(易错题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(含答案解析)

一、选择题
1．某扶贫调研团根据要求从甲、乙、丙、丁、戊五个镇选择调研地点：①若去甲镇，则必须去乙镇；②丁、戊两镇至少去一镇；③乙、丙两镇只去一镇；④丙、丁两镇都去或都不去；⑤若去戊镇，则甲、丁两镇也必须去.该调研团至多去了（ ） A ．丙、丁两镇
B ．甲、乙两镇
C ．乙、丁两镇
D ．甲、丙两镇
2．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A ．C 作品
B ．D 作品
C ．B 作品
D ．A 作品
3．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”
其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在
“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x
，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+
=
+
+⋅⋅⋅
（ ）
A ．12
2 B
．
12
C
1 D
．1
4．三角形的面积为1
()2
S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）
A ．1
3V abc = B ．13
V Sh = C ．1
()3
V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()12341
3
V S S S S r =
+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）
5．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相
等．设由椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>> 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状
的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此
法，求出椭球体体积，其体积等于（ ） A ．243
a b π B ．243
ab π C ．22a b π
D ．22ab π
6．将正整数排列如下：
则图中数2020出现在（ ） A ．第64行第3列
B ．第64行4列
C ．第65行3列
D ．第65行4列
7．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:
将三角形数1，3， 6，10
记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的
顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225
B ．1275
C ．2017
D ．2018
8．观察下面数阵，
则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545
B ．547
C ．549
D ．551
9．下列说法中正确的个数是（ ）
①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠；
②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1；
③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±； ④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x
”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有1
2m x x +≥”.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过
“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过
x =确定出来2x =，类似地，可得1
121
22...
+
+
+的值为（ ）
A
1 B
1 C
D
11．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和
A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定 12．已知在正三角形ABC 中，若D 是BC 边的中点，G 是三角形ABC 的重心，则2AG
GD
=.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若三角形BCD 的重心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO
OM
等于（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 二、填空题
13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”
：
=
=
=
=，则按照以上规
律，若(
1n +=“穿墙术”，n T 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，则9T 的
值为______．
14．已知对任意正实数1a 、2a 、1b 、2b 都有22
2
12121212
()b b b b a a a a ++≥+，类比可得对任意正实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 都有________．
15．若点()000,P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>内，则被0P 所平分的弦所在的直线方程
是22
0000
2222x x y y x y a b a b
+=+，通过类比的方法，可求得：被()1,1P 所平分的双曲线2
214
x y -=的弦所在直线方程是________． 16．现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，那么我就不坐座位号为1的座位.那么坐在座位号为3的座位上的是________.
17．有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔，今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将获得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜是1号，2号，4号中的一个；丁猜2号，3号，4号都不可能，若以上四位老师只有一位猜对，则猜对者是___________（填甲、乙、丙、丁）
18．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.已知四位歌手有且只有一位说了假话，则获奖的歌手是________. 19．给出下列等式：
222
233
311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242
⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ 由以上等式可推出一个一般结论：
对于*
n N ∈，()23141
21
++=122232
12
n n n n +⨯⨯+
⨯⨯⨯+__________________．
20．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，解关于x 的不等式
20ax bx c -+>的”，给出一种解法：由20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，得2()()0a x b x c -+-+>的解集为(3,2)-.即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(3,2)-.类比上述解法，若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,4)，则关于x 的不
等式
20a b
c x x
++>的解集为_____. 三、解答题
21．三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题： （1）计算：
cos 2cos88sin 47sin133︒︒+︒︒,cos5cos85sin 50sin130︒︒+︒︒,cos12cos78sin 57sin123︒︒
+︒︒
； （2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的
结论，写出推理过程.
22．已知函数()2x x a a f x -+=，()2
x x
a a g x --=（其中0a >，且1a ≠），
（1）若()()()()()1221f g f g g k ⋅+⋅=，求实数k 的值；
（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想． 23．证明下列不等式：
（1）当2a >时，求证：0>； （2）设0a >，0b >，若0a b ab +-=，求证：4a b +≥.
