2020高考数学复习：转化与化归思想的应用

(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏 观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果． (2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时， 可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
[对点训练]
已知函数 f(x)＝(a－3)x－ax3 在[－1，1]上的最小值为－3，则实数 a 的取值范围是( )
2．已知三棱锥 P－ABC 中，PA＝BC＝2 34，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2 41，则三棱 锥 P－ABC 的体积为________．
易知三棱锥 P－ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线． 不妨令 PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得 xx22＋＋yz22＝＝113060，，⇒yx＝＝86，， y2＋z2＝164 z＝10. 从而知 VP－ABC＝VAEBG－FPDC－VP－AEB－VC－ABG－VB－PDC－VA－FPC＝VAEBG－FPDC－4VP－AEB ＝6×8×10－4×13×12×6×8×10＝160. 答案：160
应用四 函数、方程、不等式间的相互转化 [典型例题]
已知函数 f(x)＝3e|x|.若存在实数 t∈[－1，＋∞)，使得对任意的 x∈[1，m)， m∈Z，且 m>1，都有 f(x＋t)≤3ex，求 m 的最大值．
【解】 因为当 t∈[－1，＋∞)，且 x∈[1，m]时，x＋t≥0， 所以 f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x. 所以原命题等价转化为存在实数 t∈[－1，＋∞)，使得不等式 t≤1＋ln x－x，对任意 x∈[1，m)恒成立． 令 h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)．
(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助． (2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因为借助函数与方程、不等式进行转化 与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求参变量 的范围．
[对点训练]
1．已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x∈1e，1，总存在唯一的 y∈[－1，1]，使 得 ln x－x＋1＋a＝y2ey 成立，则实数 a 的取值范围是( )
四 转化与化归思想
转化与化归的原则
常见的转化与化归的方法
1.直接转化法 2.换元法 3.数形结合法
1.熟悉化原则
2.简单化原则 4.构造法 5.坐标法 6.类比法 7.特殊化
3.直观化原则
4.正难则反原则 方法 8.等价问题法 9.加强命题法 10.
补集法
转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之
恒
成
立
，
则
f（－2）>0， f（2）>0，
即
（（lloogg22xx））22－－41l>o0g，2x＋3>0，解得 log2x<－1 或 log2x>3，
即 0<x<12或 x>8， 故 x 的取值范围是0，12∪(8，＋∞)． 答案：0，12∪(8，＋∞)
应用三 形、体位置关系的相互转化 [典型例题]
A．(－∞，－1]
B．[12，＋∞)
C．[－1，12]
D．－32，12
解析：选 D.当 a＝0 时，函数 f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除 A、B； (注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0，1 往往是首选．) 当 a＝－32时，函数 f(x)＝32x3－92x， f′(x)＝92x2－92＝92(x2－1)， 当－1≤x≤1 时，f′(x)≤0，所以 f(x)在[－1，1]上单调递减，所以 f(x)min＝f(1)＝32－92＝ －3，满足条件，故排除 C. 综上，选 D.
因为 h′(x)＝1x－1≤0， 所以函数 h(x)在[1，＋∞)上为减函数． 又 x∈[1，m)，所以 h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m，t 值恒存在，只需 1＋ln m－m≥－1. 因为 h(3)＝ln 3－2＝ln1e·3e>ln 1e＝－1，h(4)＝ln 4－3＝ln1e·e42<ln 1e＝－1，且函数 h(x)在[1，＋∞)内为减函数，所以满足条件的最大整数 m 的值为 3.
2．关于 x 的不等式 x＋4x－1－a2＋2a>0 对 x∈(0，＋∞)恒成立，则实数 a 的取值范围 为______． 解析：设 f(x)＝x＋4x(x>0)，则 f(x)＝x＋4x≥2 x·4x＝4(当且仅当 x＝2 时，等号成 立)．因为关于 x 的不等式 x＋4x－1－a2＋2a>0 对 x∈(0，＋∞)恒成立，所以 a2－2a＋ 1<4 恒成立，解得－1<a<3，所以实数 a 的取值范围为(－1，3)． 答案：(－1，3)
[对点训练] 1．如图，在棱长为 5 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，EF 是棱 AB 上的一条线段，且 EF＝2，点 Q 是 A1D1 的中点，点 P 是棱 C1D1 上的动点，则四面体 PQEF 的体积( ) A．是变量且有最大值 B．是变量且有最小值 C．是变量且有最大值和最小值 D．是常数 解析：选 D.点 Q 到棱 AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由 C1D1∥EF， 可得棱 C1D1∥平面 EFQ，所以点 P 到平面 EFQ 的距离是常数，于是可得四面体 PQEF 的体积为常数．
在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1. 求证：(1)AB∥平面 A1B1C； (2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
【证明】 (1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB∥A1B1. 因为 AB⊄平面 A1B1C，A1B1⊂平面 A1B1C， 所以 AB∥平面 A1B1C. (2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形． 又因为 AA1＝AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形， 所以 AB1⊥A1B.
