2014届高考数学一轮复习 选考部分几何证明选讲教学案

选考部分
选修4—1 几何证明选讲
考纲要求
1．了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理．
2．会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．
3．会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、切割线定理．
1．平行线等分线段定理
定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段____，那么在其他直线上截得的线段也____．
推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必__________．
推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线__________．
2．平行线分线段成比例定理
定理三条平行线截两条直线，所得的________成比例．
推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的________成比例．
3．相似三角形的判定及性质
(1)相似三角形的判定
定义______相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的
比值叫做相似比(或相似系数)．
预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的______对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应______，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应______且夹角相等，两三角形相似．
引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段________，那么这条直线平行于三角形的第三边．
判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应______，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应______，两三角形相似．
(2)两个直角三角形相似的判定定理
①如果两个直角三角形有一个锐角对应____，那么它们相似．
②如果两个直角三角形的两条直角边对应______，那么它们相似．
③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应______，那么这两个直角三角形相似．
(3)相似三角形的性质定理
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于______；
②相似三角形周长的比等于______；
③相似三角形面积的比等于________________；
④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于______________．
4．直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的______；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的________．
5．圆周角定理
(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的____．
(2)圆心角定理圆心角的度数等于______________．
推论1 同弧或等弧所对的圆周角____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也____．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是____；90°的圆周角所对的弦是____．
6．圆内接四边形的性质与判定定理
性质定理1 圆的内接四边形的对角____．
性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的____．
判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点____．
推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点____．7．圆的切线的性质及判定定理
性质定理圆的切线垂直于经过切点的____．
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过____．
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过____．
判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的____．
8．弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的______．
9.与圆有关的其他性质定理
(1)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的____相等．
(2)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的____相等．
(3)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的________．
(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的____．
1．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形
DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为__________．
2．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为__________．
3．如图，已知圆O 的两弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝4，PC ＝14PD ，且∠APC ＝π3
，则圆O 的半径为__________．
(第3题图) (第4题图)
4．如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点．已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为__________．
5．(2012陕西高考)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝__________.
一、平行线分线段成比例定理的应用
【例1】 如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，E 在CA 上且AE ＝2CE ，AD ，BE 相交于点F ，则AF FD ＝__________，BF FE
＝__________.
方法提炼
1．在解答与比例问题有关的题目时，可通过构造平行线，结合平行线分线段成比例定理去证明．
2．作平行线的方法：(1)利用中点作出中位线可得平行关系；(2)利用已知线段的比例关系，作相关线段的平行线．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果．
注意：对于乘积式，有时需要转化为比例式，再借助于上述方法去解决．
请做演练巩固提升3
二、射影定理的应用
【例2】如图，圆O的直径AB＝10，弦DE⊥AB，垂足为点H，且AH＜BH，DH＝4，则
(1)AH＝__________；
(2)延长ED至点P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC＝25，则PD＝__________.
方法提炼
1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．
2．通过作垂线构造直角三角形是解答与直角三角形有关问题的常用方法．
请做演练巩固提升1
三、相似三角形的性质与判定定理的应用
【例3】如图，⊙O过点C，⊙C交⊙O于点A，延长⊙O的直径AB交⊙C于点D，若
AB ＝4，BD ＝1，则⊙C 的半径AC 等于__________．
方法提炼
证明三角形相似时，应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考顺序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就需证明三边对应成比例．一般地，证明等积式成立时，可先将其化成比例式，再考虑利用平行线分线段成比例定理证明或相似三角形的性质证明其成立．要特别注意，三角形相似具有传递性．
请做演练巩固提升4
四、圆周角、弦切角和圆的切线问题
【例4】 如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ，C ，∠APC 的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E .
