高中数学新人教B版必修1课件：第1章集合1.1.2集合的表示方法

剖析:第一用描述法表示集合时,竖线左边的字母仅仅是集合中
元素的代表,可以用不同的字母来表示.例如,集合{x|x>1}与集合
{y|y>1},虽然两个集合中表示元素的字母不同,但它们均表示大于1
的实数构成的集合,是同一个集合;其次,表示同一个集合时,可以用
不同的特征性质来描述.例如,所有奇数构成的集合,可以写作
表达式有意义,则x2-3x+2≠0;(4)中注意集合中的元素是点.
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:(2)中x=5k+3(k∈N)可作为集合的一个特征性质;(3)中要使
表达式有意义,则x2-3x+2≠0;(4)中注意集合中的元素是点.
解:(1){x∈R|2≤x≤30};
(2){x|x=5k+3,k∈N};
(2)由1~30中所有的质数构成的集合;
(3)100以内的正偶数构成的集合;
(4)一年中有30天的月份构成的集合.
解:(1){-6,6};
(2){2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
(3){2,4,6,8,…,100};
(4){4月,6月,9月,11月}.
题型一
题型二
题Байду номын сангаас三
题型二
{x|x=2k+1,k∈Z},也可以写作{x|x=2k-1,k∈Z}等.
3.描述法的简化
剖析:在不引起混淆的情况下,为了简便,用描述法表示某些集合
时,可以省去竖线及竖线左边表示元素的符号.例如,所有奇数组成
的集合,可以表示为{奇数},{ }本身就有“全部”“所有”的意思,不要
写成{所有奇数}或{x|x是所有奇数}等错误情势.
B={x|2x-4>0}={x|x>2}.
对于集合C,其代表元素是x,该集合是由满足y=2x-4的x构成的集
合,即函数y=2x-4中变量x的取值构成的集合,而函数y=2x-4中,x可取
任意实数,因此C={x|y=2x-4}=R.
对于集合D,其代表元素是y,该集合是由满足y=2x-4的y构成的集
合,即函数y=2x-4中变量y的取值构成的集合,显然y也可以取全体实
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 用另外一种方法表示下列集合:
(1)A= ∈Z
6
∈Z
3-
;
(2)B={y|y=-x2+9,x∈Z,y∈Z,y>0};
(3)C={3,6,9,12,15,18}.
解:(1)要使 x,
6
都是整数,则|3-x|必是
3-
6 的约数.
当x=-3,0,1,2,4,5,6,9时,|3-x|是6的约数,故A={-3,0,1,2,4,5,6,9}.
为
.
解析:因为x2-2 016x-2 017=(x+1)(x-2 017)=0,
所以x=-1或x=2 017.
所以方程x2-2 016x-2 017=0的解组成的集合为{-1,2 017}.
答案:{-1,2 017}
1
2
2.描述法
一般地,如果在集合I中,属于集合A的任意一个元素x都具有性质
p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合
{W,e,l,c,o,m,t,B,i,j,n,g};
(3)第一、三象限角平分线对应直线y=x;
(4)对于以A为圆心,r为半径的圆上的点都具有一个共同的特征:
到圆心的距离都等于半径.设点P为所求圆上的任意一点,故可以用
描述法表示为{P||PA|=r}.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1){x+1,x-1};
数,因此D={y|y=2x-4}=R.
对于集合E,其代表元素是(x,y),是数对的情势,即点的坐标的情势,
因此该集合表示的是函数y=2x-4的图象上所有点的集合.
从以上分析可以看出,对于用描述法表示的集合,要抓住其元素
进行分析,明确集合的本质,确定集合中的元素.
2.分析用描述法表示的集合时,要以“特征性质”为核心
满足什么条件,再写出集合.
1
2
【做一做2-1】 集合{(x,y)|y=2x-1}表示(
)
A.方程y=2x-1
B.点(x,y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y=2x-1的图象上的所有点组成的集合
答案:D
【做一做2-2】 已知集合A={0,1,2,3,4},用描述法表示该集合
为
.(答案不唯一,写一个即可)
所以实数x的集合为{x|x≠1,且x≠2,x∈R};
-1
-1
(3)因为 2
=
有意义,
-3+2
(-1)(-2)
(4){(x,y)|xy=0};
(5){x|x是锐角三角形}.
