巴特沃斯非线性混合滤波器图像滤波方法设计
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H (u v) = aH l (u v) + (1 - a) H h (u v)， (0 < a < 1)
pre-processing 图像预处理
IDFT H （u， v） H （u， v） F （u， v） F （u， v） post-processing 傅里叶 傅里叶 滤波函数 滤波运算 变换 逆变换 图像后处理
1
引言
在图像获取、 存储及处理过程中， 各种干扰因素的存在，
达不到满意的效果。针对这一问题， 近年来， 学者们提出了许 多改进的噪声滤除算法[1-4]。提出一种建立在巴特沃斯 （Butterworth） 高、 低通滤波器基础之上， 可以同时滤除多种噪声的非 线性混合滤波器的方法， 其滤波效果优于单纯的 Butterworth 高、 低滤波器， 同时易于实现、 计算量也不太复杂。
图1
图像的频率域处理的一谱中的低频分量， 图像 的边缘、 细节部分对应较高频率的分量， 而噪声的频谱具有丰 富的高频分量。对高、 低频的分量需作不同的处理， 以下对低 通、 高通滤波器作简单介绍。
（6）
α为滤波器比例调节系数， 上式中， 低通 Butterworth 滤波器传
常取 n=1， 即二阶低通滤波。对应所用 450×450 分辨率图例来 （3） 说， Butterworth 低通滤波器包含的能量与 D 0的大致关系为： 若
D l0 =5， 15， 30， 80， 230， 则 包 含 的 图 像 功 率 分 别 为 92.0% ， D l0=230， 94.6% ， 96.4% ， 98.0% ， 99.5% 。现取 D h0=30， 滤波器比 a取值 例调节系数a=0.8， 1-a=0.2。对于噪声比较严重的图像， a 取值 不可以靠近 0， 以免放大噪声； 而对于噪声较轻的图像，
h( x y)的卷积运算， 可以在频率域中通过F (u v)乘以H (u v)来得
到相同的结果。在频率域对图像进行滤波， 就是先选择一个滤 波器传递函数的方式来修改 F (u v)， 然后再计算 H (u v) F (u v)
作者简介： 王大红 （1981-） ， 女， 硕士在读， 主要研究方向： 图形图像处理， 数据挖掘； 胡茂林 （1965-） ， 男， 博士， 主要研究方向： 计算生物学， 计算机 视觉和模式识别， 无线传感网络， 合成孔径雷达图像处理。 收稿日期： 2009-01-08 修回日期： 2009-04-02
2
频域处理的一般方法
空间域与频率域滤波的基础都是卷积定理 （其一） ：
f ( x y)*h(h γ) Û F (u v) H (u v)
（1）
上式中双箭头两端的表达式组成了傅里叶变换对， 表明两个 空间函数的卷积可以通过计算其傅里叶变换的乘积的逆变换 得到。也就是说， 在空间域中对滤波图像 f ( x y)与滤波掩模
应当靠近 0， 以尽量保留图像细节。 按上述取值， Butterworth 低通滤波器、 Butterworth 高通滤 波器、 Butterworth 非线性混合滤波器的传递函数的径向截面 示意图如图 2~4 所示。
D(u v)及n的含义同 Butterworth 低通滤波器。同样， 式中 D 0、 n
线性混合滤波器图像滤波方法， 并利用 Matlab 软件对这 3 种滤波器进行了对比实验， 从直观上进行了算法验证。此外， 还采用信 噪比 SNR、 信噪比改善因子 R 指标， 分别利用这 3 种滤波器对加入高斯噪声、 椒盐噪声和随机噪声的图像进行对比实验， 从统计学 角度再次进行算法验证。实验结果表明， 这种非线性滤波器可以在滤除加性噪声的同时， 保留图像细节， 具备 Butterworth 低通、 高通滤波器各自的优点， 同时该滤波器计算也不太复杂， 是一种易于实现的有效方法。 关键词： 巴特沃斯滤波器； 频率域； 直方图； 信噪比 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2010.21.056 文章编号： 1002-8331 （2010） 21-0195-04 文献标识码： Ａ 中图分类号： TP391.41
196
2010， 46 （21）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 将因部分高频信号被衰减而比原始图像少一些尖锐的细节部 分， 而高通滤波后的图像将因减少了部分灰度级的变化并突
输出图像 g （x， y）
的傅里叶逆变换， 就可以得到与空间域中相应滤波后同样的 图像。频率域滤波的一般过程如图 1 所示。
（2）
式中 D 0 为截止频率， D(u v) = u2 + v 2 ， 在 D(u v) = D 0 处，H =
1H ； n为阶数， 取正整数， 用来控制频率衰减速度。通常， 低 2 max 通滤波器的截止频率选择使 H (u v) 下降到其最大值的 1/ 2
高通 Butterworth 滤波器传递函数为： 1 H h (u v) = 2n é D h0 ù 1 + 0.414 ê ú ëD(u v)û