24．对于不等式12+2<+<正确的.
(1))n N +
∈的大小并加以证
明；
(2))n N +
<∈成立，请你写出a b c d ,,,所满足
的一个等式和一个不等式，不必证明.
25．（1)3.a <>
（2）求由曲线y =
2y x =-及y 轴所围成的图形的面积.
26．设n 个正数12,,,n a a a 满足*12(n a a a n N ≤≤≤∈且3)n ≥.
（1）当3n =时，证明：
2331
12123312
a a a a a a a a a a a a ++++≥； （2）当4n =时，不等式
23341241
12343412
a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++≥也成立，请你将其推广到n *(n N ∈且3)n ≥个正数12,,,n a a a 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法
证明.
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一、选择题 1．A 解析：A
【分析】
根据条件假设去甲镇，则可找到矛盾，排除两个答案，再假设不去甲镇，去乙镇同样可得到矛盾，进而可得到答案
【详解】
解：假设去甲镇，则必去乙镇，但去乙镇则不能去丙镇，不去丙镇则也不能去丁镇，
不去丁镇则也不能去戊镇，而丁、戊都不去则不符合条件．矛盾，则可淘汰选项B、D，若不去甲镇去乙镇，同样无法完成参观；
故甲、乙两镇都不能去，则一定不能去戊镇，
∴能去的地方只有丙、丁两镇．
故选：A．
【点睛】
本题考查学生合情推理的能力，也运用假设法是关键，属于中档题，
2．C
解析：C
【解析】
分析：根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．
详解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，
若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，
若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，
若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，
故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B
故答案为C.
点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.
3．C
解析：C
【分析】
本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果.
【详解】
由题意，令
1
2(0)
1
2
2
x x
+=>
+
+⋯
，即
1
2x
x
+=，
即2210
x x
--=，
解得1
x=
或1
x=（舍去）
1
21
122∴+
=+
+⋅⋅⋅
，
故选：C 【点睛】 本题主要考查类比推理方法的应用，以及一元二次方程的解法，属于中档题.
4．D
解析：D 【分析】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案. 【详解】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 1
3
=
（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ． 【点睛】
本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
5．A
解析：A 【分析】
先构造两个底面半径为a ，高为b 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积． 【详解】
椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，
先构造两个底面半径为a ，高为b 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积为:
()22214
2233
V V V a b a b a b πππ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱圆锥，
故选：A.
【点睛】
本题考查了类比推理的问题，类比推理过程中要注重方法的类比，属基础题.
6．B
解析：B 【分析】
根据题意，构造数列，利用数列求和推出2020的位置. 【详解】
根据已知，第n 行有n 个数，设数列{}n a 为n 行数的数列，则n a n =， 即第1行有1个数，第2行有2个数，……，第n 行有n 个数， 所以，第1行到第n 行数的总个数()
1122
n n n S n +=+++=
， 当63n =时，数的总个数()
636363120162
S ⨯+=
=， 所以，2020为64n =时的数，即64行的数为：2017，2018，2019，2020，……， 所以，2020为64行第4列. 故选：B. 【点睛】
本题考查数列的应用，构造数列，利用数列知识求解很关键，属于中档题.
7．A
解析：A 【分析】
通过寻找规律以及数列求和，可得n a ，然后计算21k b -，可得结果.
【详解】
根据题意可知：12...n n a =+++ 则()12
n a n n +=
由14254556
,,22
b b a a ⨯⨯==
== 394109101011,22b b a a ⨯⨯==
== …
可得()215512
k k k b --=
所以()
19510510112252
b ⨯⨯⨯-==
故选：A 【点睛】
本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到21k b -，属难题，
8．C
解析：C 【分析】
观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有12m -个数，可求出前m 行共有21m -个数，根据以上特征，即可求解. 【详解】
由题意可得该数阵中第m 行有12m -个数，
所以前m 行共有21m -个数，所以前8行共255个数.