反思认识用特征性质描述法表示的集合,一要看集合的代表元素
是什么,它反应了集合元素的情势;二要看元素满足什么特征.对符
1.1.2 集合的表示方法
1.能运用自然语言、集合语言(列举法、描述法)描述不同的具体
问题.
2.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如数
集、解集和一些基本图形的集合等.
1
2
1.列举法
如果一个集合是有限集,元素又不太多,常常把集合的所有元素
都列举出来,写在花括号“{ }”内表示这个集合.这种表示集合的方
(2)由y=-x2+9,x∈Z,y∈Z,y>0可知0<y≤9.
当x=0,±1,±2时,y=9,8,5满足题意,故B={9,8,5}.
(3)C={x|x=3k,1≤k≤6,k∈N+}.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点:对集合的特征性质理解不深致错
【例4】 已知集合
M={x|x=2a,a∈Z},N={x|x=2a+1,a∈Z},P={x|x=4a+1,a∈Z}.若
题型四
用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合:
(1)所有不小于2且不大于30的实数的集合;
(2)被5除余3的正整数的全体;
-1
(3)使 2
有意义的实数x 的集合;
-3+2
(4)平面直角坐标系内,两坐标轴上的点集;
(5)全体锐角三角形构成的集合.
分析:(2)中x=5k+3(k∈N)可作为集合的一个特征性质;(3)中要使
A的一个特征性质.于是,集合A可以用它的特征性质p(x)描述为
{x∈I|p(x)},它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成
的.这种表示集合的方法,叫做特征性质描述法,简称描述法.
1
2
知识拓展1.使用描述法表示集合时要注意以下六点:
(1)写清元素符号;(2)说明该集合中元素的性质;(3)不能出现未被
合?
剖析:在初中,我们学习了平行四边形的判定定理,即平行四边形
所具有的特征性质:有两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等.因此,平行四边
形ABCD的特征性质可以写成:AB∥CD,且AD∥BC,或ABCD等.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型四
用列举法表示集合
二、教材中的“思考与讨论”
1.哪些性质可作为集合{-1,1}的特征性质?
剖析:集合{-1,1}是只含有元素-1和1的集合,因此,能表示出元素1,1的方程、式子等都可以作为它的特征性质.例如,x2=1或|x|=1或
(x+1)·(x-1)=0等,本题也说明了表达同一个集合的特征性质并不是
唯一的.
2.平行四边形的哪些性质,可用来描述所有平行四边形构成的集
m∈M,n∈N,则有(
)
A.m+n∈M
B.m+n∈N
C.m+n∈P
D.m+n不属于M,N,P中的任意一个
错解:C
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析:不能正确利用集合中元素的特征性质,认为三个集合
中的a是一致的,从而由m∈M,得m=2a,a∈Z.由n∈N,得
n=2a+1,a∈Z.故m+n=4a+1,a∈Z.进而错误地判断m+n∈P.而实际
(2){W,e,l,c,o,m,t,B,i,j,n,g};
(3){(x,y)|y=x,x∈R,y∈R};
(4)设点P为所求圆上的任意一点,
则所求集合为{P||PA|=r}.
反思用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二
要明确元素所满足的特征性质;三要根据元素个数来选择恰当的方
法表示集合.
题型一
(4)以A为圆心,r为半径的圆上的所有点构成的集合.
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:(1)由于x2-1的一次因式为x+1和x-1,因此可以用列举法表示
为{x+1,x-1};
(2)由于“Welcome to Beijing”中包含的字母有
W,e,l,c,o,m,t,B,i,j,n,g,共12个元素,因此可以用列举法表示为
上,三个集合中的a是不一致的.应由m∈M,设m=2a1,a1∈Z.由n∈N,
说明的字母;(4)多层描述时,应当准确使用“且”“或”;(5)所有描述的
内容都要写在集合符号内;(6)用于描述的语句力求简明、准确.
