厦门市外国语学校人教版七年级下册数学期末压轴难题试卷及答案.doc (2)

厦门市外国语学校人教版七年级下册数学期末压轴难题试卷及答案.doc 一、选择题
1．下列四幅图中，1∠和2∠是同位角的是（ ）
A ．（1）（2）
B ．（3）（4）
C ．（1）（2）（3）
D ．（1）（3）（4）
2．下列汽车商标图案中，可以由一个“基本图案”通过连续平移得到的是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
3．点()3,5A -在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．下列命题中假命题的是（ ） A ．同旁内角互补，两直线平行
B ．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D ．在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直 5．如图，一副直角三角板图示放置，点C 在DF 的延长线上，点A 在边EF 上，
//AB CD ，90ACB EDF ∠=∠=︒，则CAF ∠=（ ）
A ．10︒
B ．15︒
C ．20︒
D ．25︒
6．下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，b ＜c ，则a ＞c B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c C ．49的平方根是7
D ．负数没有立方根
7．一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另
一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）
A ．90°
B ．75°
C ．65°
D ．60°
8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成
一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2
π
个单位长度，则第2021秒时，点P 的坐标是（ ）
A ．(2020，0)
B ．(2021，-1)
C ．(2021，1)
D ．(2022，0)
二、填空题
9．已知1x -＝8，则x 的值是________________．
10．已知点,A a b （）在第四象限，||5,||3a b ==，则点A 关于y 轴对称的坐标是__________.
11．若点A （9﹣a ，3﹣a ）在第二、四象限的角平分线上，则A 点的坐标为_____． 12．如图，a ∥b ，∠1＝68°，∠2＝42°，则∠3＝_____________．
13．把一张对边互相平行的纸条折成如图所示，EF 是折痕，若38EFB ∠=︒，则
BFD ∠=______．
14．任何实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如[]4431⎡=⎤⎣⎦
=，，现对50进行如下操作：5050=77=22=1⎡⎤⎤⎤−−−→−−−→−−−→⎣⎦⎦⎦第一次第二次第三次
，这样对50只需进行3次操作后变
为1，类似地，对72只需进行3次操作后变为1；那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是______．
15．若点P(2-m ，m+1)在x 轴上，则P 点坐标为_____．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，每次移动1个单位长度，依次得到点P 1（0，1），P 2（1，1），P 3（1，0），P 4（1，﹣1），P 5（2，﹣1），P 6（2，0）⋯，则P 2020的坐标是___．
三、解答题
17．计算： （1）3-(-5)+(-6) （2）()2
11162
--⨯
18．求下列各式中x 的值：
（1）2360x -=；
（2）3
1348
x -
=-． 19．如图，已知：//AB CD ，180B D ∠+∠=︒．
求证：//BC DE ．
证明：∵//AB CD （已知）， ∴∠______＝∠______（______）． ∵180B D ∠+∠=︒（______）， ∴∠______180D +∠=︒（等量代换）． ∴//BC DE （______）．
20．已知在平面直角坐标系中有三点(3,0)A -，(5,4)B ，(1,5)C ，请回答如下问题： （1）在平面直角坐标系内描出A 、B 、C ，连接三边得到ABC ；
（2）将ABC 三点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位，得到111A B C △；画出
111A B C △，并写出1A 、1B 、1C 三点坐标；
（3）求出111A B C △的面积．
21．阅读下面的文字，解答问题，例如：479<即273<,
7272；
（117的整数部分是____________，小数部分是________
（2）已知917m ，917n ，且()2
1x m n +=+，请求出满足条件的x 的值．
二十二、解答题
22．工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁剪出一块18平方分米的长方形的工件.
