圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案

圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。

例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.
例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明
K_AB=2b^2/2a^2.
二、直角弦
对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。

例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。

例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。

例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。

三、焦点弦
1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于
F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。

2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。

3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，
且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要
求离心率。

4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。

练：
1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和
直线l的方程。

2、对于双曲线x^2/25-y^2/9=1，如果点P(5,0)在其上，且
线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率和直线l 的方程。

1、已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，
过点$P(-1,2)$的直线$l$交椭圆于$M,N$两点，求直线$l$的方程。

改写：椭圆的标准方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，已知$a=2,b=3$，点$P(-1,2)$，直线$l$经过$P$且交椭圆于$M,N$两点，求直线$l$的
方程。

删除：无明显问题的段落。

2、已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，与向量$v=(1,-1)$垂直的直线$l$交椭圆$4x^2+y^2=2$于
$A,B$两点，若$OA\perp OB$，求直线$l$的方程。

改写：椭圆的标准方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，已知$a=4,b=3$，向量$v=(1,-1)$，直线$l$与$v$垂直且交椭圆$4x^2+y^2=2$于
$A,B$两点，且$OA\perp OB$，求直线$l$的方程。

删除：无明显问题的段落。

3、已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，过点$P(-1,2)$的直线$l$交椭圆于$M,N$两点，且以$MN$为直径。

改写：椭圆的标准方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，已知$a=3,b=2$，点$P(-1,2)$，直线$l$经过$P$且交椭圆于$M,N$两点，且以$MN$为直径。

删除：无明显问题的段落。

4、已知椭圆的方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，直线$l$与椭圆相交于$A,B$两点，若椭圆的离心率为$e$，则$AB=2ae$。

过右焦点且斜率为$k$的直线为$l$。

改写：已知椭圆的标准方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，直线$l$与椭圆相交于$A,B$两点，椭圆的离心率为$e$，则$AB=2ae$。

右焦点的坐标为$(c,0)$，直线$l$斜率为$k$，求直线$l$的方程。

删除：无明显问题的段落。

5、过抛物线的焦点作倾斜角为$\theta$的直线，与抛物线
交于两点（点在轴左侧），则有$\tan\theta=\frac{1}{2p}$。

改写：已知抛物线的焦点为$F$，焦距为$p$，点$P$在抛
物线的轴左侧，直线$l$过$F$且与抛物线交于$A,B$两点。

设
$l$与抛物线轴的夹角为$\theta$，则$\tan\theta=\frac{1}{2p}$。

删除：无明显问题的段落。

6、已知双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1$，直线$l$交双曲线的两支于$A,B$两点。

若双曲线的离心率为$e$，则$\frac{AB}{2}=ae$，过左焦点且
斜率为$k$的直线为$l$。

改写：已知双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1$，直线$l$与双曲线交于$A,B$两点。

双曲
线的离心率为$e$，则$\frac{AB}{2}=ae$。

左焦点的坐标为$(-c,0)$，直线$l$斜率为$k$，求直线$l$的方程。

删除：无明显问题的段落。

7、过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦点，斜率为$k$的直线与双曲线的交点为$P$，则
$PF=\frac{a}{\sqrt{k^2b^2+a^2}}$。

改写：已知双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1$，右焦点的坐标为$(c,0)$，直线$l$斜率为$k$，直线$l$与双曲线交于$P$。

则
$PF=\frac{a}{\sqrt{k^2b^2+a^2}}$。

删除：无明显问题的段落。

8、已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$与椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$相交于不同两点$A,B$，已知$A(-2,1)$，经过$B(4,-3)$的直线为$l$。

改写：已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$与椭圆$\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}=1$相交于不同两点$A,B$，已知$A(-2,1)$，$B(4,-3)$在直线$l$上，求直线$l$的方程。

删除：无明显问题的段落。