河北正定中学2018-2019学度高二上第四次抽考-数学

河北正定中学2018-2019学度高二上第四次抽考-数学
【一】选择题(每题5分，共60分). 1. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采纳分层抽样的方法从这些学校中抽取 30所学校对学生进行视力调査，应从中学中抽取学校数为〔 〕 A 、18 B 、9 C 、3 D 、 15 2. “x <-1”是“x 2-1>0”的〔 〕
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
3. 甲、乙两名篮球运动员在某几场竞赛得分的茎叶图如下图，那么甲、 乙两人这几场竞赛得分的中位数之和是〔 〕
A 、63
B 、64
C 、65
D 、66
4. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标 注的数字外完全相同、现从中随机取出2个小球，那么取出的小球标注的
数字之差的绝对值为2或4的概率是〔 〕
A. 110
B. 310
C. 25
D. 14 5. ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是c b a ,,，85b c =，2C B =，那么cos C =〔 〕
A. 25
7 B.
257- C. 257± D. 25
24
6. 假设一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是〔 〕
A.54
B.53
C. 52
D. 5
1
7. 曲线21x y e -=+在点
()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为〔 〕
A 、13
B 、12
C 、23
D 、
8. 曲线
2y x
=
与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为[〔 〕 A. 2ln 2- B. 42ln 2- C. 4ln 2-
D. 2ln 2
9. 某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是〔 〕
A. 28+65
B. 30+65
C. 56+ 125
D. 60+125
①假设α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线，那么//αβ； ②假设α外一条直线与α内的一条直线平行，那么//l α；
③设α和β相交于直线，假设α内有一条直线垂直于，那么αβ⊥； ④直线与α垂直的充分必要条件是与α内的两条直线垂直. 上面命题中，假命题为〔〕
A.①和②
B.②和③
C.③和④
D.②和④
11.函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点,那么c =〔〕
A 、-3或1
B 、-9或3
C 、-1或1
D 、-2或2
12.如图，过抛物线()042>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于
点,A B ，交其准线于点C ，假设10
AF =，且
45BC BF
=，
那么此抛物线方程为〔〕
A.x y 92=
B.x y 42=
C.x y 22=
D.x y 182=
【二】填空题(每题5分，共20分) 13、设,x y 满足约束条件0
2323x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
,那么z x y =-的最大值是.
14.设抛物线
216x y =的焦点为F ，通过点()12，
P 的 直线与抛物线相交于ＢＡ,两点且点P 恰为AB 的 中点，那么
AF BF += .
15.执行如下图的程序框图,假设输入n 的值为8,那么输出s 的值为
______. 16.设数列
{}n a 是公差不为零的等差数列，前n 项和n S ，且
2222
23457,7a a a a S +=+=，假设要12
m m m a a a ++∙为数列{}
n a 中的项，求满足条件的所有正整数m 的和为 . 【三】解答题(共70分). 17.〔此题总分值10分〕
等差数列
{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，首项
11b =，且2264b S =，33960b S =.
〔1〕求
n a 与n b ；
〔2〕求
12111...n
S S S +++的值.
18、〔此题总分值12分〕
在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c o s c o s B C b a c
=-+2. 〔1〕求角B 的大小； 〔2〕假设
b a
c =+=134
，，求△ABC 的面积.
19、〔此题总分值12分〕
将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，将得到的点数分别记为,a b . 〔1〕求直线50ax by ++=与圆221x y +=相
切的概率；
〔2〕将,,5a b 的值分别作为三条线段的长，求这三条线
段能围成等腰三角形的概率、 20、〔此题总分值12分〕
函数32()f x ax bx cx =++在点0
x 处取得极小
值－4，使其导函数()0f x '>的x 的取值范围为〔1，3〕. 〔1〕求()f x 的解析式及()f x 的极大值； 〔2〕当
[]
2,3x ∈时，()6(2)60f x m x '+-+≥恒成立，求m 的取值范围.
21.〔此题总分值12分〕
如图的几何体,四边形ABCD 是等腰梯形,//AB CD ,60DAB ∠=，FC ⊥平面,,ABCD AE BD CB CD CF ⊥==.