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁下来的长方形的长宽的比为3:2，问这块正方形工料是否合格？（参考数235）
二十三、解答题
23．阅读下面材料： 小亮同学遇到这样一个问题：
已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ． 求证：∠BED ＝∠B +∠D ．
（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整． 证明：过点E 作EF //AB ， 则有∠BEF ＝ ． ∵AB //CD ， ∴ // ， ∴∠FED ＝ ．
∴∠BED ＝∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，
已知：直线a //b ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，且BE ，DE 所在的直线交于点E ．
①如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数； ②如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，请你求出∠BED 的度数（用含有α，β的式子表示）．
24．已知直线//EF MN ，点,A B 分别为EF ， MN 上的点．
（1）如图1，若120FAC ACB ∠=∠=︒，1
2
CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，求CBN
∠与ADB ∠的度数；
（2）如图2，若120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 1
3
CBD CBN ∠=∠，则
ADB =∠_________︒；
（3）若把（2）中“120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 1
3
CBD CBN ∠=∠”改为
“FAC ACB m ∠=∠=︒，1
CAD FAC n
∠=
∠， 1CBD CBN n ∠=∠”，则
ADB =∠_________︒．（用含,m n 的式子表示）
25．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为__________
（2）如图1，已知∠MON ＝60°，在射线OM 上取一点A ，过点A 作AB ⊥OM 交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （点C 不与O 、B 重合），若∠ACB =80°．判
定△AOB 、△AOC 是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D 在△ABC 的边上，连接DC ，作∠ADC 的平分线交AC 于点E ，在DC 上取一点F ，使得∠EFC +∠BDC ＝180°，∠DEF ＝∠B ．若△BCD 是“梦想三角形”，求∠B 的度数．
26．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
（习题回顾）已知：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AE 是角平分线，CD 是高，AE 、CD 相交于点F .求证：CFE CEF ∠=∠；
（变式思考）如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，若ABC 的外角
BAG ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，其反向延长线与BC 边的延长线交于点E ，则
CFE ∠与CEF ∠还相等吗？说明理由；
（探究延伸）如图3，在ABC 中，AB 上存在一点D ，使得ACD B ∠=∠，BAC ∠的平分线AE 交CD 于点F .ABC 的外角BAG ∠的平分线所在直线MN 与BC 的延长线交于点M .直接写出M ∠与CFE ∠的数量关系.
【参考答案】
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
互为同位角的两个角，都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角． 【详解】
解：根据同位角的定义，图（1）、（2）中，∠1和∠2是同位角； 图（3）∠1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角； 图（4）∠1、∠2不在被截线同侧，不是同位角．
故选：A ． 【点睛】
本题考查同位角的概念，是需要熟记的内容．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．
2．B 【分析】
根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A 、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项错误； B 、可以由一个“基本图案”平移得到，故把本选项正
解析：B 【分析】
根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A 、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项错误； B 、可以由一个“基本图案”平移得到，故把本选项正确； C 、是轴对称图形，不是基本图案的组合图形，故本选项错误； D 、是轴对称图形，不是基本图案的组合图形，故本选项错误． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了生活中的平移现象，仔细观察各选项图形是解题的关键． 3．B 【分析】
根据坐标的特点即可求解． 【详解】
点()3,5A -在平面直角坐标系中所在的象限是第二象限 故选B ． 【点睛】
此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知直角坐标系的特点． 4．D 【分析】
根据平行线的判定定理逐项分析即可判断． 【详解】
A. 同旁内角互补，两直线平行,是真命题，不符合题意；
B. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行,是真命题，不符合题意；
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,是真命题，不符合题意；
D. 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故D 选
项是假命题，符合题意； 故选D 【点睛】
本题考查了真假命题的判断，掌握相关定理与性质是解题的关键． 5．B 【分析】
根据平行线的性质可知，BAF=EFD=45∠∠ ，由BAC=30∠ 即可得出答案。

【详解】
解：∵90ACB EDF ∠=∠=︒ ∴BAC=30∠，EFD=45∠ ∵//AB CD ∴BAF=EFD=45∠∠
∴CAF ∠=BAF BAC=15∠-∠ 故答案是B 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补. 6．B 【解析】 【分析】
根据不等式的性质、平行线的判定、平方根和立方根依次判定各项后即可解答． 【详解】
选项A ，由a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ，可得选项A 错误； 选项B ， 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，正确； 选项C ，由49的平方根是±7，可得选项C 错误； 选项D ，由负数有立方根，可得选项D 错误； 故选B ． 【点睛】
本题考查了命题的知识，关键是根据不等式的性质、平行线的判定、平方根和立方根解答． 7．B 【分析】
根据平行线的性质可得∠FDC ＝∠F ＝30°，然后根据三角形外角的性质可得结果． 【详解】 解：如图，
∵EF ∥BC ， ∴∠FDC ＝∠F ＝30°，
∴∠1＝∠FDC +∠C ＝30°+45°＝75°， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知三角板各个角的度数是解本题的关键．
8．C 【分析】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P 的坐标． 【详解】
解：半径为1个单位长度的半圆的周长为×2π×1=π，
∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长
解析：C 【分析】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P 的坐标． 【详解】
解：半径为1个单位长度的半圆的周长为1
2×2π×1=π， ∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2
个单位长度， ∴点P 每秒走1
2个半圆，
∴当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为(1，1)，
当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为(2，0)， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为(3，-1)， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为(4，0)， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为(5，1)， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为(6，0)， …，
∵2021÷4=505余1， ∴P 的坐标是（2021，1）， 故选：C ． 【点睛】
此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
二、填空题
9．65
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义确定x-1的值，解方程即可.
