高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点训练及答案

【最新】《集合与常用逻辑用语》专题解析
一、选择题
1．“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
试题分析：由x ＜﹣1，知x 2﹣1＞0，由x 2﹣1＞0知x ＜﹣1或x ＞1．由此知“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 解：∵“x ＜﹣1”⇒“x 2﹣1＞0”， “x 2﹣1＞0”⇒“x ＜﹣1或x ＞1”．
∴“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 故选A ．
点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．
2．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．函数1
()f x x
=
在其定义域上是减函数 B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
C ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件
D ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠” 【答案】B 【解析】 【分析】
对于选项A ：利用反比例函数的图象与性质判断即可；
对于选项B ：利用原命题与它的逆否命题同真假，判断原命题的真假即可； 对于选项C ：根据充分条件与必要条件的定义即可判断； 对于选项D ：根据原命题的否命题的定义判断即可； 【详解】
对于选项A ：由反比例函数的图象与性质知，函数1
()f x x
=在区间()(),0,0,-∞+∞上单调递减，故选项A 错误；
对于选项B ：由题意知，当x y =时，sin sin x y =显然成立，故原命题为真命题，根据原命题与其逆否命题同真假可知，其逆否命题亦为真命题，故选项B 正确；
对于选项C ：当1x =-时，有2560x x --=成立，反过来，当2560x x --=时，可得
6x =或1x =-，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故选项C 错误；
对于选项D ：根据原命题的否命题的定义知，命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若
21x ≠，则1x ≠”，故选项D 错误；
故选：B 【点睛】
本题考查反比例函数的单调性、四种命题之间的关系及真假判断和充分条件与必要条件的判断；熟练掌握四种命题之间的关系及真假判断的方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
3．已知集合{}
2
230A x x x =-->，(){}
lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ）
A ．{}13x x -≤<
B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<<
【答案】C 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð. 【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.
{}
13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
4．已知命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++…
；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题
的是（ ） A ．p B ．()p q ∨⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．p q ∧
【答案】C 【解析】 【分析】
由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断选项. 【详解】
命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++≥
由辅助角化简可得sin cos 114x x x π⎛
⎫++=++ ⎪⎝
⎭，
可知当34x π=-
104x π⎛
⎫++< ⎪⎝
⎭，故p 为假；
命题:q 直线:0l x y m -+=与圆2
2
:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是
5m =-
若直线:0l x y m -+=与圆22
:(2)(1)8C x y -+-=相切，则
d =
= 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真， 故()p q ⌝∧为真， 故选：C. 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.
5．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()112
2
log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题
及其真假分别为（ ）
A ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真
B ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真
C ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假
D ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】
命题p 的逆否命题为“若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；
由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
6．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
Q点P不在直线l、m上，
∴若直线l、m互相平行，则过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行，即必要性成立，
若过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行，则直线l、m互相平行成立，反证法证明如下：
若直线l、m互相不平行，则l，m异面或相交，则过点P只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的充要条件，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
7．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，现有下列结论：
⊥②AC∥截面PQMN
①AC BD
=④异面直线PM与BD所成的角为45o
③AC BD
其中所有正确结论的编号是（）
A．①③B．①②④
C．③④D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④. 【详解】
Q 截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//,
又MN ⊂Q 平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，
PQ ∴//平面ADC ，
PQ ⊂Q 平面ABC ，平面ABC I 平面ADC AC =
PQ AC ∴//，同理可得PN BD //
由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确； 由PQ AC //，PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ， 得AC //平面PQMN ，则②正确； 由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //, 所以
AC AD
MN DN
=， 同理可证
BD AD
PN AN
=， 由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等，
则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；
由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角， 由正方形PQMN 知45MPN ∠=︒，则④正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.
8．下面说法正确的是（ ）
A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题
B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件
C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”也为假命题
D ．命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”
【答案】A 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】
A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正
确；
B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以该选项错误；
C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题，所以该选项错误；
D. 命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++<”，所以该
选项错误. 故选：A 【点睛】
本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，a α⊂，b β⊂，则“a l ⊥”是“a b ⊥r r
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案. 【详解】
由题意知，平面α⊥平面β，,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂， 当a l ⊥时，利用面面垂直的性质定理，可得a b ⊥r r
成立，
反之当a b ⊥r r
时，此时a 与l 不一定是垂直的，
所以a l ⊥是a b ⊥r r
的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
10．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到
；，
，∴
和
没有公共点，∴
，即
能得到
；∴“
”是“
”的必要不充分条件．故选B ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于
，而
，
并且
，显然能得到
，这样即可找出正确选项.
11．已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（ ）． A ．{|20}x x -<< B ．{|20}x x -≤≤ C ．{|20}x x x <->或 D ．{|20}x x x ≤-≥或
【答案】C 【解析】 【分析】
解二次不等式求出集合M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案． 【详解】
∵全集U=R ，2
{|2}={|20}M x x x x x =-≥-≤≤∴∁U M={x|x<-2或x>0}， 故选C ． 【点睛】
本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．
12．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
13．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．
14．设x ∈R ，则“03x <<”是“12x -<” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
解绝对值不等式12x -<求得x 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项. 【详解】
由12x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，()0,3是()1,3-的子集，故“03x <<”是“12x -<”的充分而不必要条件.故选A. 【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
15．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
构造函数()e 2(0)x
f x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即
可. 【详解】
e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，
令()e 2(0)x
f x x x =->，则()e 2x
f x '=-， 令()0f x '=，解得ln 2x =，
因为()'
f
x 为R 上的增函数,
所以当()0,ln 2x ∈时,()'
0f x <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >,
故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-, 即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；
但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-, 所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<， 故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.
综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】
本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)x
f x x x =->,利用函数的单调性
进行判断;属于中档题.
16．若命题“[1,2]x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．5,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．5,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．(,1)-∞
D ．(1,)+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
分离参数，将问题转化为[]1,2x ∀∈，2111
()22x a x x x
+<=+恒成立，结合基本不等式求
解最值即可得解. 【详解】
若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，
则[]1,2x ∀∈，2
12x ax +>，即2111
()22x a x x x
+<=+恒成立，
11
()12x x
+≥=Q
，当且仅当1x =时等号成立， ∴1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C ． 【点睛】
此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.
17．已知集合{}
2
60A x x x =--≤，(){}
lg 2B x y x ==-，则A B =I （ ）
A ．[)2,2-
B ．[]2,3
C ．(]2,3
D ．()3,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解答和对数函数的性质，求得,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合{
}{}
2
6023A x x x x x =--≤=-≤≤，
(){}{}lg 22B x y x x x ==-=>，
所以(]2,3A B =I ． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了集合运算及性质，其中解答中熟记集合交集的概念及运算是解答的关键，着重考查数学运算能力．
18．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正
弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】
Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，
由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.
19．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）
A ．3(3,)2
-- B ．3(3,)2
-
C ．3(1,)2
D ．3(,3)2
【答案】D 【解析】
试题分析：集合()(){}
{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合
，所以
3|32A B x x ⎧⎫
⋂=<<⎨⎬⎩⎭
,故选D.
考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.
20．命题“x R ∀∈，2230x x -+≤”的否定为（ ） A ．x R ∀∈，2230x x -+≥ B ．x R ∃∉，2230x x -+> C ．x R ∃∈，2230x x -+> D ．x R ∀∉，2230x x -+≤
【答案】C 【解析】
分析：根据全称命题的否定得结果.
详解：因为x R ∀∈，2230x x -+≤，所以否定为x R ∃∈，2230x x -+>, 选C.
点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.。