(1)求证:BD AED ⊥平面； (2)求二面角F BD C --的余弦值. 22.〔此题总分值12分〕
椭圆
22
22:1(0)
x y M a b a b +=>>
的离心率为3
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点
构成的三角形周长为6+、 〔1〕求椭圆M 的方程；
〔2〕设直线与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求
ABC ∆面积的最大值、
答案
【一】选择题 BAACABABBCDB 【二】填空题
13.014.1015.816.2 【三】解答题
17.
18.解：〔1〕：由正弦定理得,cos sin cos 2sin sin B
B
C A C
=-+即20
s i n c o s s i n c o s c o s s i n A B C B C B ++=即20s i n c o s s i n ()A B B C ++= ∵sin()sin 2sin cos sin 0B C A A B A +=+=，∴
∵s i n c o s A B ≠，∴，012=-∵B 为三角形的内角，∴B =2
3π.
〔2〕将b a c B =+==13423
，，π代入余弦定理b a c a c B 2222=+-c o s 得b a c a c a c B 22
22=+--()c o s ，∴13162112
3=--=a c a c ()，∴∴
S a c B A B C
△==123
4
3s i n . 19.解：〔1〕先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36、
因为直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2＋y 2=1
相切，因此有1=即：a 2＋b 2
=25，
满足条件的情况只有a=3,b=4；或a=4,b=3两种情况、因此，概率是2
13618
=---6分 〔2〕先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36、
因为，三角形的一边长为5 因此，当a=1时，b=5，〔1，5，5〕1种
当a=2时，b=5，〔2，5，5〕1种 当a=3时，b=3，5，〔3，3，5〕，〔3，5，5〕2种 当a=4时，b=4，5，〔4，4，5〕，〔4，5，5〕2种 当a=5时，b=1，2，3，4，5，6， 〔5，1，5〕，〔5，2，5〕，〔5，3，5〕， 〔5，4，5〕，〔5，5，5〕，〔5，6，5〕6种 当a=6时，b=5，6，〔6，5，5〕，〔6，6，5〕2种
故满足条件的不同情况共有14种.因此，概率为14736
18
=
、-----------12分
〔2〕2()3(1)(3)6(2)63(21)g x x x m x x mx =---+-+=--+，
23(21)0x mx --+≥在[]3,2∈x 恒成立，
即2210x mx -+≤，分离变量，得
112m x x ⎛⎫≥+ ⎪
⎝⎭
在[]3,2∈x 恒成立，……10分
当x=3时，
112y x x ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
取得最大值53，因此m 的取值范围是5
[,)3+∞……12分
21.解析:(1)在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,由余弦定理可知
202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=,
即AD CD BD 33==
,在ABD ∆中,∠DAB=60°,AD BD 3=,
那么ABD ∆为直角三角形,且DB AD ⊥.又AE ⊥BD,⊂AD 平面AED,⊂AE 平面AED,且A AE AD = ,故BD ⊥平面AED; (2)由(1)可知CB AC ⊥,设1=CB ,那么3=
=BD CA ,
建立如下
图的空间直角坐标系,
)
0,2
1,23(),0,1,0(),01,0(-D B F ,向量)1,0,0(=n 为平面BDC
的一个法向量.设向量
)
,,(z y x =为平面BDF 的法向量,那么
⎪⎩⎪⎨⎧
=⋅=0
0m ,即
⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0
2323z y y x ,
取1=y ,那么
1,3==z x ,那么)1,1,3(=为平面BDF 的一个法向量
.
5
5
5
1,cos =
=
>=
<,而二面角F-BD-C 的平面角为锐角,那么其余弦值为
5
5
. 〔2〕方法一:
不妨设
的方程
，那么的
方程为
.
由
得，设
，
，因为
，因此
，同理可得
，因此
，，
，设，那么
，
当且仅当时取等号，因此面积的最大值为.
方法二：不妨设直线的方程.由消去得
，
设，，那么有，①.因为以为直径
的圆过点，因此.由，得
.
将代入上式，得.
将①代入上式，解得或〔舍〕.因此〔如今直线通过定点，与椭圆有两个交点〕，因此
.
设，那么.因此，
最大值.。