【详解】
∵＝8
∴x-1=64
x=65
故答案为65
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是关键
解析：65
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义确定x-1的值，解方程即可.
【详解】
∵8
∴x-1=64
x=65
故答案为65
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是关键.
10．【分析】
由第四象限点的坐标符号是（+，-），可得，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可求解．
【详解】
解：因为在第四象限，则，所以，
又因为关于y轴对称，x值相反，y值不变，
解析：53
（，）
--
【分析】
由第四象限点的坐标符号是（+，-），可得53
（，），关于y轴对称的点，纵坐标相同，横
A-
坐标互为相反数，即可求解．
【详解】
解：因为,A a b （）在第四象限，则00a b ><，，所以53A -（，）
， 又因为53A -（，）
关于y 轴对称，x 值相反，y 值不变， 所以点A 关于y 轴对称点坐标为53--（，）
. 故答案为53--（，）
. 【点睛】
本题考查点的坐标的意义和对称的特点．关键是掌握点的坐标的变化规律．
11．（3，﹣3）．
【分析】
根据第二、四象限角平分线上点的坐标特征得到9﹣a+3﹣a ＝0，然后解方程即可．
【详解】
∵点P 在第二、四象限角平分线上，
∴9﹣a+3﹣a ＝0，
∴a ＝6，
∴A 点的坐标
解析：（3，﹣3）．
【分析】
根据第二、四象限角平分线上点的坐标特征得到9﹣a+3﹣a ＝0，然后解方程即可．
【详解】
∵点P 在第二、四象限角平分线上，
∴9﹣a+3﹣a ＝0，
∴a ＝6，
∴A 点的坐标为（3，﹣3）．
故答案为：（3，﹣3）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质：解题的关键是利用坐标特征判断线段与坐标轴的位置关系；记住坐标轴和第一、三象限角平分线、第二、四象限角平分线上点的坐标特征． 12．110°
【分析】
如图，利用平行线的性质，求得∠4=∠5=∠1，计算∠2+∠5，再次利用平行线的性质，得到∠3=∠2+∠5．
【详解】
如图，∵a ∥b ，
∴∠4=∠1=68°，
∴∠5=∠4=68
解析：110°
【分析】
如图，利用平行线的性质，求得∠4=∠5=∠1，计算∠2+∠5，再次利用平行线的性质，得到∠3=∠2+∠5．
【详解】
如图，∵a∥b，
∴∠4=∠1=68°，
∴∠5=∠4=68°，
∵∠2=42°，
∴∠5+∠2=68°+42°=110°，
∵a∥b，
∴∠3=∠2+∠5，
∴∠3=110°，
故答案为：110°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等是解题的关键．
13．【分析】
需理清楚折叠后，得到的新的角与原来的角相等，再结合平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可求解．
【详解】
，
，
是折痕，折叠后，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行
解析：104
【分析】
需理清楚折叠后，得到的新的角与原来的角相等，再结合平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可求解．
【详解】
∠=︒，
'//',38
AC BD EFB
∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
'180********
EFD EFB
EF是折痕，折叠后，'142
∠=︒，
EFD
∴∠=∠=︒，
'142
EFD EFD
∠=︒，
EFB
38
∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
BFD EFD EFB
14238104
故答案为：104︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，折叠问题，体现了数学的转化思想，模型思想．
14．255
【分析】
根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
【详解】
解：设这个数是p，
∵[x]=1
.∴1≤x＜2．
∴1≤＜2．
∴1≤m＜4．
∴1≤＜16．
∴1≤p＜256．
∵p
解析：255
【分析】
根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
【详解】
解：设这个数是p，
∵[x]=1
.∴1≤x＜2．
∴2．
∴1≤m＜4．
∴16．
∴1≤p＜256．
∵p是整数．
∴p的最大值为255．
故答案为：255．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，正确理解取整含义是求解本题的关键．
15．（3，0）
【分析】
根据x轴上的点的坐标纵坐标为0列方程可求出m的值，即可得出点P坐标．【详解】
∵点P(2-m，m+1)在x轴上，
∴m+1=0，
