2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(重庆卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（重庆卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．复数1+3
2i = (A)1+2i
(B)1-2i
(C)-1
(D)3
2．设,m n 是整数，则“,m n 均为偶数” 是“m n +是偶数”的 (A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件 (C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
3．圆O 1：2220x y x +-=和圆O 2：2240x y y +-=的位置关系是 A ．相离
B ．相交
C ．外切
D ．内切
4．已知函数y =M ，最小值为m ，则m
M
的值为( )
A ．
14
B ．
12
C D ．
2
5．已知随机变量ζ服从正态分布N (3, 2a ),则P (3)ζ<＝( ) A ．
15
B ．
14
C ．
13
D ．
12
6．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是 A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 为偶函数
C ．()1f x +为奇函数
D ．()1f x +为偶
函数
7．若过两点P 1(-1,2)，P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为 (A)－
13 (B) －15 (C) 15 (D) 1
3
8．已知双曲线22
221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为y kx =(0)k >，离心率
e =，则双曲线方程为
（A ）22x a －2
24y a
=1
(B)22
2215x y a a
-=
(C)22
2214x y b b
-=
(D)22
2215x y b b
-=
9．如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是
A ．12
V
V =
B ．22
V V =
C ．12V V >
D ．12V V <
10．函数f(x)
(02x π≤≤)的值域是
A
．⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．[]
1,0-
C
．⎡⎤⎣⎦
D
．⎡⎤⎣⎦
二、填空题
11．设集合U ={1，2，3，4，5}，A ={2，4}，B ={3，4，5}，C ={3，4}，则
()()U A B C ⋃⋂= ．
12．已知函数f(x)=23(0(0x x a x +≠⎧⎨=⎩当时）
当时）
(当x ≠0时) ，点在x =0处连续，则
2221lim x an a n n
→∞+=+ 。

13．已知12
4
9
a =
(a>0) ，则23log a = .
14．设n S 是等差数列{n a }的前n 项和，128a =-,99S =-，则16S = ． 15．直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为
(0,1)，则直线l 的方程为__________．
16．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A 、B
、
C 、A 1、、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）.
三、解答题 17．
设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b ．求： （Ⅰ）
a
c
的值；（Ⅱ）cot B +cot C 的值． 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为
1
2
，且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望E ξ．
19．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（19）图，在ABC 中，B=90，AC =
15
2
，D 、E 两点分别在AB 、AC 上。

使 2AD AE
DB EC
==，DE =3。

现将ABC 沿DE 折成直二角角，求： （Ⅰ）异面直线AD 与BC 的距离；
（Ⅱ）二面角A -EC -B 的大小（用反三角函数表示）。

20．（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.） 设
函
2()(0),()3f x ax bx c a y f x a f =++≠=+曲线通过点(0,2),且在点(-1,(-1))
处的切线垂直于y 轴.
（Ⅰ）用a 分别表示b 和c ；
（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数g(x)=()x
f x e -的单调区间。

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（21）图，(2,0)M -和(2,0)N 的平面上的两点，动点P 满足：||||6PM PN +=
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若2
||||,1cos PM PN P MPN
⋅=
-求点的坐标。

22．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 设各项均为正数的数列{a n }满足32
112
2,(N*)n a a a a a
a
n ++==∈.
（Ⅰ）若21
4
a =
，求a 3，a 4，并猜想a 2cos 的值（不需证明）； （Ⅱ）记32···(N*),22n n n b a a a n b =∈≥若n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式.
参考答案
【答案】A 【解析】1+3
2i
=1+33221112i i i i i +=+=+。

【答案】A
【解析】,m n 均为偶数m n ⇒+是偶数，则充分；m n +是偶数则,m n 均为偶数或者,m n 均为奇数即m n +是偶数≠>,m n 均为偶数，则不必要，故选A 。

3．B 【解析】
试题分析：由题意可知圆1O 的圆心()11,0O ，半径11r =，圆2O 的圆心()20,2O ，半径
12r =，又211212
r r OO r r -<<+，所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交，故选B ． 考点：圆与圆的位置关系． 4．C 【解析】
由题设可得244y =+=+，02≤
≤，即
248y ≤≤，也即2y ≤≤，所以2M m ==，则
2
m M =
，应选C. 点睛：本题的求解过程体现了转化与化归的数学思想的巧妙运用.解答时，先运用两边平方这一变形手段，将问题转化为求二次函数()2
23h x x x =--+的最大值和最小值的问题，
最后再解不等式2
48y ≤≤，求得2y ≤≤，从而使得问题获解. 5．D 【详解】
ζ服从正态分布N (3,a 2) 则曲线关于 3x =对称，1(3)2
p ζ<=
． 6．C 【详解】
x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，
则()()()01f f x f x =+-+，
所以()()110f x f x ++-+=，
即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 7．A
【解析】设P (x ,0)，则021
603
λ-==--。

【答案】C
【解析】c e a ==
，22
2b k a c
a a
b
c ⎧=⎪⎪
⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩
， 所以224a b =。

