窗函数法设计FIR滤波器

FIR 数字滤波器的设计方法
IIR 数字滤波器最大缺点：不易做成线性相位，而现代图像、语声、数据通信对线性相位的要求是普遍的。

正是此原因，使得具有线性相位的FIR 数字滤波器得到大力发展和广泛应用。

1． 线性相位FIR 数字滤波器的特点
FIR DF 的系统函数无分母，为∑∑-=--=-==
1
1
)()(N n n N i i
i z n h z
b z H ，系统频率响应可写成：
∑-=-=10
)()(N n jwn jw
e n h e H ，令)(jw e H ＝)()(w j e w H Φ，H(w)称为幅度函数，)(w Φ称为相位
函数。

这与模和幅角的表示法有所不同，H(w)为可正可负的实数，这是为了表达上的方便。

如某系统频率响应)(jw e H ＝w
j we
34sin -，如果采用模和幅角的表示法，w 4sin 的变号相
当于在相位上加上)1(ππj e =-因，从而造成相位曲线的不连贯和表达不方便，而用
)()(w j e w H Φ这种方式则连贯而方便。

线性相位的FIR 滤波器是指其相位函数)(w Φ满足线性方程：
)(w Φ＝βα+-w （βα,是常数）
根据群时延的定义，式中α表示系统群时延，β表示附加相移。

线性相位的FIR 系统都具有恒群时延特性，因为α为常数，但只有β＝0的FIR 系统采具有恒相时延特性。

问题：并非所有的FIR 系统都是线性相位的，只有当它满足一定条件时才具有线性相位。

那么应满足什么样的条件？从例题入手。

例题：令h(n)为FIR 数字滤波器的单位抽样相应。

N n n ≥<或0时h(n)=0，并假设h(n)为实数。

（a ） 这个滤波器的频率响应可表示为)
()()(w j jw
e
w H e H Φ=（这是按幅度函数和相位函
数来表示的，不是用模和相角的形式），)(w H 为实数。

（N 要分奇偶来讨论） （1） 当h(n)满足条件)1()(n N h n h --=时，求)(w H 和)(w Φ（π≤≤w 0） （2） 当h(n)满足条件)1()(n N h n h ---=时，求)(w H 和)(w Φ（π≤≤w 0）
（b ） 用)(k H 表示h(n)的N 点DFT
（1） 若h(n)满足)1()(n N h n h ---=，证明H(0)=0； （2） 若N 为偶数，证明当)1()(n N h n h --=时，H(N/2)=0。

解：（a ）∑-=-=
1
)()(N n jwn
jw
e
n h e H
（1）)1()(n N h n h --=，当N 为奇数时，
+--++-+=---⋅----)11(1)1(0)11()1()1()0()(N jw jw N jw jw jw e N h e h e N h e h e H
2
12
3
)
1()2
1(])[(---=-----++=
∑N jw
N n n N jw jwn
e
N h e
e
n h
2
1)2
1
(
2
30
)2
1
(
)2
1
()2
1(])[(-----=-----
--++=
∑N jw
N jw N n n N jw N n jw e
N h e
e
e
n h
)
(})2
1
()]21(cos[)(2{))(2
30
)
2
1(w H e N h N n w n h e
w j N n N jw Φ-=--=-+--
=∑ 其中幅度函数：)(w H ＝
∑-=-+--
2
3
)2
1
()]21(cos[)(2N n N h N n w n h 21'--=N n n 令得到 )(w H ＝
)2
1
('cos )21'(21
2
1
'-+-+
∑
---
=N h wn N n h N n 'n n -=令得到 )(w H ＝
∑∑-=-=--=-+--2
1
2
11cos )21
(2)21(cos )21(
2N n N n wn n N h N h wn n N h ∑
-==210
cos )(N n wn n a ，)2
1(
)0(-=N h a ，21
,
,2,1),21(2)(-=--=N n n N h n a 。

