2013届高考数学一轮复习课时练 第1课时 集合 新人教版 理

2013届高考一轮数学复习理科课时练（人教版）
第1课时 集合
1．(2011·大纲全国)设集合U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则∁U (M ∩N )＝( )
A ．{1,2}
B ．{2,3}
C ．{2,4}
D ．{1,4} 答案 D
解析 依题意得，M ∩N ＝{2,3}，∁U (M ∩N )＝{1,4}，故选D.
2．(2011·某某)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1
x
，x >2}，则∁U P ＝( )
A ．[12，＋∞) B．(0，12
)
C ．(0，＋∞) D．(－∞，0][1
2，＋∞)
答案 A
解析 因为函数y ＝log 2x 在定义域内为增函数，故U ＝{y |y >0}，函数y ＝1
x
在(0，＋∞)
内为减函数，故集合P ＝{y |0<y <12}，所以∁U P ＝{y |y ≥12
}．
3．(2011·)已知集合P ＝{x |x 2
≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1] B. [1，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 答案 C
解析 由P ∪M ＝P ⇒M ⊆P ，即a ∈P ，又P ＝{x |－1≤x ≤1}，因此a 的取值X 围为[－1,1]，故选C.
4．集合M ＝{x |x ＝1＋a 2
，a ∈N *
}，P ＝{x |x ＝a 2
－4a ＋5，a ∈N *
}，则下列关系中正确的是( )
A ．M P
B ．P M
C ．M ＝P
D ．M P 且P
M
答案 A
解析 P ＝{x |x ＝1＋(a －2)2
，a ∈N *
}，当a ＝2时，x ＝1，而M 中无元素1，P 比M 多一个元素．
5.如图所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义集合AB 为阴影部分所表示的集合．若
x ，y ∈R ，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则AB ＝( )
A ．{x |0＜x ＜2}
B ．{x |1＜x ≤2}
C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2} D．{x |0≤x ≤1或x ＞2} 答案 D
解析 依据定义，AB 就是将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合．B ＝{y |y ＞1}，依据定义得：AB ＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．
6．(2011·某某)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠Ø的集合S 的个数是( )
A ．57
B ．56
C ．49
D ．8 答案 B
解析 由题意知，集合S 的个数为26
－23
＝64－8＝56.
7．(2012·某某模拟)设集合P ＝{(x ，y )|x ＋y <4，x ，y ∈N *
}，则集合P 的非空子集个数是( )
A ．2
B ．3
C ．7
D ．8 答案 C
解析 当x ＝1时，y <3，又y ∈N *
，因此y ＝1或y ＝2；当x ＝2时，y <2，又y ∈N *
，因此y ＝1；当x ＝3时，y <1，又y ∈N *
，因此这样的y 不存在．综上所述，集合P 中的元素有(1,1)、(1,2)、(2,1)，集合P 的非空子集的个数是23
－1＝7，选C.
8．(2011·某某)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2
x |，x ∈R }，N ＝{x ||x －1i |<2，i 为虚
数单位，x ∈R }，则M ∩N 为( )
A ．(0,1)
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．[0,1] 答案 C
解析 对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式x 2
＋1<2，即x 2
<1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．正确选项为
C.
9．(2011·某某)已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．
答案 3
解析 A ＝{x |－1<x <3}，A ∩Z ＝{0,1,2}，A ∩Z 中所有元素之和等于3. 10．(2011·《高考调研》原创题)已知集合A 、B 与集合AB 的对应关系如下表：
________.
答案 {2011,2012}
11．a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a
，b }，则b －a 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 答案 C
解析 利用集合相等的定义，后面集合中含有元素0，前面集合中也必含有元素0，且只可能a ＋b 或a 为0.注意后面集合中含有元素b a
，故a ≠0，只能a ＋b ＝0，即b ＝－a .集合变成了{1,0，a }＝{0，－1，－a }，显然a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2，选C.
12．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪
B }，则A *B 中元素的个数为________．
答案 10
解析 由题知，A ∩B ＝{0,1}，A ∪B {－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共10个，即A *B 中的元素有10个．
13．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2
}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈A ∩B ；(2){9}＝A ∩B . 答案 (1)a ＝5或a ＝－3 (2)a ＝－3 解析 (1)∵9∈A ∩B 且9∈B ，∴9∈A . ∴2a －1＝9或a 2
＝9.∴a ＝5或a ＝±3. 而当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，故舍去． ∴a ＝5或a ＝－3.