9．D 【分析】
先设大球半径为R ，小球半径为2
R
，根据题中条件，分别表示出21,,V V V ，进而可作差比较大小． 【详解】
设大球半径为R ，小球半径为2
R
，根据题意3312444()332R V R V V ππ==⋅-+， 所以333214424()033232
R V
V V R R πππ-=-⋅==>． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查球的体积的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型． 10．B 【解析】
特殊值法，sin 0,cos 1x x ==，则f(x)
1=-淘汰A ，
=26(sin 1)cos 4
x x -+=当时sin 1x =-时3cos 2x =所以
矛盾()f x ≠淘汰C ，D ． 11．{2,5} 【解析】
{2,3,4,5)A B ⋃=，{}1,2,5U C =，{}()()2,5U A B C ⋃⋂=．
【答案】
1
3
【解析】0
lim x +→0
23lim 233x x x -
→+=+=，又(0)f a =，点在x =0处连续， 所以0lim ()(0)x f x f →=，即3a =，故222
3131
lim 393
x n n n →∞+==+。

13．4 【解析】 ∵1
2
49
a = (a ＞0)，∴a ＝(23)4，∴
23log a ＝23log (23)4＝4.
14．-72 【解析】
1991955512()9
9,2192
a a S a a a a a a +⨯=
=-+=⇒=-∴+=-，
()()11651216
1616916722
2
2
a a a a S +⨯+⨯-⨯====-．
15．10x y -+=. 【详解】
设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，
21
10
op k -=--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴=由点斜式得1y x =+． 16．216 【详解】
每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分 3 步进行， 第一步 ,A 、B. C 三点选三种颜色灯泡共有 3
4A 种选法；
第二步 , 在 A 1 、 B 1 、 C 1 中选一个装第 4 种颜色的灯泡，有 3 种情况；
第三步 , 为剩下的两个灯选颜色 , 假设剩下的为 B 1 、 C 1, 若 B 1 与 A 同色 , 则 C 1 只能选 B 点颜色；
若 B 1 与 C 同色 , 则 C 1 有A. B 处两种颜色可选,
故为 B 1 、 C 1 选灯泡共有 3 种选法，得到剩下的两个灯有 3 种情况， 则共有 3
4A ×3×3=216 种方法． 故答案为 216 17．（Ⅰ
）
3
a c =
（Ⅱ
）cot cot B C += 【解析】
（Ⅰ）由余弦定理得
2222cos a b c b A
=+-＝22
21117()2?·
·3
3
2
9c c c c c +-=
，故a c =． （Ⅱ）解法一：cot cot B C +＝cos sin cos sin sin sin B C C B B C +＝sin()sin sin sin sin sin B C A
B C B C
+=，
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
2
2
7sin 19··1sin sin sin ·3
c
A a
B
C A bc c c ====
，故cot cot 9B C +=．
解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
2222
2
2
71()
cos 22?3
c c c a c b B ac +-+-==
．
故sin B ===
．
同理可得2222
2
2
71cos 2c c c
a b c C ab +-+-===
sin C ===
．
从而cos cos cot cot sin sin 9
B C B C B C +=+==
． 18．（Ⅰ）
1
4
（Ⅱ）分布列
47
16
E ξ=
（局） 【解析】
令,,k k k A B C 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为1231233
3111
()()224
P AC B P B C A +=
+=． （Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且
121222111(2)()()222
P P A A P B B ξ==+=
+=； 1231233
3111
(3)()()224
P P AC C P B C C ξ==+=+=； 12341234
44111
(4)()()228
P P AC B B P B C A A ξ==+=+=； 1234512345
55111
(5)()()2216P P AC B A A P B C A B B ξ==+=+=；
123451234555111
(6)()()2
216
P P AC B A C P B C A B C ξ==+=
+=．
故有分布列
ξ
2
3
4
5
6
P 12
14
18
116
116
从而111114723456248161616E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=（局）． 【答案】（Ⅰ）2 （Ⅱ）5arctan .3
【解析】 解法一：
（Ⅰ）在答（19）图1中，因AD AE
DB CE
=
，故BE ∥BC 。

又因B ＝90°，从而 AD ⊥DE 。

在第（19）图2中，因A -DE -B 是直二面角，AD ⊥DE ，故AD ⊥底面DBCE ，从
而AD ⊥DB ，而DB ⊥BC ，故DB 为异面直线AD 与BC 的公垂线。