所以=)(jw
e H ∑-=--2
10
2
1cos )(N n w N j wn n a e
，得出)(w H ∑-==21
cos )(N n wn n a ，w N w 2
1
)(--
=Φ。

得出第一类FIR DF 的特点：
✓ 恒相时延，相位曲线是过原点的曲线； ✓ 可通过h(n)灵活设计幅度函数的零点位置；
✓ 幅度函数对频率轴零点偶对称)()(w H w H -=，对π点偶对称)2()(w H w H -=π。

（1）)1()(n N h n h --=，当N 为偶数时，
)(jw e H ∑-=----+=120
)1(])[(N n n N jw jwn e e n h
∑-=----
=120
)
2
1()]2
1
(cos[)(2N n N jw N n w n h e
)()(w H e w j Φ=
其中)(w H ＝
∑∑-=-=--=--
12
120
]21
)2(cos[)(2)]21(cos[)(2N n N n w n N w n h N n w n h 2'n N n -=
令得到)(w H ＝∑∑==-=--2
1
2
1')]21
(cos[)()]21'(cos[)'2(2N
n N n n w n b n w n N h ， 所以=)(jw e H ∑=---2
1
2
1)]21
(cos[)(N
n w N j n w n b e
，得出)(w H ∑=-=2
1
)]21
(cos[)(N n n w n b ，
w N w 21)(--=Φ。

第二类FIR DF 的特点：
✓ 恒相时延，相位曲线是过原点的直线；
✓ 幅度函数对频率轴零点偶对称)()(w H w H -=；
✓ 幅度函数对频率轴π点奇对称)2()(w H w H --=π。

由)(w H 的连续性，π点一定是
幅度函数的零点。

即π=w 时，)(0)(0)]2
1(cos[z H H n w ⇒=⇒=-π在z=-1处有零点；因此这类滤波器不适合高通或带阻滤波器。

（2）)1()(n N h n h ---=，当N 为奇数时
推导省略，结果是
)(w H ∑-==
2
11
sin )(N n wn n c ，)2
1
(
2)(n N h n c --= w N w 2
1
2
)(--
=
Φπ。

第三类FIR DF 的特点： ✓ 恒群时延，有
2π附加相移，相位曲线是截距为2
π、斜率为21--N 的直线；
✓ 幅度函数对零频点奇对称)()(w H w H --=，零频是)(w H 的零点；
✓ 对π奇对称)2()(w H w H --=π，π也是)(w H 的零点。

（2）)1()(n N h n h ---=，当N 为偶数时
推导省略，结果是
)(w H ∑=-=2
1)]21
(sin[)(N
n n w n d ，)2(2)(n N h n d -=
w N w 2
1
2
)(--
=
Φπ。

第四类FIR DF 的特点： ✓ 恒群时延，有
2π附加相移，相位曲线是截距为2
π、斜率为21--N 的直线；
✓ 幅度函数对零频点奇对称)()(w H w H --=，零频是)(w H 的零点； ✓ 对π偶对称)2()(w H w H -=π。

（b ）k N
w jw
e H k H π
2|
)()(==
（1）0|)()0(==w jw e H H ，当)1()(n N h n h ---=，不论N 为奇数还是偶数，)(jw
e H 中
都含有)(sin ⋅w 项，0|)(0==w jw e H ，所以0)0(=H 。

（2）)1()(n N h n h --=，N 为偶数
=)(jw e H ∑-=----
121
2
1)]21
(cos[)(2N
n w
N j N n w n h e
，π==w jw e H N H |)()2/(，因为（21--N n ）是21的奇数倍，因此)2
1
(cos[--
N n w ＝0，即0)2/(=N H 。

问题：FIR DF 线性相位的条件是什么？ 总结四种FIR DF 的特点：
◆ 当h(n)为实数且偶对称时，FIR DF 为恒相时延，相位曲线是一条过原点、以2
1
--
N 为斜率的直线。