会使得图像有效数据与噪声交织在一起， 为此， 需对图像进行 滤波处理， 尽可能地保留重要的信息特征， 如边缘或轮廓， 将 图像转换成更适合于人或机器进行分析与处理的形式， 以提 高图像的利用价值。 常见的滤波方法有空间域滤波与频率域滤波， 即在空间 域直接对图像各像素作空间变换进行处理， 或者是将图像数 据经过傅里叶变换后转到频率域中对频谱成分进行处理。相 比较而言， 空间域滤波是一种邻域运算， 而频率域滤波更为直 观。频率域滤波的关键在于是选择滤波器传递函数， 以便按 照指定的方式修改傅里叶变换函数， 然后通过取结果的傅里 叶逆变换来获得处理后的输出图像， 达到图像增强的目的。 图像滤波若处理不当， 就会使图像边界轮廓、 线条等变得 模糊不清； 而所有单纯采用一种基本类型滤波器的方法， 往往
（8）
高通滤波器 H h (u v)的截止频率为 D h0； 低通滤波器 D l (u v)的截
D h 0 < D l0 。 D l0、 D h0为以滤波器中心为圆心的圆的 止频率为 D l0， D(u v)为点(u v)到滤波器中心的距离。实际应用中， 半径， 通
处， 此时的传递函数可以修改为： 1 1 H (u v) = = 2n 2n éD(u, v)ù éD(u, v)ù 1 + ( 2 - 1) ê 1 + 0.414 ú ê ú ë D0 û ë D0 û
当 n=1 时， Butterworth 低通滤波器无 “振铃” 现象， 而且可以提 高图像的清晰度； 当n=2 时， 有微弱 “振铃” ； 当n较大时， “ 振铃” 明显， 更加近似理想低通滤波器。
2.2
Butterworth 高通滤波器
n阶高频滤波器取 Butterworth 高通滤波器， 其传递函数为： 1 H (u v) = （4） 2n é D0 ù 1+ ê ú ëD(u, v)û
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
2010， 46 （21）
195
巴特沃斯非线性混合滤波器图像滤波方法设计
王大红， 胡茂林 WANG Da-hong， HU Mao-lin
安徽大学 数学科学学院， 合肥 230039 School of Mathematical Sciences， Anhui University， Hefei 230039， China E-mail： maths.good@ WANG Da-hong， HU Mao-lin.Image processing method using mixed non-linear Butterworth puter Engineering and Applications， 2010， 46 （21） ： 195-198. Abstract： This paper describes a kind of mixed non-linear Butterworth filter based on the detailed analysis of the Butterworth low pass filter and that of the Butterworth high pass filter， and also， experiments are executed separately using these three types of filter to verify the intuitive validity of them.Besides， the criterion of Signal-to-Noise Rate SNR and signal-to-noise improving factor R are implied in the experiments in which the images are mixed with Gaussian， salt & pepper， speckle noises to compare the filtering effects of them from the view of statistics.The results show that the mixed non-linear Butterworth filter can depress the noise， maintain the details of the image， and it takes both the merits of Butterworth low-pass filter and high-pass filter， and also， the calculation is not complex， and therefore it turns out to be an active method to be realized. Key words：Butterworth filter； frequency domain； histogram； signal-to-noise rate 摘 要： 在详细分析频率域 Butterworth 低通、 高通滤波器构造的基础上， 提出一种基于 Butterworth 低通、 高通滤波器基础上的非
