5.2.2 同角三角函数的基本关系

二、化简求值与恒等式的证明
例 2 (1)化简：tan α sin12α－1，其中 α 是第二象限角；
解 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故 tan α
sin12α－1＝tan α
1－sinsi2nα2α＝tan α
cos2α sin2α
＝csoins
α cos α· sin
跟踪训练 2
求证：
sin α
cos ·
α·tan
α＝1.
1－cos α 1＋cos α
sin α
证明
sin α 1－cos
α·c1o＋s αctoasnαα＝1－sicnoαs
cos α·cos α α·1＋cos α
＝1－sicnoαs
sin α α·1＋cos
α
＝1－sinco2αs2α＝ssiinn22αα＝1.
αα＝csoins
α －cos α· sin α
α＝－1.
(2)化简： sin α ·
tan α－sin α .
1－cos α tan α＋sin α
解 原式＝1－sicnoαs α·
＝1－sicnoαs α·
1－cos α 1＋cos α
sin cos
αα－sin
α
sin cos
αα＋sin
α
＝1－sicnoαs α·
2
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.已知 α 是第四象限角，cos α＝1123，则 sin α＝ －153 .
解析 由条件知 sin α＝－ 1－cos2α
＝－ 1－11232＝－153.
2.sin22θ＋cos22θ＝ 1 .
3.已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝ －13 .
反思
感悟 (1)sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可 以求其他两个，即“知一求二”. (2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号.
跟踪训练 3 若 sin θ－cos θ＝ 2，则 tan θ＋tan1 θ＝ －2 .
1.平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 1 ，即sin2α＋cos2α＝ 1 . 2.商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的 正切 ，即 sin α＝ tan α 其中
cos α α≠kπ＋π2 (k∈Z).
思考 同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？ 答案 平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠kπ＋π，k∈Z.
解析 由题意得3sin α＝－cos α≠0， ∴tan α＝－13.
4.若 cos α＝35，且 α 为第四象限角，则 tan α＝ －43
.
解析 因为 α 为第四象限角，且 cos α＝35， 所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－352＝－45， 所以 tan α＝csoins αα＝－43.
素养
提升
asin α＋bcos α asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α
(1)已知 tan α＝m，可以求
或
的
csin α＋dcos α dsin2α＋esin αcos α＋fcos2α
值，将分子分母同除以 cos α 或 cos2α，化成关于 tan α 的式子，从而达到
求值的目的. (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝ sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子， 从而可以求值. (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养.
第五章 5.2 三角函数的概念
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点 同角三角函数的基本关系
1－cos α2 1－cos2α
＝1－sicnoαs
1－cos α· |sin α|
α＝±1.
反思
感悟 同角三角函数关系化简常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称； (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号； (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以 降幂化简.
2 题型探究
PART TWO
一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值
例1
(1)已知 α∈π，32π，tan α＝2，则 cos α＝
－
5 5
.
解析 由已知得csoins αα＝2，
①
sin2α＋cos2α＝1，
②
由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以 cos2α＝15，
反思
感悟 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知 sin α＝m，可以先应用公式 cos α＝± 1－sin2α，求得 cos α 的值，
再由公式 tan α＝csoins αα求得 tan α 的值.
(2)若已知 cos α＝m，可以先应用公式 sin α± 1－cos2α，求得 sin α 的值，
12345
2.若 cos α＝－45，且 α 是第二象限角，则 tan α 的值等于
3 A.4
√B.－34
4 C.3
D.－43
解析 由题意可得 sin α＝ 1－cos2α＝35， ∴tan α＝csoins αα＝－34.
12345
3.已知 sin α＝13，tan α＝－ 42，则 cos α 等于
三、sin θ±cos θ型求值问题
例 3 已知 sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)， 求：(1)tan θ；
(2)sin θ－cos θ.
解 方法一 由(1)可知，sin θ－cos θ＝45－－35＝75. 方法二 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0， 又 sin θ＋cos θ＝15，两边平方， 整理得 sin θcos θ＝－1225<0，所以 cos θ<0. 又(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋2245＝4295， ∴sin θ－cos θ＝75.
又 α∈π，32π，所以 cos α<0，
所以
cos
α＝－
5 5.
(2)已知 cos α＝－187，求 sin α，tan α 的值.
解 ∵cos α＝－187<0， ∴α是第二或第三象限的角. 如果α是第二象限角，那么
sin α＝ 1－cos2α＝ 1－－1872＝1157， 15
tan α＝csoins αα＝－17187＝－185. 如果α是第三象限角，同理可得 sin α＝－ 1－cos2α＝－1157，tan α＝185.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)同角三角函数基本关系式； (2)三角恒等式的化简与证明； (3)sin α±cos α型求值问题； (4)齐次式的化切求值. 2.方法归纳：sin α±cos α型求值问题中的整体代换法. 3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类 讨论.
4sin α－cos α
(1) 3sin
α＋5cos
； α
解
原式＝4tan 3tan
αα－＋15＝43××33－＋15＝1114.
sin2α－2sin α·cos α－cos2α
(2)
；
4cos2α－3sin2α
解 原式＝tan24α－－32ttaann2αα－1＝324－－23××33－2 1＝－223. (3)34sin2α＋12cos2α. 解 原式＝34ssiinn22αα＋＋12cocos2sα2α＝34ttaann22αα＋＋112＝34×323＋2＋1 12＝2490.
解析 由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，
∴sin θcos θ＝－12.
∴tan
θ＋tan1
θ＝csoins
θθ＋csoins
θθ＝sin
1 θcos
θ＝－2.
核心素养之数学运算
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN
化切求值的方法技巧
典例 已知tan α＝3，求下列各式的值：
3 随堂演练
PART THREE
1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是
A.tan
α＝－csoins
α α
√B.cos α＝－ 1－sin2α
C.sin α＝－ 1－cos2α
D.tan
α＝csoins
α α
解析 由商数关系可知A，D均不正确. 当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，故B正确.
再由公式 tan α＝csoins αα求得 tan α 的值.
(3)若已知 tan α＝m，可以应用公式 tan α＝csoins αα＝m⇒sin α＝mcos α 及 sin2α
＋cos2α＝1，求得 cos α＝± 1 ，sin α＝± m 的值.
1＋m2
1＋m2
跟踪训练1 已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值.
√A.－2 3 2
22 B. 3
C.－13
2 D. 4
解析 由 sin α＝13>0，tan α＝－ 42<0，可知 α 是第二象限角，
∴cos α＝－
1－sin2α＝－2
3
2 .
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4.已知 cos α－sin α＝－12，则 sin αcos α 的值为
3 8
.
12345
4 5.已知 tan α＝－12，则s2ins2inα－αccooss2αα＝ 3 . 解析 因为 tan α＝－12， 所以s2ins2inα－αccoossα2α＝ta2nt2aαn－α1＝2－×12－2－121 ＝43.