信号通过这类滤波器后，各种频率分量的时延都是2
1
-N 。

当N 为奇数时，时延
2
1
-N 是整数，是采样间隔的整数倍，采样点时延后仍是采样点。

但当N 为偶数时，时延2
1
-N 不是整数，采样点时延后就不在采样点位置上了，这在某些应用场
合会带来一些意外的问题。

同时，N 为偶数时，π点是幅度的零点，不能做高通、带阻滤波器。

一般情况下，第一类FIR DF 特别适合做各种滤波器。

◆ 当h(n)为实数且奇对称时，FIR DF 仅是恒群时延。

相位曲线是一条截距为π／2，以
21--
N 为斜率的直线。

信号通过该滤波器产生的时延也是2
1
-N 个采样周期，但另外对所有频率分量均有一个附加的90度的相移。

单边带调制及正交调制正需要这种特性。

因此这种滤波器特别适合做希尔伯特滤波器以及微分器。

FIR 滤波器的极点都在原点上，而h(n)是因果稳定的有限长序列，因此H(z)在有限z 平面上是稳定的。

线性相位FIR DF 的零点有自己的特点：它们必定是互为倒数的共轭对。

证明如下：)1()(n N h n h --±= （线性相位）
)()(1)1(---±=z H z z H N （z 变换的性质）
如果i z 是一个零点，代入上式有
)()(1
)
1(---±=i N i i z H z z H ＝0
0≠i z
0)(1=∴-i z H 必有，则1-i z 也是零点。

因为零极点总是成共轭对出现（有理分式特性）， 所以*i z ，*1)(-i z 也是零点。

所以i z ，*i z ，1-i z ，*1)(-i z 都是零点。

2． 窗函数设计法
因为∑-=-=
1
)()(N n n
z
n h z H ，对FIR 系统而言，冲击响应就是系统函数的系数。

因此设计FIR
滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的一段冲击响应作为H(z)的系数，冲击响应长度N 就是系统函数H(z)的阶数。

只要N 足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。

一般这种时域设计、频域检验的方法要反复几个回合才能成功。

2.1 设计原理
设计目标：设计一个线性相位的FIR DF ； 已知条件：要求的理想频率响应)(jw
d e H 。

)(jw d e H 是w 的周期函数，周期为π2，可以展开成傅氏级数)(jw
d e H ＝
∑∞
-∞
=-n jwn d
e n h
)(，
其中)(n h d 是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。

但不能用来作为设计FIR DF 用的h(n)，因为)(n h d 一般都是无限长、非因果的，物理上无法实现。

分析：为了设计出频响类似于理想频响的滤波器，可以考虑用h(n)来近似)(n h d 。

窗函数的基本思想：先选取一个理想滤波器（它的单位抽样响应是非因果、无限长的），再截取（或加窗）它的单位抽样响应得到线性相位因果FIR 滤波器。

这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器。

例1：设截止频率为c w 的理想FIR 低通滤波器，其理想频响是
)(jw
d e H ⎪⎩
⎪⎨
⎧≤<≤⋅=-παw w w w e c c w
j ,0,1，其中α称为采样延时。

对应的)(n h d 由下式求出：
注意：)(n h d 关于α对称，这对设计线性相位的FIR DF 很重要。

为了从)(n h d 中得到FIR 滤波器，可以对)(n h d 进行截取，如果要得到一个线性相位、因果的FIR 滤波器，则设截取后得到的h(n)的长度为M ，h(n)一定满足
这种操作称为“加窗”。

h(n)可看作是)(n h d 和)(n w 的乘积
)()()(n w n h n h d =
其中
根据)(n w 的不同定义，可得到不同的窗函数。

在上例中
称为矩形窗。

在频域中，因果FIR 滤波器响应)(jw e H 由)(jw d e H 和窗响应)(jw e W 的周期卷积得到。

即)(jw
e H )()(jw jw d e W e H *=。

矩形窗的窗谱 )(jw
e W ＝
2
1
1
)2/sin()2/sin(11)(-----=-∞
-∞
=-=--==∑∑N jw jw
jwN N n jwn
n jwn N
e
w wN e e e e n R
，它的幅度
函数为)
2/sin()
2/sin()(w wM w W =。