(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A ∩B . ∴a ＝5或a ＝－3.
而当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}， 此时A ∩B ＝{－4,9}≠{9}，故a ＝5舍去． ∴a ＝－3.
讲评 9∈A ∩B 与{9}＝A ∩B 意义不同，9∈A ∩B 说明9是A 与B 的一个公共元素，但A 与B 允许有其他公共元素．而{9}＝A ∩B 说明A 与B 的公共元素有且只有一个9.
14．已知集合A ＝{x |x 2
－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，某某数m 的取值X 围．
答案 m ∈(－∞，3]
解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ＝{x |－2≤x ≤5}， 当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，解得m <2.
当B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，
2m －1≤5.
解得2≤m ≤3.
综上可知，m ∈(－∞，3]．
讲评 空集在以下两种情况下容易忘记：①在以方程的根、不等式的解为元素构成的集合中，方程或不等式无解时的情况容易漏掉；②在A ∪B ＝B 、A ∩B ＝A 中，容易忽视A ＝∅的情况．
15．已知集合A ＝{x |x 2
－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )＜0}． (1)若A
B ，求a 的取值X 围；
(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值X 围；
(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的取值X 围． 答案 (1)43≤a ≤2 (2)a ≤2
3或a ≥4 (3)3
解析 ∵A ＝{x |x 2
－6x ＋8＜0}，
∴A ＝{x |2＜x ＜4}． (1)当a ＞0时，
B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≤2
3a ≥4⇒4
3
≤a ≤2， 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
3a ≤2
a ≥4⇒a ∈∅.
∴4
3≤a ≤2时，A B . (2)要满足A ∩B ＝∅，
当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，a ≥4或3a ≤2， ∴0＜a ≤2
3
或a ≥4.
当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥4
3.
∴a ＜0时成立．验证知当a ＝0时也成立． 综上所述，a ≤2
3
或a ≥4时，A ∩B ＝∅.
(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立， ∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}， 而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}， 故所求a 的值为3.
1．(2011·某某)设集合M ＝{x |x 2
＋x －6<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．(2,3] D ．[2,3] 答案 A
解析 集合M ＝(－3,2)，M ∩N ＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)． 2．若P ＝{x |x <1}，Q ＝{x |x >－1|，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P 答案 C
解析 由题意，∁R P ＝{x |x ≥1}，画数轴可知，选项A ，B ，D 错，故选C.
3．设全集U ＝Z ，集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝4m ，m ∈Z }，则U 等于( ) A ．P ∪Q B ．(∁U P )∪Q
C ．P ∪(∁U Q )
D ．(∁U P )∪(∁U Q ) 答案 C
4．设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有________．
①A∪B＝A；②∁U A∩B＝∅
②∁U A⊆∁U B；④A∪∁U B＝U
答案①②③④
解析由韦恩图知①②③④均正确．
5．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝Ø，则m的值是________．
答案1或2
思路本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁U A)∩B＝Ø对集合A，B 的关系进行转化．
解析A＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝Ø，得B⊆A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠Ø.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4, 这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.
1．(2011·文)已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁U P＝( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 D
解析集合P＝[－1,1]，所以∁U P＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
2．(2011·某某)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2
x
≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D．{x |0≤x ≤1} 答案 B
解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．
3．M ＝{x |x ＝3n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝3n －1，n ∈Z }且a ∈M ，
b ∈N ，
c ∈P .设
d ＝a －b ＋c ，则( )
A ．d ∈M
B ．d ∈N
C ．d ∈P
D ．以上都不对 答案 B
解析 ①集合M 表示3的整数倍数集，N 表示被3除余1数集，P 表示被3除余2数集， ∴a 为3的倍数，b ＝3k ＋1，c ＝3n ＋2. ∴d ＝a －b ＋c 表示被3除余1的数．∴d ∈N . ②法2，取a ＝3，b ＝4，c ＝2，∴d ＝1被3除余1.