因为该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行， 从左往右数的第20个数是()127512549+-⨯=. 故选:C. 【点睛】
本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前n 项和，认真审题，注意观察找出规律是解题的关键，属于中档题.
9．C
解析：C 【分析】
根据命题的否定形式可判断出命题①的正误；利用反证法可得出命题②的真假；设等比数列的公比为q ，利用等比数列的定义和等比中项的性质可判断出命题③的正误；利用特称命题的否定可判断出命题④的正误. 【详解】
对于命题①，由于1x y ==可表示为1x =且1y =，该结论的否定为“1x ≠或1y ≠”，所以，命题①正确；
对于命题②，假设1a ≤且1b ≤，由不等式的性质得2a b +≤，这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题②正确；
对于命题③，设等比数列1-、x 、y 、z 、4-的公比为q ，则
201
y
q =>-，0y ∴<. 由等比中项的性质得()()2
144y =-⨯-=，则2y =-，命题③错误；
对于命题④，由特称命题的否定可知，命题④为真命题，故选C. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及反证法、等比中项以及特称命题的否定，理解这些知识点是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
设()
1
012122...
t t =>+
++，可得
1
2t t
=+，求解即可. 【详解】
设()
1
012122...
t t =>+
++，则
1
2t t
=+，即2210t t +-=
，解得1t =
，取1t =. 故选B. 【点睛】
本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据已知信息：首先判断B 去过一个办公室，再确定B 去的哪一个办公室，得到答案. 【详解】
C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室⇒ B 至少去过一个办公室
A 说：我去过的教师办公室比
B 多，但没去过乙办公室⇒A 去过2个办公室，B 去过1个办公室.
B 说：我没去过丙办公室，
C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室，A 没有去过乙办公室
所以B去的是甲办公室.
答案选A
【点睛】
本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.
12．B
解析：B
【分析】
利用类比推理把平面几何的结论推广到空间中.
【详解】
因为O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体内切球的球心，
设四面体的内切球半径为r，则
4
3
V Sr
=，其中V表示四面体的体积，S表示一个面的面
积；
所以
14
33
V S AM Sr
=⋅=,即
1
4
r AM
=，
所以
3
43
1
4
AM
AO
OM AM
==.故选B.
【点睛】
本题主要考查类比推理，平面性质类比到空间时注意度量关系的变化.
二、填空题
13．【分析】归纳出数列的通项公式利用裂项求和法可求得的值【详解】以此类推由可知事实上因此故答案为：【点睛】本题考查归纳推理同时也考查了裂项求和法考查计算能力与推理能力属于中等题
解析：36 55
【分析】
归纳出数列{}n a的通项公式，利用裂项求和法可求得9T的值.【详解】
2 2
3
===
===
===
==
=，以此类推，由(1
n+=()211
n
a n
=+-，
事实上
(
(
11n n +=+=
=
==
()()211111122211n a n n n n n ⎛⎫∴
===- ⎪++⎝⎭
+-， 因此，9111111111111361123243591122101155
T ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3655
. 【点睛】
本题考查归纳推理，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
14．【分析】根据类比的定义按照题设规律直接写出即可【详解】由题意通过类比可得对任意正实数都有故答案为：【点睛】本题考查推理证明中的类比考查类比推理的应用等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想属于基
解析：2222
312312
123123
()b b b b b b a a a a a a ++++≥
++ 【分析】
根据类比的定义，按照题设规律直接写出即可． 【详解】
由题意，通过类比可得对任意正实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 都有
2222
312312
123123
()b b b b b b a a a a a a ++++≥++. 故答案为：
2222
312312
123123
()b b b b b b a a a a a a ++++≥++. 【点睛】
本题考查推理证明中的类比，考查类比推理的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题.