下求DB 之长.在答（19）图1中，由
2AD AE CB BC ==，得2
3
DE AD BC AB ==。

又已知DE =3，从而3922
BC DE ==。

6AB ===。

因1,23
DB DB AB =故＝。

（Ⅱ）在第（19）图2中，过D 作DF ⊥CE ，交CE 的延长线于F ，连接AF 。

由（1）知， AD ⊥底面DBCE ,由三垂线定理知AF ⊥FC ,故∠AFD 为二面角A -BC -B 的平面
角.
在底面DBCE 中，∠DEF =∠BCE , 11552,,322
DB EC ==
= 因此4sin .5DB BCE EC == 从而在Rt △DFE 中，DE =3, 412sin sin 3.55
DF DE DEF DE BCE ==== 在5Rt ,4,tan .3
AD AFD AD AFD DF ∆===中 因此所求二面角A -EC -B 的大小为arctan 5.3 解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D 点为坐标原点，DB DE DA 、
、的方向为x 、 y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （0，0，4），
9202C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，，E （0，3，0）.
302AD AD ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝-2，-，，＝（0，0，-4）.过D 作DF ⊥CE ,交CE 的延长线 于F ，连接AF .
设00(,,0),F x y 从而00(,,0),DF x y =
00(,3,0).EF x y DF CE =-⊥由，有
0030,20.2
DF CE x y =+=即 ① 又由003,.32
2x y CE EF -=得 ② 联立①、②，解得00364836483648,.,,0,,4.252525252525x y F AF ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即，得 因为36483(2)025252AF CE ⎛⎫⎛⎫=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭,故AF CE ⊥,又因DF CE ⊥,所以DFA ∠为所求的二面角A-EC-B 的平面角.因3648,,0,2525DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有22364812,4,25255DF AD ⎛⎫⎛⎫=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以5tan .3
AD AFD DF == 因此所求二面角A-EC-B 的大小为5arctan .3
20．（Ⅰ）2b a =；23c a =+
（Ⅱ）单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）
【解析】(Ⅰ)因为2(),()2.f x ax bx c f x ax b '=++=+所以
又因为曲线()y f x =通过点（0，23a +）,故(0)23,(0),2 3.f a f c c a =+==+而从而 又曲线()y f x =在f (-1,(-1))处的切线垂直于y 轴，故(1)0,f '-=即20a b -+=,因此2b a =
(Ⅱ)由(Ⅰ)得2392(23)4(),44bc a a a =+=+-
故当34a =-时，bc 取得最小值-94.此时有33,.22
b c =-= 从而233333(),(),42222f x x x f x x '=--+=--2333()()(),422
x x g x f x c x x e --=-=+- 所以23()(()()(4).4
x x g x f x f x e x e --''=-=--令()0g x '=，解得122, 2.x x =-= 当(,2),()0,()(,2)x g x g x x '∈-∞-<∈-∞-时故在上为减函数；
当(2,2)()0,()(2,).x g x g x x '∈->∈+∞时，故在上为减函数
当(2,)()0()(2,)x g x g x x '∈+∞<∈+∞时，，故在上为减函数.
由此可见，函数()g x 的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.
21．（Ⅰ）22
1.95
x y +=
（Ⅱ）.
【解析】(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴
b ， 所以椭圆的方程为22
1.95
x y += (Ⅱ)由2,1cos PM PN MPN
=-得 cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①
因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN 中，4,MN =由余弦定理有
222
2cos .MN PM PN PM PN MPN =+- ② 将①代入②，得
22242(2).PM PN PM PN =+--
故点P 在以M 、N
为焦点，实轴长为2
213
x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22
195
x y +=，所以 由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
解得,2x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即P 点坐标为
-. 22．（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）a 2=2*2
b n =2S n =22－
1
12n -(n ∈N*) 【解析】
【详解】
(Ⅰ)因2122,2,a a -==故 3423123824232,
2.
a a a a a a ---==== 由此有0223
(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====，故猜想n a 的通项为 1
(2)*2(N ).n n a n --=∈
（Ⅱ）令2log ,2.n S n n n n n x a S x n b ==表示的前项和，则 由题设知x 1=1且 *123(N );2
n n n x x x n ++=
+∈① 123(2).2
n n S x x x n =+++≥≥② 因②式对n =2成立，有1213,12x x x ≤+=又得
21.2
x ≥③ 下用反证法证明：2211..22
x x ≤
>假设 由①得21211312()(2).22
n n n n n n x x x x x x ++++++=+++ 因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为12
的等比数列.故 *121111()(N ).222
n n n x x x n +--=-∈④ 又由①知211111311()2(),2222n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=-- 因此是112n n x x +-是首项为212
x -，公比为-2的等比数列,所以 1*1211()(2)(N ).22
n n n x x x n -+-=--∈⑤ 由④-⑤得
⑥
对n 求和得
2*2215111(2)(2)(2)()(N ).2223n n x x x n ---=+---∈⑦ 由题设知21231,22
k S x +≥>且由反证假设有 21*22221*22221121152)(2)()(N ).22341211151()?(2)(2)2(N ).23244
k k k k x x k x x x k ++++---≥∈+-≤+--<+∈（从而 即不等式22k +1＜223
64112x x +
-- 对k ∈N *恒成立.但这是不可能的，矛盾. 因此x 2≤
12,结合③式知x 2=12,因此a 2=2*2
将x 2=12
代入⑦式得 S n =2－
112n -(n ∈N*),
1 2n-(n∈N*)
所以b n=2S n=22－
1。