx是偶函数，其图像关于y轴对称．
11．已知函数f(x)＝2cos ，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f ＝ ，α∈ ，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－ .
(2)∵f ＝2cos ＝－2sinα＝ ，
∴sinα＝－
∵α∈＝ ，
∴cosα＝ ＝
∴f(2α)＝2cos
＝ cos2α＋sin2α＝ (2cos2α－1)＋2sinαcosα＝ (2× －1)＋2× × ＝ .
6．函数y＝－xcosx的图像大致是图中的()
答案：D
解析：令f(x)＝－xcosx，则f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝xcosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以A、C排除，又当x∈ 时，f(x)＜0，故选D.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．三个数cos110°，cos80°，－cos50°的大小关系为__________．
2．若函数f(x)＝2cosx，x∈[0， ]，则函数f(x)的最小值是()
A．－ B．－1
C．－2 D．－
答案：C
解析：函数f(x)＝2cosx，∵x∈[0， ]，∴cosx∈[－1,1]，∴2cosx∈[－2,2]，∴函数f(x)的最小值为－2.
3．使cosx＝1－m有意义的m的值为()
A．m≥0 B．m≤0
利用图像的对称性可知该封闭图形的面积等于矩形OABC的面积．
又OA＝2，OC＝2π，∴S封闭图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
5．函数y＝1＋cosx(x∈[0,2π])的图像与直线y＝ 的交点个数为()
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
解析：由函数y＝1＋cosx(x∈[0,2π])的图像，可知直线y＝ 与函数y＝1＋cosx的图像有2个交点，故选C.
答案：cos80°＞cos110°＞－cos50°
解析：－cos50°＝cos(180°－50°)＝cos130°，
∵函数y＝cosx在[0，π]上为减函数，∴cos80°＞cos110°＞cos130°，即cos80°＞cos110°＞－cos50°.
8．设0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围为________．
答案：
解析：由题意，知sinx－cosx≥0，即]与y＝cosx，x∈[0,2π]的图像，如图所示：
观察图像，可知x∈ .
9．函数y＝log (1＋λcosx)的最小值是－2，则λ的值是________．
答案：±3
解析：由题意，知1＋λcosx的最大值为4，当λ>0时，1＋λ＝4，λ＝3；当λ<0时，1－λ＝4，λ＝－3.∴λ＝±3.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．画出函数y＝ cosx＋ |cosx|的图像，并根据图像讨论其性质.
解：y＝ cosx＋ |cosx|＝ ，利用五点法画出其图像，如图：
由图像可知函数具有以下性质：定义域：R；值域：[0,1];奇偶性：偶函数；周期性：最小正周期为2π的周期函数；单调性：在区间[2kπ，2kπ＋ ](k∈Z)上是递减的；在区间[2kπ－ ，2kπ](k∈Z)上是递增的．