阶高通滤波器 Butterworth 高通滤波器的传递函数也可以修改为： 1 1 H (u v) = = （5） 2n 2n D é é D0 ù 0 ù 1 + ( 2 - 1) ê 1 + 0.414 ê ú ú ëD(u, v)û ëD(u, v)û
4 实验结果与分析 4.1 实验结果
以 下 利 用 MatLab 7.0 软 件 对 花 粉 颗 粒 图 像 （分 辨 率 为 450×450） 进行 Butterworth 非线性混合滤波处理。原始图像如 图5 （a） 所示， 其灰度直方图如图 5 （b） 所示， 像素的灰度值偏暗 且动态范围较低， 图像细节信息和整体视觉效果都比较差。 图6 （a） 为单独使用前述 Butterworth 低通滤波器处理得到 的处理结果， 其灰度直方图如图 6 （b） 所示， 像素的灰度值得以 拓宽， 图像的动态范围、 细节信息和整体视觉效果都有较大改善。
图像 （ f x， y） DFT
出过渡部分 （如边缘） 灰度级的细节部分而更为锐化。 高通滤波器不能抑制噪声， 若简单地使用高通滤波器， 图 像质量可能由于噪声污染而变差。为了既加强图像细节又抑 制噪声， 构造了一种采用 Butterworth 低通滤波器 H l (u v)、 Butterworth 高通滤波器 H h (u v)构成的非线性混合滤波器， 该滤波 器的传递函数为：
图像fpreprocessing图像预处理变换滤波函数滤波运算逆变换图像后处理输出图像gxypostprocessing图像的频率域处理的一般过程图1009080706050403100200300400500600700800900butterworth低通滤波器截面图1002003004005006007008009000001009080706050403020110020030040050060070080090000010090807060504butterworth非线性混合滤波器截面图19620104621方差图9c3种噪声对随机噪声的r值对比图9b3种滤波器对椒盐噪声的r值对比图9a3种滤波器对高斯噪声的r值对比噪声密度d图7a为单独使用前述butterworth高通滤波器处理得到的处理结果其灰度直方图如图7b所示像素的灰度值也得以拓宽但较为零散图像的动态范围细节信息和整体视觉效果也有较大改善图像较为锐化
递函数为：
H l (u v) = 1 éD(u v)ù 1 + 0.414 ê ú ë D l0 û
2n
2.1
Butterworth 低通滤波器
n阶低通滤波器取 Butterworth 低通滤波器， 这种滤波器非
（7）
锐截止， 传递函数为： 1 H (u v) = 2n éD(u, v)ù 1+ ê ú ë D0 û
pre-processing 图像预处理
IDFT H （u， v） H （u， v） F （u， v） F （u， v） post-processing 傅里叶 傅里叶 滤波函数 滤波运算 变换 逆变换 图像后处理
1
引言
在图像获取、 存储及处理过程中， 各种干扰因素的存在，
达不到满意的效果。针对这一问题， 近年来， 学者们提出了许 多改进的噪声滤除算法[1-4]。提出一种建立在巴特沃斯 （Butterworth） 高、 低通滤波器基础之上， 可以同时滤除多种噪声的非 线性混合滤波器的方法， 其滤波效果优于单纯的 Butterworth 高、 低滤波器， 同时易于实现、 计算量也不太复杂。
图1
图像的频率域处理的一谱中的低频分量， 图像 的边缘、 细节部分对应较高频率的分量， 而噪声的频谱具有丰 富的高频分量。对高、 低频的分量需作不同的处理， 以下对低 通、 高通滤波器作简单介绍。
（6）
α为滤波器比例调节系数， 上式中， 低通 Butterworth 滤波器传
常取 n=1， 即二阶低通滤波。对应所用 450×450 分辨率图例来 （3） 说， Butterworth 低通滤波器包含的能量与 D 0的大致关系为： 若
D l0 =5， 15， 30， 80， 230， 则 包 含 的 图 像 功 率 分 别 为 92.0% ， D l0=230， 94.6% ， 96.4% ， 98.0% ， 99.5% 。现取 D h0=30， 滤波器比 a取值 例调节系数a=0.8， 1-a=0.2。对于噪声比较严重的图像， a 取值 不可以靠近 0， 以免放大噪声； 而对于噪声较轻的图像，
h( x y)的卷积运算， 可以在频率域中通过F (u v)乘以H (u v)来得
到相同的结果。在频率域对图像进行滤波， 就是先选择一个滤 波器传递函数的方式来修改 F (u v)， 然后再计算 H (u v) F (u v)
作者简介： 王大红 （1981-） ， 女， 硕士在读， 主要研究方向： 图形图像处理， 数据挖掘； 胡茂林 （1965-） ， 男， 博士， 主要研究方向： 计算生物学， 计算机 视觉和模式识别， 无线传感网络， 合成孔径雷达图像处理。 收稿日期： 2009-01-08 修回日期： 2009-04-02
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频域处理的一般方法
空间域与频率域滤波的基础都是卷积定理 （其一） ：