当w 很小时，2/)2/sin(2/)2/sin()(wN wN N w wN w W ==，这是
一个][sin ⋅c 函数，每隔N /2π正负交替一次。

由卷积定义得到)(jw
e H ⎰
--=
π
πθθθπ
d e W e H w j j d )()(21
)
(
⎰⎰-⋅
=--=-------c
c
c
c
w w N jw
w w N w j N j d w W e
d w N w e
e
θθπθ
θθπθθ
)(21
]
2/)sin[(]
2/)sin[(21
2
12
1
)(21
卷积结果如图7-8所示。

比较加矩形窗后的低通频谱和理想低通频谱可得到以下结论：
◆ 加窗使过渡带变宽，过渡带的带宽取决于窗谱的主瓣宽度。

矩形窗情况下的过渡带宽是
N /4π。

N 越大，过渡带越窄、越陡；
◆ 过渡带两旁产生肩峰，肩峰的两侧形成起伏振荡。

肩峰幅度取决于窗谱主瓣和旁瓣面积
之比。

矩形窗情况下是8.95％，与N 无关。

工程上习惯用相对衰耗来描述滤波器，相对衰耗定义为
])0(/)(lg[20])(/)(lg[20)(0
H w H e H e H w A j jw ==
这样两个肩峰点的相对衰耗分别是0.74dB 和-21dB 。

其中（-0.0895）对应的点的值定义为阻带最小衰耗。

以上的分析可见，滤波器的各种重要指标都是由窗函数决定，因此改进滤波器的关键在于改进窗函数。

窗函数谱的两个最重要的指标是：主瓣宽度和旁瓣峰值衰耗。

旁瓣峰值衰耗定义为： 旁瓣峰值衰耗＝20lg(第一旁瓣峰值／主瓣峰值) 为了改善滤波器的性能，需使窗函数谱满足：
◆ 主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带；
◆ 第一副瓣面积相对主瓣面积尽可能小，即能量尽可能集中在主瓣，外泄少，使设计出来
的滤波器的肩峰和余振小。

但上面两个条件是相互矛盾的，实际应用中，折衷处理，兼顾各项指标。

2.2 几种常用的窗口函数
1． 矩形窗
)()(n R n w N = 2． 三角窗
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-≤≤----≤
≤-=12
1
1222
1
01
2)(N n N N n N n N n n w
它是由两个长度为N ／2的矩形窗进行线性卷积而得到。

3． 汉宁（hanning ）窗，也称升余弦窗 10]1
2cos 1[21)(-≤≤--=
N n N n n w π 它的思路是：通过矩形窗谱的合理叠加减小旁瓣面积。

上式可写成
)
(][2
121)(21)(1212n R e e n R n w N N n
j N n
j
N ---+⋅-=ππ
对应的频谱为
)(25.0)(25.0)(5.0)()1
2()1
2(-+
--
--=N w j R N w j R jw
R jw e
W e
W e W e W π
π
式中)(jw
R e W 是矩形窗谱。

当N 较大时，12-N π近似等于N π2，这样)(jw
e W 可看作是三个不同位置矩形窗谱的叠加。

叠加付出的代价是主瓣增宽一倍，得到的好处是旁瓣峰值衰耗由-13dB 增加到-31dB 。

4． 海明（hamming ）窗
10)1
2cos(
46.054.0)(-≤≤--=N n N n
n w π 海明窗是海宁窗的修正，系数稍作变动使叠加后效果更好。

5． 布莱克曼（Blackman ）窗
10)1
4cos(08.0)12cos(
5.042.0)(-≤≤-+--=N n N n
N n n w ππ 是5个矩形窗谱的叠加。