15．【分析】由已知类比可得双曲线被所平分的弦所在的直线方程是可得被所平分的双曲线的弦所在直线方程【详解】由点在椭圆内则被所平分的弦所在的直线方程是类比可得双曲线被所平分的弦所在的直线方程是则被所平分的双 解析：430x y -+=
【分析】
由已知类比可得双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>被00(P x ，0)y 所平分的弦所在的直线方程是
2200002222x x y y x y a b a b -=-，可得被(1,1)P 所平分的双曲线2
214x y -=的弦所在直线方程． 【详解】
由点000(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>内，
则被0P 所平分的弦所在的直线方程是22
00002222x x y y x y a b a b
+=+，
类比可得双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
被000(,)P x y 所平分的弦所在的直线方程是22
00002222x x y y x y a b a b
-=-，
则被(1,1)P 所平分的双曲线2
214
x
y -=的弦所在直线方程是1144x y -=-，
即430x y -+=． 故答案为：430x y -+=． 【点睛】
本题考查类比推理，类比推理是找出两类事物之间的相似性或一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
16．丙【分析】根据题意分类讨论即可得出符合题意的结果得到答案【详解】由题意若乙坐3号位置则丁坐2号或4号位置甲丙两人必定有1人坐1号位置与题意矛盾若乙坐2号位置则丙坐3号位置甲坐4号位置丁坐1号位置符合
解析：丙 【分析】
根据题意，分类讨论，即可得出符合题意的结果，得到答案． 【详解】
由题意，若乙坐3号位置，则丁坐2号或4号位置，甲、丙两人必定有1人坐1号位置，与题意矛盾，
若乙坐2号位置，则丙坐3号位置，甲坐4号位置，丁坐1号位置，符合题意， 故答案为：丙． 【点睛】
本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
17．丁【解析】【分析】分四种情况讨论即四位老师只有一个老师猜对进行逻辑推理得出答案【详解】若甲老师猜对则其他三位老师全部猜错乙老师猜错则号获得第一名这与甲老师的猜测矛盾这种情况不可能；若乙老师猜对则其他
解析：丁 【解析】 【分析】
分四种情况讨论，即四位老师只有一个老师猜对，进行逻辑推理得出答案。

【详解】
若甲老师猜对，则其他三位老师全部猜错，乙老师猜错，则6号获得第一名，这与甲老师的猜测矛盾，这种情况不可能；
若乙老师猜对，则其他三位老师全部猜错，则6号不可能，甲老师猜错，3号和5号都不可能，丙老师猜错，1号、2号、4号都不可能，没有一个获得第一名，这种情况不可能； 若丙老师猜对，则其他三位老师全部猜错，则1号、2号、4号某一个获得第一名，甲老师猜错，3号和5号都不可能，乙老师猜错，6号获得第一名，矛盾；
若丁老师猜对，则其他三位老师全部猜错，那么1号、5号、6号某一位获得第一名，甲老师猜错，3号和5号都不可能，乙老师猜错，6号获得第一名，丙老师猜错，1号、2号、
4号都不可能，所以，6号获得第一名。

故答案为：丁。

【点睛】
本题考查推理，考查分类讨论思想与假设思想的应用，通过不断试错来推出结论，考查逻辑推理能力，属于中等题。

18．乙【分析】根据乙丙；的说法是相互矛盾的得出乙与丙说法一对一错唉根据甲丁的说法都准确推出获奖的歌手是乙即可【详解】由题意乙与丙的说法是相互矛盾的所以乙与丙的说法中一对一错又甲说：是乙或丙获奖是正确；丁
解析：乙 【分析】
根据乙丙；的说法是相互矛盾的，得出乙与丙说法一对一错，唉根据甲、丁的说法都准确，推出获奖的歌手是乙即可. 【详解】
由题意，乙与丙的说法是相互矛盾的，所以乙与丙的说法中一对一错， 又甲说：“是乙或丙获奖”，是正确； 丁说“是乙获奖”是正确，
由此可知获奖的歌手是一，且乙说的也对. 【点睛】
本题主要考查了简单的合情推理的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用合情推理进行，逐一判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
19．【分析】由已知中的三个式子我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势可以归纳出其通项为分析等式右边的式子发现每一个式了均为两项差的形式且被减数均为1减数为由此即可得到结论【详解】由已知中的等式：…由以上 解析：1
1(1)2n
n -
+
【分析】
由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为
()21
12
n n n n +⨯+，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为
1，减数为()1
12n n +，由此即可得到结论．
【详解】
由已知中的等式：222
233