f ( x y)*h(h γ) Û F (u v) H (u v)
（1）
上式中双箭头两端的表达式组成了傅里叶变换对， 表明两个 空间函数的卷积可以通过计算其傅里叶变换的乘积的逆变换 得到。也就是说， 在空间域中对滤波图像 f ( x y)与滤波掩模
应当靠近 0， 以尽量保留图像细节。 按上述取值， Butterworth 低通滤波器、 Butterworth 高通滤 波器、 Butterworth 非线性混合滤波器的传递函数的径向截面 示意图如图 2~4 所示。
D(u v)及n的含义同 Butterworth 低通滤波器。同样， 式中 D 0、 n
线性混合滤波器图像滤波方法， 并利用 Matlab 软件对这 3 种滤波器进行了对比实验， 从直观上进行了算法验证。此外， 还采用信 噪比 SNR、 信噪比改善因子 R 指标， 分别利用这 3 种滤波器对加入高斯噪声、 椒盐噪声和随机噪声的图像进行对比实验， 从统计学 角度再次进行算法验证。实验结果表明， 这种非线性滤波器可以在滤除加性噪声的同时， 保留图像细节， 具备 Butterworth 低通、 高通滤波器各自的优点， 同时该滤波器计算也不太复杂， 是一种易于实现的有效方法。 关键词： 巴特沃斯滤波器； 频率域； 直方图； 信噪比 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2010.21.056 文章编号： 1002-8331 （2010） 21-0195-04 文献标识码： Ａ 中图分类号： TP391.41
196
2010， 46 （21）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 将因部分高频信号被衰减而比原始图像少一些尖锐的细节部 分， 而高通滤波后的图像将因减少了部分灰度级的变化并突
输出图像 g （x， y）
的傅里叶逆变换， 就可以得到与空间域中相应滤波后同样的 图像。频率域滤波的一般过程如图 1 所示。
（2）
式中 D 0 为截止频率， D(u v) = u2 + v 2 ， 在 D(u v) = D 0 处，H =
1H ； n为阶数， 取正整数， 用来控制频率衰减速度。通常， 低 2 max 通滤波器的截止频率选择使 H (u v) 下降到其最大值的 1/ 2
高通 Butterworth 滤波器传递函数为： 1 H h (u v) = 2n é D h0 ù 1 + 0.414 ê ú ëD(u v)û
会使得图像有效数据与噪声交织在一起， 为此， 需对图像进行 滤波处理， 尽可能地保留重要的信息特征， 如边缘或轮廓， 将 图像转换成更适合于人或机器进行分析与处理的形式， 以提 高图像的利用价值。 常见的滤波方法有空间域滤波与频率域滤波， 即在空间 域直接对图像各像素作空间变换进行处理， 或者是将图像数 据经过傅里叶变换后转到频率域中对频谱成分进行处理。相 比较而言， 空间域滤波是一种邻域运算， 而频率域滤波更为直 观。频率域滤波的关键在于是选择滤波器传递函数， 以便按 照指定的方式修改傅里叶变换函数， 然后通过取结果的傅里 叶逆变换来获得处理后的输出图像， 达到图像增强的目的。 图像滤波若处理不当， 就会使图像边界轮廓、 线条等变得 模糊不清； 而所有单纯采用一种基本类型滤波器的方法， 往往
（8）
高通滤波器 H h (u v)的截止频率为 D h0； 低通滤波器 D l (u v)的截
D h 0 < D l0 。 D l0、 D h0为以滤波器中心为圆心的圆的 止频率为 D l0， D(u v)为点(u v)到滤波器中心的距离。实际应用中， 半径， 通
处， 此时的传递函数可以修改为： 1 1 H (u v) = = 2n 2n éD(u, v)ù éD(u, v)ù 1 + ( 2 - 1) ê 1 + 0.414 ú ê ú ë D0 û ë D0 û
当 n=1 时， Butterworth 低通滤波器无 “振铃” 现象， 而且可以提 高图像的清晰度； 当n=2 时， 有微弱 “振铃” ； 当n较大时， “ 振铃” 明显， 更加近似理想低通滤波器。
2.2
Butterworth 高通滤波器
n阶高频滤波器取 Butterworth 高通滤波器， 其传递函数为： 1 H (u v) = （4） 2n é D0 ù 1+ ê ú ëD(u, v)û
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
2010， 46 （21）
195
巴特沃斯非线性混合滤波器图像滤波方法设计
王大红， 胡茂林 WANG Da-hong， HU Mao-lin