6． 凯塞（Kaiser ）窗
10)(/])11
2(
1[)(020-≤≤---=N n I N n
I n w ββ
相关参数见书上的表。

2.3窗口法的设计步骤和实例
窗口法的基本思想：根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器长度N 和窗函数)(n w ，使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣。

窗口法的设计步骤：
◆ 给定理想频响函数)(jw d e H ；
◆ 根据指标选择窗函数。

确定窗函数类型的主要依据是过度带宽和阻带最小衰耗的指标； ◆ 由)(jw d e H 求)(n h d ，加窗得)()()(n w n h n h d ⋅=
◆ 检验。

由)(n h 求)(jw e H ，求)(jw e H 是否在误差容限之内。

例1：书上354［例7-1］
例2：用窗口法设计一个满足下列指标的线性相位低通FIR 滤波器：
dB R w p p 25.0,2.0==π（通带波动）
（p w 为通带截止频率） dB A w s s 50,3.0==π（阻带最小衰减）
解：海明窗和布莱克曼窗均可提供大于50dB 的衰减。

选择海明窗，因为过渡带窄些，从而
具有较小的阶数。

（1） 给定理想频响)(jw d e H
设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=-π
τw w w w e e H c c jw jw
d ,0,)(，根据已知的条件可近似出π25.02/)(=+=s p c w w w 。

因此
)
()](sin[)(τπτ--=
n n w n h c d ，要使设计的FIR 滤波器为线性相位，则τ为21
-N 。

（2） 确定窗的形状，根据过渡带宽确定N
选择海明窗，其阻带最小衰减为-53dB 。

所要求的过渡带宽π1.0=-=∆p s w w w 。

海明窗过渡带宽满足N w π6.6=
∆，得出=N 66。

τ＝2
1
-N ＝32.5 （3） 确定FIR 滤波器的h(n)
)()]65
2cos(46.054.0[)5.32()]5.32(3.0sin[)()()(n R n
n n n w n h n h N d πππ-⋅--=
⋅=
时域和频域的图形如下：
2.4 线性相位FIR 高通、带通、带阻滤波器的设计
P355~359自学
3. 频率抽样设计法
总结窗函数法：
（1） 从时域角度出发，用)(n h 来近似)(n h d ，从而)(jw
e H 逼近)(jw d e H 。

（2） )(n h 有限长，)(n h d 无限长，存在截取，用什么样的窗来截取会有不同的过渡带、
阻带最小衰减。

相对而言，三角形窗、海明窗、汉宁窗效果比矩形窗好，因为它们在边缘处不是陡然下降的。

目的：设计FIR DF ，只要能求出)(jw
e H 或)(z H 或)(n h 即可。

注意：所设计的滤波器的两个重要指标：过渡带带宽和阻带最小衰减。

已知：理想DF 特性)(jw
d e H 。

思路：(a) )(jw
d e H →)(n h d →)(n h →)(jw
e H (窗函数法)
(b) )(jw d e H →)(k H d →)(k H →)(jw e H (频率抽样法)
步骤：
（1）)(|)(2k H e H d N k w jw
d ==π；给定理想频响)(jw d
e H
（2）令)(k H ＝)(k H d ，)(k H 为实际FIR DF 的)(jw e H 的抽样值，即
)(k H ＝)(k H d ＝N
k w jw d e H π2|)(=，k=0，1，…，N-1（确定采样点数，对理想频响
采样得H(k)）；
（3） 已知)(k H 求)(z H 或)(jw e H ，用内插公式得到FIR 系统函数
根据IDFT 有∑-=-=10
)(1)(N k nk N W k H N n h ， 对于FIR 系统，有∑-=-=10)()(N n n z
n h z H ，结合两式得：
∑-=-----=1
011)(1)(N k k N N
z W k H N z z H （＊） 从上式可看出：当采样点数N 已知后，k N W -便是常数，只要采样值)(k H 确定，则系统函
数)(z H 就可确定，要求的FIR 滤波器就设计出来了。