4．(2012·东北三省等值模拟)已知集合A ＝{－1,0，a }，B ＝{x |0<x <1}，若A ∩B ≠Ø，则实数a 的取值X 围是( )
A ．{1}
B ．(－∞，0)
C ．(1，＋∞) D．(0,1) 答案 D
解析 ∵A 中－1,0不属于B ，且A ∩B ≠Ø ∴a ∈B ，∴a ∈(0,1)．
5．已知集合A ＝B ＝{0,1}，集合C ＝{u |u ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，则集合C 的子集个数是( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．16 答案 A
解析 ∵C ＝{u |u ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }， ∴C ＝{0,1}，故C 的子集个数为22
个．
6．(2012·某某一模)设函数y ＝x ＋1的定义域为M ，集合N ＝{y |y ＝2
x －1
，x ∈R }，则
M ∩N 等于( )
A ．Ø
B ．N
C ．[1，＋∞) D．M 答案 B
解析 由题意得M ＝{x |x ≥－1}＝[－1，＋∞)，N ＝{y |y >0}＝(0，＋∞)，∴M ∩N ＝N . 7．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i ⊕A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3，满足关系式(x ⊕x )⊕A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 答案 C
解析 A 0⊕A 0＝A 0，A 1⊕A 1＝A 2，A 2⊕A 2＝A 0，A 3⊕A 3＝A 2，再次进行计算可知只有A 1，A 3
符合题目要求，故选C.
8．(2011·某某)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2
＋y 2
＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )
( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B
解析 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
＝1
x ＝y ，得2x 2
＝1，解得x ＝
22或x ＝－22，这时y ＝22或y ＝－2
2
，即A ∩B 中有两个元素．
9．(2011·某某理)设a ，b ，c 为实数，f (x )＝(x ＋a )(x 2
＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx
2
＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }．若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )
A ．|S |＝1且|T |＝0
B ．|S |＝1且|T |＝1
C ．|S |＝2且|T |＝2
D ．|S |＝2且|T |＝3 答案 D
解析 若a ＝b ＝c ＝0，则f (x )＝x 3
＝0，x ＝0，|S |＝1，g (x )＝1，g (x )＝0无解，因此|T |＝0，即A 项有可能；若a ＝1且b 2
－4c <0，则|S |＝1且|T |＝1成立，即f (x )＝0和g (x )＝0都仅有一个解x ＝－1，即B 项也是有可能的；若a ＝1且b 2
－4c ＝0(b ＝22，c ＝2)，则|S |＝2且|T |＝2成立，即都仅有两个解x ＝－1和x ＝－2，即C 项也是有可能的；对于
D 项，若|T |＝3，则Δ＝b 2－4c >0，从而导致f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )也有3解，因此|S |
＝2且|T |＝3不可能成立．
10．已知R 为实数集，集合A ＝{x |x 2
－3x ＋2≤0}，若B ∪∁R A ＝R ，B ∩∁R A ＝{x |0<x <1或2<x <3}，求集合B .
解析 A ＝{x |1≤x ≤2}． ∴∁R A ＝(－∞，1)∪(2，＋∞)．
∵B ∪∁R A ＝R .B ∩∁R A ＝(0,1)∪(2,3)．∴B ＝(0,3)．
11．(2011·海淀区)已知集合A＝{1,2,3，…，2n}(n∈N*)，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m，则称S具有性质P.
(1)当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x>9}和C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由；
(2)若集合S具有性质P，试判断集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由．
解析(1)当n＝10时，集合A＝{1,2,3，…，19,20}，
B＝{x∈A|x>9}＝{10,11,12，…，19,20}不具有性质P.
因为对任意不大于10的正整数m，
都可以找到该集合中两个元素b1＝10与b2＝10＋m，使得|b1－b2|＝m成立．
集合C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}具有性质P.
因为可取m＝1<10，对于该集合中任意一对元素
c1＝3k1－1，c2＝3k2－1，k1，k2∈N*，
都有|c1－c2|＝3|k1－k2|≠1.
(2)若集合S具有性质P，那么集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}一定具有性质P.
首先因为T＝{(2n＋1)－x|x∈S}，
任取t＝(2n＋1)－x0∈T，其中x0∈S，
因为S⊆A，所以x0∈{1,2,3，……，2n}，
从而1≤(2n＋1)－x0≤2n，即t∈A，所以T⊆A，
由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，
使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m，
对上述取定的不大于n的正整数m，
从集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}中任取元素t1＝2n＋1－x1，t2＝2n＋1－x2，
其中x1，x2∈S，都有|t1－t2|＝|x1－x2|；
因为x1，x2∈S，所以有|x1－x2|≠m，即|t1－t2|≠m，
所以集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}具有性质P.。