(1)∠ADE __________∠AED (填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)若AC ＝AP ，则PC PA
＝__________. 方法提炼
1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，进而可求得线段或角的大小．
2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．
请做演练巩固提升6
五、相交弦定理、切割线定理的应用
【例5】如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA ＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为__________．
方法提炼
1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住以下几个关键内容：线段成比例与相似三角形的性质、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
2．相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理．
请做演练巩固提升2
六、四点共圆的判定
【例6】如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M，则O，B，D，E______四点共圆．(填“是”或“不是”)
方法提炼
1．证明四点共圆的方法：(1)若一个四边形的对角互补，则四点共圆；(2)证明多点共圆时，若它们在一条线段的同侧，可证明它们对此线段的张角相等，也可证明它们与某一定
点的距离相等．
2．圆内接四边形的重要结论有：(1)内接于圆的平行四边形是矩形；(2)内接于圆的菱形是正方形；(3)内接于圆的梯形是等腰梯形．
请做演练巩固提升5
“四定理”(相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理)的应用
【典例】 (10分)如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)求证：AM·MB＝DF·DA.
规范解答：(1)连接OC，∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC.
又∵CA是∠BAF的平分线，
∴∠DAC＝∠OAC.
∴∠DAC＝∠OCA.(3分)
∴AD∥OC.又CD⊥AD，
∴OC⊥CD，即DC是⊙O的切线．(5分)
(2)∵CA是∠BAF的平分线，∠CDA＝∠CMA＝90°，
∴CD＝CM.(8分)
由(1)知DC2＝DF·DA，
又CM2＝AM·MB，
∴AM·MB＝DF·DA.(10分)
答题指导：(1)由于“四定理”与圆有关，且其结论是线段的关系，因而在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常结合三角形及其相似等知识来证明线段相等或等比例线段问题．
(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；②和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．
(3)已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．
1．一直角三角形的两条直角边之比是1∶3，则它们在斜边上射影的比是__________．
2．如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A ，B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝__________.
3．如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过D 与BC 平行的直线交AB 于点E ，∠ACE ＝∠ABC ，则AB ·CE ________AC ·DE .(填“＞”“＜”或“＝”)
4．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PC
PD
＝
13，则BC
AD
的值为__________．
5．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK，则C，D，K，M__________四点共圆．(填“是”或“不是”)
6．如图，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，若∠BAC＝60°，则∠ADB＝__________.
参考答案
知识梳理
1．相等 相等 平分第三边 平分另一腰 2．对应线段 对应线段
3．(1)对应角 两个角 成比例 成比例 成比例 成比例 成比例 (2)①相等 ②成比例 ③成比例 (3)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方 ④相似比的平方
4．比例中项 比例中项
5．(1)一半 (2)它所对弧的度数 相等 相等 直角 直径 6．互补 内角的对角 共圆 共圆 7．半径 切点 圆心 切线 8．圆周角
9．(1)积 (2)积 (3)比例中项 (4)夹角 基础自测
1．1∶2 解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案． 2．4 解析：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，
∴AC 2
＝AB ·AD .
设AD ＝x ，则AB ＝x ＋5，又AC ＝6， ∴62＝x (x ＋5)，即x 2
＋5x －36＝0. 解得x ＝4(舍去负值)，∴AD ＝4.
3．27 解析：如图所示，取CD 中点E ，连接AO ，OP ，OE ，由相交弦定理可得AP ×PB
＝CP ×PD ＝4CP 2
，可得CP ＝2，PD ＝8，
则PE ＝3.
又由∠APC ＝π3，可得∠OPE ＝π
6
.
则OP ＝23，OA ＝OP 2＋PA 2
＝27.
4．6 解析：由切割线定理，得PT 2
＝PA ·PB ， 所以PB ＝8.故AB ＝6.
5．5 解析：由三角形相似可得DE 2＝DF ·DB ，连接AD ，则DE 2
＝AE ·EB ＝1×5＝5， 所以DF ·DB ＝5. 考点探究突破
【例1】 4 3
2
解析：过点D 作DG ∥AC 且交BE 于点G ，
因为点D 为BC 的中点， 所以EC ＝2DG . 因为AE ＝2CE ，
所以AE DG ＝41.
从而AF FD ＝AE DG ＝41，
所以GF FE ＝14
.
因为BG ＝GE ，所以BF FE ＝3
2
.
【例2】 (1)2 (2)2 解析：(1)由于AB 为圆O 的直径，DE ⊥AB ，DH ＝4，
故由射影定理DH 2
＝AH ·BH ＝(AB －AH )·AH ，即16＝(10－AH )·AH ，
∴AH 2
－10AH ＋16＝0. ∴AH ＝2或AH ＝8. ∵AH ＜BH ，∴AH ＝2.