上式形式的FIR 滤波器很容易以频率采样型结构实现。

频率采样法的步骤可归纳为：
（1） 给定理想频响)(jw d e H ；
（2） 确定采样点数，对理想频响采样得)(k H ；
（3） 代入（＊）式中，即得FIR 系统函数。

下面讨论频率采样法设计出来的FIR DF 的性能。

3.1 线性相位FIR DF 的约束条件 若)(2|)()(k j k k N w jw
d e H e H k H Φ===π，其中k H 、)(k Φ分别是对幅度函数)(w H 和相
位函数)(w Φ的第k 个抽样。

因为)(n h 是实数，所以)(k H 一定满足共轭偶对称式（3-59）：
⎩⎨⎧-Φ-=Φ=-)
()(k N k H H k N k （1） 又因为线性性，)(n h 满足对称性，所以对一般滤波用的第1、2类FIR 滤波器，必须满足条件：
N N k w N k k N
w )1(|21)(2--=--=Φ=ππ （2） 对于正交网络、微分器（第3、4类FIR 滤波器，必须满足条件： N N k w N k k N w )1(2|212)(2--=--
=Φ=ππππ （3） 综合以上条件，只有当)(k H 满足式（1），)(k Φ满足式（2）、（3）之一时，才有线性相位。

如果理想频响)(jw d e H 给得不好或采样点位置安排得不恰当，都将得不到线性相位。

只有当)(jw d e H 满足上面的约束条件时，对[0，π]区间上抽取一半频率样点，而其余的一半根据约束条件强行推出。

3.2 FIR DF 的频率响应
根据设计出来的)(z H ，可得出频响
)(jw
e H ∑-=----=10/21)(1N k jw N k j jwN
e e k H N e π ＝∑-=-----⋅10)21)(2()]2(21sin[)]2(2sin[
1)(N k N k N w j e k N w k N w N N k H πππ ＝∑-=-
Φ10)2()(N k k N
w k H π 其中：)2(k N w π-Φ＝)21)(2()]2(21sin[)]2(2sin[
1-----⋅N k N w j e k N w k N w N N πππ。

上式是由离散谱求连续谱的内插公式，)(w Φ是内插函数，它的图形近似sinc[.]。

滤波器频谱)(jw e H 等于以理想谱抽样值)(k H 为权值的、以k N
π2为中心位置的N 个sinc[.]函数之和。

由采样点恢复出来的谱
)(jw e H 与理想谱)(jw d e H 相比，
在采样点上是完全吻合的，这是由sinc[.]函数特点决定的，它在k N
π2（0≠k ）处的幅度都是零，一个样点扥诶插函数对其它样点的值没有任何干扰。

但在两样点之间，)(jw e H 的值是各样点的内插函数在该处值的叠加，与)(jw d e H 相比可能有误差。

采样点之间频谱误差的大小与样点的疏密有关，更与相邻两个样点值变化的大小有关。

理想频谱曲线越光滑平坦，样值变化越小，则误差越小；采样点越密，相当于相邻样值的变化越小，误差越小。

如果理想频响曲线变化剧烈，甚至有不连续点，则内插所恢复的值与理想值的误差就很大，在不连续点旁边就会出现由sinc[.]函数造成的肩峰和振荡，这和窗口法是一样的。

3.3 改善滤波器性能的措施
如果给出的理想低通滤波器在通带的频谱)(jw d e H 等于1而阻带为0，则不论样点N 取
得如何密，在临界频率处总有两个幅度突变的样点，它们之间的落差为1。