安徽大学 数学科学学院， 合肥 230039 School of Mathematical Sciences， Anhui University， Hefei 230039， China E-mail： maths.good@ WANG Da-hong， HU Mao-lin.Image processing method using mixed non-linear Butterworth puter Engineering and Applications， 2010， 46 （21） ： 195-198. Abstract： This paper describes a kind of mixed non-linear Butterworth filter based on the detailed analysis of the Butterworth low pass filter and that of the Butterworth high pass filter， and also， experiments are executed separately using these three types of filter to verify the intuitive validity of them.Besides， the criterion of Signal-to-Noise Rate SNR and signal-to-noise improving factor R are implied in the experiments in which the images are mixed with Gaussian， salt & pepper， speckle noises to compare the filtering effects of them from the view of statistics.The results show that the mixed non-linear Butterworth filter can depress the noise， maintain the details of the image， and it takes both the merits of Butterworth low-pass filter and high-pass filter， and also， the calculation is not complex， and therefore it turns out to be an active method to be realized. Key words：Butterworth filter； frequency domain； histogram； signal-to-noise rate 摘 要： 在详细分析频率域 Butterworth 低通、 高通滤波器构造的基础上， 提出一种基于 Butterworth 低通、 高通滤波器基础上的非
阶高通滤波器 Butterworth 高通滤波器的传递函数也可以修改为： 1 1 H (u v) = = （5） 2n 2n D é é D0 ù 0 ù 1 + ( 2 - 1) ê 1 + 0.414 ê ú ú ëD(u, v)û ëD(u, v)û
4 实验结果与分析 4.1 实验结果
以 下 利 用 MatLab 7.0 软 件 对 花 粉 颗 粒 图 像 （分 辨 率 为 450×450） 进行 Butterworth 非线性混合滤波处理。原始图像如 图5 （a） 所示， 其灰度直方图如图 5 （b） 所示， 像素的灰度值偏暗 且动态范围较低， 图像细节信息和整体视觉效果都比较差。 图6 （a） 为单独使用前述 Butterworth 低通滤波器处理得到 的处理结果， 其灰度直方图如图 6 （b） 所示， 像素的灰度值得以 拓宽， 图像的动态范围、 细节信息和整体视觉效果都有较大改善。
图像 （ f x， y） DFT
出过渡部分 （如边缘） 灰度级的细节部分而更为锐化。 高通滤波器不能抑制噪声， 若简单地使用高通滤波器， 图 像质量可能由于噪声污染而变差。为了既加强图像细节又抑 制噪声， 构造了一种采用 Butterworth 低通滤波器 H l (u v)、 Butterworth 高通滤波器 H h (u v)构成的非线性混合滤波器， 该滤波 器的传递函数为：
图像fpreprocessing图像预处理变换滤波函数滤波运算逆变换图像后处理输出图像gxypostprocessing图像的频率域处理的一般过程图1009080706050403100200300400500600700800900butterworth低通滤波器截面图1002003004005006007008009000001009080706050403020110020030040050060070080090000010090807060504butterworth非线性混合滤波器截面图19620104621方差图9c3种噪声对随机噪声的r值对比图9b3种滤波器对椒盐噪声的r值对比图9a3种滤波器对高斯噪声的r值对比噪声密度d图7a为单独使用前述butterworth高通滤波器处理得到的处理结果其灰度直方图如图7b所示像素的灰度值也得以拓宽但较为零散图像的动态范围细节信息和整体视觉效果也有较大改善图像较为锐化
递函数为：
H l (u v) = 1 éD(u v)ù 1 + 0.414 ê ú ë D l0 û
2n
2.1
Butterworth 低通滤波器
n阶低通滤波器取 Butterworth 低通滤波器， 这种滤波器非
（7）
锐截止， 传递函数为： 1 H (u v) = 2n éD(u, v)ù 1+ ê ú ë D0 û