2．设 y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若 t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则 x 的取 值范围是________．
解析：设 f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，
则
f(t) 是 一 次 函 数 ， 当
t∈[ － 2 ， 2] 时 ， f(t)>0
因为 AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以 AB1⊥BC. 又因为 A1B∩BC＝B，A1B⊂平面 A1BC，BC⊂平面 A1BC， 所以 AB1⊥平面 A1BC， 又因为 AB1⊂平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
形体位置关系的转化是针对几何问题采用的一种特殊转化方法．主要适用于涉及平行、 垂直的证明，如线面平行、垂直的推理与证明就是充分利用线面位置关系中的判定定理、 性质定理实现位置关系的转化．
【解析】 由题意，知 g(x)＝3x2－ax＋3a－5， 令 φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1. 由题意得φφ（（－1）1<）0<，0， 即33xx22－＋xx－－28<<00，，解得－23<x<1. 故 x 的取值范围为－23，1. 【答案】 －23，1
(1)本题是把关于 x 的函数转化为[－1，1]内关于 a 的一次函数的问题． (2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看成“主元”， 而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的．
A.1e，e
B.2e，e
C.2e，＋∞
D.2e，e＋1e
解析：选 B.设 f(x)＝ln x－x＋1＋a，当 x∈1e，1时，f′(x)＝1－x x≥0，f(x)是增函数， 所以 x∈1e，1时，f(x)∈a－1e，a； 设 g(y)＝y2ey，则 g′(y)＝eyy(y＋2)，则 g(y)在[－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增， 且 g(－1) ＝1e<g(1)＝e.因为对任意的 x∈1e，1，总存在唯一的 y∈[－1，1]，使得 f(x) ＝g(y)成立，所以a－1e，a⊆1e，e，解得2e<a≤e.
________．
【解析】 (1)抛物线 y＝ax2(a>0)的标准方程为 x2＝1ay(a>0)，焦点 F0，41a. 过焦点 F 作直线垂直于 y 轴，则|PF|＝|QF|＝21a， 所以1p＋1q＝4a. (2)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)， 则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ)，
令 y＝|a＋b|＋|a－b| ＝ （2＋cos θ）2＋sin2θ＋ （cos θ－2）2＋sin2θ ＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ， 则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20]． 由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5， (|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4， 即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5. 【答案】 (1)C (2)4 2 5
(1)本题是正与反的转化，由于函数不为单ห้องสมุดไป่ตู้函数有多种情况，所以可先求出其反面情 况，体现“正难则反”的原则． (2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此， 间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．
[对点训练] 若二次函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1，1]内至少存在一个值 c，使得 f(c)>0，则实数 p 的取值范围是________． 解析：如果在[－1，1]内没有值满足 f(x)>0，则ff（（－1）1）≤≤0 0，⇒pp≤≤－－123或或pp≥≥132，⇒p ≤－3 或 p≥32，故实数满足条件的 p 的取值范围为－3，32. 答案：－3，32
转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法
应用一 一般与特殊的相互转化
[典型例题]
(1)过抛物线 y＝ax2(a>0)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P，Q 两点．若线段 PF
与 FQ 的长度分别为 p，q，则1p＋1q等于( )
A．2a
B．21a
C．4a
D．4a
(2)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是
应用二 正与反的相互转化 [典型例题]
若对于任意 t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2－2x 在区间(t，3)上总不为单调 函数，则实数 m 的取值范围是________． 【解析】 由题意得 g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若 g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则 ①g′(x)≥0 在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(t，3)上恒成立．
由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2x－3x 在 x∈(t，3)上恒成立，所以 m＋4≥2t－ 3t 恒成立，则 m＋4≥－1，即 m≥－5； 由②得 m＋4≤2x－3x 在 x∈(t，3)上恒成立， 则 m＋4≤23－9，即 m≤－337. 所以函数 g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为－337<m<－5. 【答案】 (－337，－5)
[对点训练] 1．对于满足 0≤p≤4 的所有实数 p，使不等式 x2＋px>4x＋p－3 成立的 x 的取值范围 是________． 解析：设 f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3， 则当 x＝1 时，f(p)＝0.所以 x≠1. f(p)在 0≤p≤4 时恒为正等价于ff（（04））>>00，，即（x2－x－1>30），（x－1）>0，解得 x>3 或 x< －1. 故 x 的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化进而使问题得到解决的一种数学思想方法应用一一般与特殊的相互转化典型例题1过抛物线yaxa0的焦点f作一直线交抛物线于pq两点
转化与化归思想的应用
应用一 一般与特殊的相互转化 应用二 正与反的相互转化 应用三 形、体位置关系的相互转化 应用四 函数、方程、不等式间的相互转化