于是阻带边缘产生反冲和阻尼振荡，其最大幅度取决于sinc[.]函数，是个固定的值。

这样设计出来的滤波器的阻带最小衰耗固定为-20dB ，与矩形窗一样。

◆ 增加采样点数N 不能改善阻带最小衰耗。

改善阻带衰耗的唯一办法是加宽过渡带。

具
体方法是：在通、阻带交界处人为地安排一到几个过渡点，其值介于零和1之间，这样可减小样点间的落差，使过渡平缓，反冲减小，阻带最小衰耗增大。

经验表明：每多加一个过渡点，过渡带宽增加N /2π，最优情况下阻带衰耗可增大20～30dB 。

◆ 兼顾过渡带宽和阻带最小衰减。

增加采样点，同时在通、阻带交界处安排过渡点。

◆ 频率采样法特别适用于设计窄带选频滤波器。

（回顾窄带选频滤波器的特点）因为这时
只有少数几个非零值的)(k H ，计算量大为降低。

但由于频率抽样点的分布必须符合一定规律，在规定通、阻带截止频率方面不够灵活。

比如当截止频率c w 不是N /2π整数倍时会产生较大逼近误差，因而该方法的应用不及窗口法普遍。

其中：⎩⎨⎧-=-===1
,...,1),(0,0)()(*/2N k k N H k e H k H N k j π（画出在单位圆上的采样可知） )(jw e H ＝∑-=-
Φ1
0)2()(N k k N w k H π )2(k N w π-Φ＝)21)(2()]2(21sin[)]2(2sin[
1-----⋅N k N w j e k N w k N w N N πππ（P113式3-93，3-95） 得
)(jw e H ＝∑-=-----⋅⋅⋅10121)]2(21sin[)]2(2sin[
1)
(N k k N N j w N j k N w k N w N e e N k H πππ，式中k N N j w N j e e π121---⋅只与相位有关，)]2(21sin[)]2(2sin[
k N w k N w N ππ--与幅度有关。

下面画出)]2(21sin[)]2(2sin[
k N
w k N w N ππ--的图形。

因为对k 求和，所以共有N 项sin()sin()，分别为： ]21sin[]2sin[w w N ，)]2(21sin[)]2(2sin[N w N w N ππ--，。

，))]1(2(21sin[))]1(2(2sin[----N N
w N N w N ππ。

在k N π2点上，只有一个抽样值，即在抽样点上，)(jw e H 在k N w π2=上就等于)(k H ，在两个抽样点的频率之间的值为各抽样函数的加权值。

对)(jw d e H 的一个周期进行抽样，抽样点间间隔为
N π2，因为具有对称性，所以考虑半个周期π~0即可。

结论：用)(jw d e H →)(k H d →)(k H →)(jw e H ，)(jw e H 在k N
w π2=上与)(jw d e H 在k N
w π2=上一样，在其他w 值处的值是N 个抽样函数的加权叠加而成。

线性相位：（只要是FIR DF ，就容易设计成相位线性）
对于线性相位滤波器，有
1,...,1,0),1()(-=--±=N n n N h n h
其中正号对应1型2型，负号对应3型4型滤波器。

这样)(k H 可表示成
)(k H ＝)()2(k H j r e N
k H ∠π （1）N n N h n h ),1()(--=为奇数，则
)(jw e H ＝w N j e
w H 21)(--，其中)(w H 关于π=w 对称，即)(w H ＝)2(w H -π，令k N
w π2=时有 )(jw e H ＝k k j k j k N j e H e k N
H e H θθππ==)2()(2 )(w H ＝)2(w H -π
k N k H H k N N H k N H k N H -=⇒-=-=⇒)](2[)22()2(ππππ （2）N n N h n h ),1()(--=为偶数，则)(w H ＝－)2(w H -πk N k H H --=⇒
最后可计算)()(k H IDFT n h =。

从而得出H(z)或)(jw e H 。

也可以根据对称性对内插公式进行化简得出H(z)或)(jw e H 的计算公式。

如书上（7-111）式和（7-112）式。

频率抽样设计法的基本思想：给定理想滤波器)(jw d e H ，先选择滤波器长度N ，然后对)(jw d e H 在0到2π上的N 个等间隔频率上采样，根据式子
)(jw e H ∑-=----=10/21)(1N k jw N k j jwN
e e k H N e π，通过对样本)(k H 的内插，得到实际响应)(jw e H 。

