高中数学3.3二倍角的三角函数同步精练北师大版必修4

高中数学 3.3 二倍角的三角函数同步精练 北师大版必修4
1．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59
，则sin 2θ等于( ) A ．223 B ．－223
C ．23
D ．－23
2．已知等腰三角形底角的余弦值为23
，则顶角的正弦值是( ) A ．459 B ．259
C ．－459
D ．－259
3．已知tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，则sin 2α－cos 2
α1＋cos 2α的值为( ) A ．－16 B ．16 C ．52 D ．－56
4．1＋cos 100°－1－cos 100°等于( )
A ．－2cos 5° B．2cos 5°
C ．－2sin 5°
D ．2sin 5° 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13
，则cos(π＋2α)的值为( ) A ．－79 B ．79
C ．29
D ．－23
6．函数f (x )＝2cos 2x
2
＋sin x 的最小正周期是__________． 7．等腰三角形顶角的余弦值为23
，那么这个三角形一底角的余弦值为__________． 8．在△ABC 中，若cos A ＝13，求sin 2B ＋C 2
＋cos 2A 的值． 9．若x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4，求函数y ＝2cos 2x ＋1＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 10．已知△ABC 的面积为3，且满足0＜A B ·A C ≤6.设AB 和AC 的夹角为θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f (θ)＝2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋θ－3cos 2θ的最大值与最小值．
参考答案
1．解析：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2
θ
＝1－2(sin θcos θ)2＝59
， ∴(sin θcos θ)2＝29
. ∵θ为第三象限角，
∴sin θ＜0，cos θ＜0，
∴sin θcos θ＞0，
∴sin θcos θ＝23. ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝223
. 答案：A
2．解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α.
∵cos α＝23
，0＜α＜π， ∴sin α＝53
. ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α
＝2×53×23＝459
. 答案：A
3．解析：由tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2得tan α＝13. 原式＝2sin αcos α－cos 2
α2cos 2α＝tan α－12＝13－12＝－16
. 答案：A
4．解析：原式＝2cos 250°－2sin 250°
＝2(cos 50°－sin 50°)
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50° ＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.
答案：C
5．解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，
∴cos α＝13
. ∴cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2
α
＝1－29＝79
. 答案：B 6．解析：∵f (x )＝2cos 2x 2＋sin x ＝1＋2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4， ∴T ＝2π1
＝2π. 答案：2π
7．解析：设等腰三角形的底角为α，顶角为β，
则α＝π2－β2，cos β＝23
， ∴cos α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－β2＝sin β2＝1－cos β2＝66. 答案：66
8．解：sin
2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos(B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2
＋2cos 2A －1 ＝12＋12×13＋2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫132－1 ＝－19
. 9．解：y ＝
2cos 2x ＋1＋2tan x ＋1 ＝2(sin 2x ＋cos 2x )2cos 2x
＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2
＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4， ∴tan x ∈[－3，1]．
令tan x ＝t ，则有y ＝g (t )＝(t ＋1)2
＋1，
∴当t ＝tan x ＝－1，
即x ＝－π4
时，y min ＝1；
当t ＝tan x ＝1，即x ＝π4
时，y max ＝5. 综上，当x ＝－π4时，y min ＝1；当x ＝π4
时，y max ＝5. 10．解：(1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
则由已知条件可得12
bc sin θ＝3,0＜bc cos θ≤6，可得cos θ＞0，tan θ≥1. 又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π4，π2. (2)f (θ)＝2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋θ－3cos 2θ ＝1－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋2θ－3cos 2θ ＝1＋sin 2θ－3cos 2θ
＝1＋2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ－π3. ∵θ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π4，π2， ∴2θ－π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6
，2π3， ∴2≤1＋2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ－π3≤3. 即当θ＝5π12
时，f (θ)max ＝3； 当θ＝π4
时，f (θ)min ＝2.。