2.将描述法转化为列举法时,第一确定集合是由哪些元素构成的,
然后将所有元素写在花括号内;将列举法转化为描述法时,第一要
明确集合中元素的公共属性,即弄清集合的代表元素是什么,元素
程的二重根,要考虑到集合元素的互异性;(3)是无限集合,应有规律
地列举;(4)是单元素集;(5)方程组的解集是点集.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1){0,1,4,9,16};
(2){1,2};
(3){31,33,35,37,…};
(4){法国};
(5){(3,2)}.
反思第(2)小题中1是方程的二重根,把方程(x-1)2·(x-2)=0的解集
写成{1,1,2}是不正确的,这是因为集合的元素是互异的;第(5)小题
中集合的代表元素是(x,y),是一个点,故不能写成{3,2},也不能写成
{x=3,y=2}.实际上,集合{(3,2)}只有一个元素.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 用列举法表示下列集合:
(1)由方程x2=36的解构成的集合;
1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1 000};
(3)元素个数无限但有规律时,也可以类似地用省略号列举,如自
然数集N可以表示为{0,1,2,3,…}.
1
2
【做一做1-1】 用列举法表示不超过10的非负偶数集
为
.
答案:{0,2,4,6,8,10}
【做一做1-2】 方程x2-2 016x-2 017=0的解组成的集合
答案:{x∈N|x≤4}
一、正确理解集合的描述法
1.用描述法表示集合时,要明确集合的代表元素
剖析:描述法是将所给集合中全部元素的共同特征性质用文字或
符号语言描述出来的方法,它反应了集合元素的特征.在分析有关
集合的问题时,一定要分清集合中的代表元素,从而确定集合的本
质.
例如,给出集合A={x|2x-4=0},B={x|2x-4>0},C={x|y=2x4},D={y|y=2x-4},E={(x,y)|y=2x-4},它们之间有何关系?每个集合中
法叫做列举法.
1
2
归纳总结1.用列举法表示集合时,一般不必考虑元素间的前后顺
序,如{a,b}与{b,a}表示同一个集合.
2.元素与元素之间必须用“,”隔开.
3.集合中的元素不能重复.
4.列举法表示集合的几种情形:
(1)元素个数少且有限时,全部列举,如{1,2,3,4,5};
(2)元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如“从
(2){(x,y)|x>0,且y<0};
(3){x|x=4n,n∈N};
(4){x|x是正方形}.
题型一
题型二
题型三
题型三
题型四
列举法和描述法的灵活运用
【例3】 选择适当的方法表示下列集合:
(1)x2-1的一次因式构成的集合;
(2)“Welcome to Beijing”中的所有字母构成的集合;
(3)平面直角坐标系内第一、三象限角平分线上的点的集合;
【例1】 用列举法表示下列集合:
(1){自然数中五个最小的完全平方数};
(2){x|(x-1)2(x-2)=0};
(3)不小于30的奇数组成的集合;
(4)202X年第15届欧洲杯足球赛的主办国家组成的集合;
2 + = 8,
(5) (,)
.
- = 1
分析:(1)明确自然数中完全平方数均为n2(n∈N)的情势;(2)1是方
的元素是什么?其本质又是什么?
对于集合A,其代表元素是x,该集合是由满足方程2x-4=0的x构成
的集合,即方程2x-4=0的解的集合,而方程2x-4=0只有一个解x=2,因
此A={x|2x-4=0}={2}.
对于集合B,其代表元素是x,该集合是由满足不等式2x-4>0的x构
成的集合,即不等式2x-4>0的解集,而2x-4>0的解为x>2,因此
号语言所表达含义的理解在数学中的要求是很高的,要逐步提高对
符号语言的认识.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 用描述法表示下列集合:
(1)不等式3x+5≤0的解集;
(2)平面直角坐标系内,第四象限内点的集合;
(3)能被4整除的自然数构成的集合;
(4)全体正方形构成的集合.
解:(1){x|3x+5≤0};