脉冲响应h(n)可根据)()(k H IDFT n h =得出。

如图所示：
图：频率采样技术图解
从上图可以看出：
◆ 在采样频率上的逼近误差为零，即在采样点上，理想滤波器和实际滤波器的相应幅度值
一样；
◆ 其余频率上的逼近误差取决于理想响应的形状：理想响应的轮廓越陡，则逼近误差越大； ◆ 靠近带的边缘的误差越大，在带内的误差越小。

例1：用频率抽样设计法设计一个满足下列指标的线性相位低通FIR 滤波器：
dB R w p p 25.0,2.0==π（通带波动）
（p w 为通带截止频率） dB A w s s 50,3.0==π（阻带最小衰减）
解：选择抽样点数为N=20。

则在p w 、s w 处分别有一个抽样样本，对应的3,2==k k 。

即22022.0⋅==ππp w ，320
23.0⋅==ππs w 。

因此在通带［p w w ≤≤0］上有3个样本点，在阻带［π≤≤w w s ］上有7个样本点。

因为N=20，5.92
1=-=N α，这是一个2型线性相位滤波器。

例2：设计一个线性相位FIR 数字低通滤波器，π5.0=c w
（1） 取N ＝33，不加过渡点；
（2） 取N ＝33，加一个过渡点；
（3） 取N ＝65，加二个过渡点。

解：（1）采样频率间隔为33/2/2ππ=N ，c w 的位置在25.8)33/2/(5.0=ππ，即8=k 和9=k 之间，其对称点位置是)(k N -，即24)933(=-=k 和25)833(=-=k 之间。

对理想低通采样，可得
⎩⎨⎧≤≤≤≤=24
9,080,1k k H k 和160,3332)1()(≤≤-=--=Φk k N N k k ππ 利用共轭对称性，可得32~17=k 点的采样值。

以上数据可综合成
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=-3225,24
9,080,)(33323332
k e k k e k H k j k j ππ 代入式)(jw e H ＝∑-=-
Φ10)2()(N k k N
w k H π中，可得)(jw e H 。

见图。

（2）加一个过渡点
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=≤≤=≤≤=---3225,24,5.02310,09,5.080,)(3332333233323332
k e
k e k k e k e
k H k j k j k j k j ππππ
代入计算)(jw e H 的式中，可得)(jw
e H 。

见图。

（3）取N ＝65点，c w 应在25.16)65/2/(5.0=ππ，即16=k 和17=k 之间，其对称点为48、49。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤==≤≤=---3219,018,1065.017,5886.0160,)(656465646564
k k e k e
k e k H k j k j k j πππ
以上列出一半点，另一半点模相等，幅角相反。

代入计算)(jw e H 的式中，可得)(jw e H 。

见图。

三种情况下过渡带宽分别为：,65
8,336,334πππ最小阻带衰耗分别为：20dB ，40dB ，60dB 。

滤波器阶数分别为：33阶，33阶，65阶。

结论：由此例可见，同时采取增大N 和增多过渡点是有效的。

例3：用频率抽样法设计一个理想带通滤波器，其通带频率为500-600Hz ，采样频率是Hz f s 3300=，频域采样点数N 为33。

解：先计算通带的数字频率和序号：
ππππππ33123300/6002/233103300/5002/22211=⋅===
⋅==s s f f w f f w 频率样点间隔是332π，所以通带的样点序号k 是5)332/(1=πw 至6)33
2/(2=πw ，其对称点位置是28,27==k k 。

比较IIR 和FIR 的优缺点：
IIR ：1）可利用成熟的AF 理论；
2）相同的指标下，实现采用的滤波器的阶次较低
3）要么有混叠现象（使幅度特性难于满足要求），要么有相位的非线性（在现代数字系统中，数据传输、图像处理等都要求线性相位）
FIR：1）幅度特性可以随意设计；
2）可有严格的线性相位特性；
3）h(n)为有限长，不存在稳定性问题；
4）可借助FFT来实现；
5）实现采用的滤波器的阶次较高，因为多采用非递归结构。