(2)PC 切圆O 于点C ，PC 2
＝PD ·PE ，
(25)2
＝PD ·(PD ＋8)，解得PD ＝2.
【例3】 10 解析：延长AC 交⊙C 于点E ，连接BC ，DE ，则有∠ACB ＝∠ADE ＝90°，而∠A 是公共角，所以△ACB ∽△ADE ，所以AC AD ＝
AB AE
，即2AC 2
＝AB ·AD ＝4×(4＋1)＝20，
所以AC ＝10.
【例4】 (1)＝ (2) 3 解析：(1)∵PA 是切线，AB 是弦，
∴∠BAP ＝∠C .
又∵∠APD ＝∠CPE ，
∴∠BAP ＋∠APD ＝∠C ＋∠CPE .
∵∠ADE ＝∠BAP ＋∠APD ，∠AED ＝∠C ＋∠CPE ，∴∠ADE ＝∠AED . (2)由(1)知∠BAP ＝∠C ， 又∵∠APC ＝∠BPA ，
∴△APC ∽△BPA .∴PC PA ＝CA AB
.
∵AC ＝AP ，∴∠APC ＝∠C . ∴∠APC ＝∠C ＝∠BAP .
由三角形内角和定理可知，∠APC ＋∠C ＋∠CAP ＝180°， ∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC ＝90°.
∴∠APC ＋∠C ＋∠BAP ＝180°－90°＝90°.
∴∠C ＝∠APC ＝∠BAP ＝1
3
×90°＝30°.
在Rt△ABC中，
1
tan C
＝
CA
AB
，即
1
tan 30°
＝
CA
AB
，
∴CA
AB
＝3.∴
PC
PA
＝
CA
AB
＝ 3.
【例5】 2 解析：设圆O的半径为R，
由PA·PB＝PC·PD，得3×(3＋4)＝(5－R)(5＋R)，解得R＝2.
【例6】是解析：连接BE，则BE⊥EC.
又D是BC的中点，
∴DE＝BD.
又∵OE＝OB，OD＝OD，
∴△ODE≌△ODB.
∴∠OBD＝∠OED＝90°.
∴O，B，D，E四点共圆．
演练巩固提升
1．1∶9解析：如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC∶AC＝1∶3，作CD⊥AB 于D，
由射影定理得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB，
则BC2
AC2
＝
BD
AD
＝
1
9
，
故它们在斜边上的射影的比是1∶9.
2．15 解析：由相交弦定理，得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.
由切割线定理，得PT 2
＝PB ·PA ，
即(PB ＋BD )2－DT 2
＝PB (PB ＋AB )． 又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，
∴(PB ＋6)2－92
＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15. 3．＝ 解析：∵AB ∥CD ，DE ∥BC ， ∴四边形BEDC 是平行四边形． ∴DE ＝BC .
∵∠ACE ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠BAC ， ∴△ACE ∽△ABC .
∴BC CE ＝AB AC . ∴AB AC ＝DE
CE
，即AB ·CE ＝AC ·DE . 4.
6
6
解析：因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠DAB ＝∠PCB ，∠CDA ＝∠PCB . 又因为∠P 为公共角，所以△PBC ∽△PDA ，所以PB PD ＝
PC PA ＝BC
AD
. 设PB ＝x ，PC ＝y ，则有x 3y ＝y 2x x ＝6y 2，所以BC AD ＝x 3y ＝6
6
.
5．是 解析：在四边形ABMK 中， ∵∠DAM ＝∠CBK ，
∴A ，B ，M ，K 四点共圆． 连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK ，
∵∠DAB ＋∠ADC ＝180°， ∴∠CMK ＋∠KDC ＝180°. 故C ，D ，K ，M 四点共圆．
6．120° 解析：在圆周上任取一点E ，连接AE ，BE ，由弦切角定理，得∠AEB ＝∠BAC ＝60°.
因为ADBE 是圆内接四边形，所以∠E ＋∠ADB ＝180°，所以∠ADB ＝120°.。