311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242
⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯
…
由以上等式我们可以推出一个一般结论：
对于
()()*
2314121111222321212n n n n N n n n +∈⨯+⨯+⋯+⨯=-⨯⨯++， ．
故答案为()1
112n n -+．
【点睛】
本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
20．【分析】关于的不等式可看成不等式中的用代入得来进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解【详解】若关于的不等式的解集为则关于的不等式看成不等式中的用代入得来则可得解得故答案为：【点睛】本题主
解析：114⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
. 【分析】
关于x 的不等式
20a b c x x ++>可看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x
代入得来，进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解. 【详解】
若关于x 的不等式20ax bx c ++＞的解集为14（，），则关于x 的不等式20a b
c x x
++>看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1
x
代入得来， 则可得，114x
<< 解得，
1
14
x <<.
故答案为：1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查类比推理，同时也考查了不等式的基本性质，属于中档题.
三、解答题
21．（1；（2）()()()
cos 45cos 135sin sin 180θθθ
θ-︒︒-+
=︒-
【分析】
（1）依据诱导公式以及两角和的正弦公式即可计算出；（2）观察（1）中角度的关系，合情推理出一般结论，然后利用两角和的正弦公式即可证明． 【详解】 （1）
cos 2cos88cos 2sin 2sin 45cos 2cos 45sin 2)47
sin 47sin133sin 47sin 47sin 47sin 47︒︒︒︒︒︒︒+︒︒
+=+===︒︒︒︒︒︒
同理可得，
cos5cos85sin 5cos550sin 50sin130sin 50sin 50︒︒︒+︒︒
+===︒︒︒︒
cos12cos 78sin12cos1257
sin 57sin123sin 57sin 57︒︒︒+︒︒+===︒︒︒︒
（2）由（1）知，可以猜出：()()()
cos 45cos 135sin sin 180θθθ
θ-︒︒-+
=︒-
证明如下：
()()()
()()cos 45cos 135cos 45sin 45sin sin 180sin sin θθθθθθθ
θ-︒︒--︒-︒+
=
+
︒-
()()
45cos 45cos 45sin 45]
sin sin θθθ
θ
θ
︒︒-︒+-︒=
=
= 【点睛】
本题主要考查学生合情推理论证能力，以及诱导公式和两角和的正弦公式的应用，意在考查学生的数学抽象素养和逻辑推理能力．
22．（1）3k =（2）猜想：()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅；证明见解析 【分析】
（1）分别代入并化简，可得()()()()()12213f g f g g ⋅+⋅=，即可求出答案；（2）猜想：()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅；分别代入表达式，化简并整理即可证明. 【详解】
解：（1）122221
(1)(2)(2)(1)2222
a a a a a a a a f g f g ----+-+-⋅+⋅=⨯+⨯
31331333(3)442
a a a a a a a a a a g ------+--+--=+==.
因为函数12x y a =与1
2
x y a -=-具有相同的单调性，且都是单调函数，所以()g x 是单调函数.
3k ∴=.
（2）由(3)(12)=(1)(2)(2)(1)g g f g f g +⋅+⋅=， 猜想：()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅.
证明: ()()()()2222x x y y y y x x
a a a a a a a a f x g y f y g x ----+-+-⋅+⋅=⨯+⨯
()()
44x y y x x y x y x y y x x y x y a a a a a a a a +---++---++---+-=+
()
()2
x y x y a a g x y +-+-==+.
所以()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅.
【点睛】
本题考查了归纳推理，考查了学生的推理能力，属于中档题. 23．（1）见解析；（2）见解析 【解析】
试题分析：(1)利用分析法证明不等式；(2)利用综合法证明不等式. 试题
（1）要证0>
<
只要证
(2
2
<，
只要证24a a +<，
a <，由于2a >， 只要证224a a -<，
< （2）因为0a b ab +-=，0a >，0b >，所以
111a b
+=
()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 11b a a b =+++ 24≥+=
当且仅当
b a
a b
=，即a b =时，等号成立所以4a b +≥ 24．(1) 见解析;(2) 见解析. 【解析】
试题分析：（1））；由1632+<+，2725+<+，
32256+<+... ，根据归纳推理可得结论；(2)利用分析法证明即可.
(1)猜想：()
523n n n n n N +++<+++∈，
证明如下：
因为n N +∈，要证523n n n n ++<+++，
只需证：
(
)(
)
2
2
5
23n n n n ++<+++，
即证：25522233n n n n n n n n +⋅+++<+++⋅+++， 也就是证：523n n n n ⋅+<
+⋅+，
只需证：()()()523n n n n +<++， 即证：06<，显然成立. 故523n n n n ++<
+++.
(2)如a b c d +=+，ab cd <.
【方法点睛】本题主要考查归纳推理及分析法证明不等式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 25．(1)见解析； （2）163
. 【解析】
试题分析：（1）根据不等式的性质利用综合法进行证明；（2）利用定积分的几何意义求封闭图形的面积. 试题 (1)证明：∵，
∴ ∴
∴
（2）解：联立方程
得到两曲线的交点
，因此曲线
，直线
及
轴所围成的图形的面积为
26．(1)见解析. (2)见解析. 【详解】
试题分析：（1）由于
123a a a 与23
1
a a a 积为2
2a ，所以利用基本不等式进行证明：2323121223131
22a a a a
a a a a a a a a a +≥⨯=，23313122a a a a a a a +≥，31121322a a a a a a a +≥，三式相加
得2331121233122(
)2()a a a a a a a a a a a a ++≥++，即233112123312
a a a a
a a a a a a a a ++≥++（2）本题结构对称，易于归纳出23
2111
121234
12
n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++
++≥+++，用
数学归纳法证明时的难点在于明确1n k =+时式子与n k =式子关系：其差为
111111
11212
k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a -++-+++--，问题转化为证明111111
111212
k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a -++-++++--≥，这可利用作差，因式分解得证. 试题
（1）证明：因为n a （*N n ∈且3n ≥）均为正实数，
左—右=1323231312
12123231312111222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1323231312
12123231312111222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=0，
所以，原不等式231312
123123
a a a a a a a a a a a a ++≥++成立． 4分 （2）归纳的不等式为：
23
2111
121234
12
n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++
++≥+++（*N n ∈且3n ≥）． 5分
记()23
2111
12123412
n n n n n n n n a a a a a a a a a a F a a a a a a a a ---=
+++
++-+++，
当3n =（*N n ∈）时，由（1）知，不等式成立； 假设当n k =（*N k ∈且3k ≥）时，不等式成立，即
()23
2111
121234
12
0k k k k k k k k a a a a a a a a a a F a a a a a a a a ---=
+++
++-+++≥．
则当1n k =+时，
()23
211111
12112134
112
k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a F a a a a a a a a a a ---+++++=
+++
+++-++++
=111111
111212
k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a F a a a a a a -++-+++
++--- 7分 =()11111112111k k k k k k k k a a F a a a a a a a a a -+++⎛⎫⎛⎫+-+-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()21111111101k k k k k k k a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫≥+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=()11111k k k
k k k k a a a a a a a a a +++⎛⎫
+-+-
⎪⎝⎭
， 因为1k k a a +≥，112k k a a a a +≥，11111
2k k k k k k a a a a
a a +++++++≤=， 所以10k F +≥，
所以当1n k =+，不等式成立． 9分 综上所述，不等式（*N n ∈且3n ≥）成
立． 10分 考点：数学归纳法。