解得：m=-1，
∴2-m=3，
∴P点坐标
解析：（3，0）
【分析】
根据x轴上的点的坐标纵坐标为0列方程可求出m的值，即可得出点P坐标．
【详解】
∵点P(2-m，m+1)在x轴上，
∴m+1=0，
解得：m=-1，
∴2-m=3，
∴P点坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标等于0是解题的关键．
16．（673，-1）
【分析】
先根据P6（2，0），P12（4，0），即可得到P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，-1），再根据P6×336（2×336，0），可得P2016（672，0），进而
解析：（673，-1）
【分析】
先根据P6（2，0），P12（4，0），即可得到P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，-1），再根据
P6×336（2×336，0），可得P2016（672，0），进而得到P2020（673，-1）．
【详解】
解：由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，-1），
∵2016÷6=336，
∴P6×336（2×336，0），即P2016（672，0），
∴P2020（673，-1）．
故答案为：（673，-1）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标变化规律，解决问题的关键是根据图形的变化规律得到P 6n （2n ，0）．
三、解答题
17．（1）2；（2）-1
【分析】
(1)利用加减法法则计算即可得到结果；
(2)先算乘方和平方根，再算乘法，最后进行加减计算即可得到结果．
【详解】
（1）解：3-(-5)+(-6)
=3+5-6
解析：（1）2；（2）-1
【分析】
(1)利用加减法法则计算即可得到结果；
(2)先算乘方和平方根，再算乘法，最后进行加减计算即可得到结果．
【详解】
（1）解：3-(-5)+(-6)
=3+5-6
=2
（2）解：(-1)212
=1-4× 12
=1-2
=-1
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（1）；（2）
【分析】
（1）方程整理后，利用开平方定义即可求解，即将一个正数开平方后，得到互为相反数的两个解；
（2）方程整理后，将一个数开立方后，只得到一个解．
【详解】
解：（1）移项得，，
解析：（1）6x =±；（2）12
x =-
【分析】
（1）方程整理后，利用开平方定义即可求解，即将一个正数开平方后，得到互为相反数的两个解；
（2）方程整理后，将一个数开立方后，只得到一个解．
【详解】
解：（1）移项得，236
x=，
开方得，6
x=±；
（2）移项得，331 84
x=-+，
合并同类项得，31 8
x=-，
开立方得，
1
2
x=-．
【点睛】
此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解题关键．
19．；C；两直线平行，内错角相等；已知；C；同旁内角互补，两直线平行【分析】
首先根据平行线的性质可得∠B=∠C，再由∠B+∠D=180°，可得∠C+∠D=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得C
解析：B；C；两直线平行，内错角相等；已知；C；同旁内角互补，两直线平行
【分析】
首先根据平行线的性质可得∠B=∠C，再由∠B+∠D=180°，可得∠C+∠D=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得CB∥DE．
【详解】
证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠B+∠D=180°（已知），
∴∠C+∠D=180°（等量代换），
∴CB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：B；C；两直线平行，内错角相等；已知；C；同旁内角互补，两直线平行
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用平行线的性质和判定证明．
20．（1）见详解；（2）图形见详解，（-4，-2）、（4，2）、（0，3）；（3）12．
【分析】
（1）根据坐标在坐标图中描点连线即可；
（2）按照平移方式描点连线并写出坐标点；
（3）根据坐标点利用
解析：（1）见详解；（2）图形见详解，1A（-4，-2）、1B（4，2）、1C（0，3）；（3）12．
【分析】
（1）根据坐标在坐标图中描点连线即可；
（2）按照平移方式描点连线并写出坐标点；
（3）根据坐标点利用割补法求面积即可．
【详解】
解：（1）如图：
（2）平移后如图：
平移后坐标分别为：1A（-4，-2）、1B（4，2）、1C（0，3）；
（3）111A B C △的面积：1115845484112222
⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ． 【点睛】
此题考查坐标系中坐标的平移和坐标图形的面积，难度一般，掌握平移的性质是关键． 21．（1）4，；（2）
【分析】
（1）根据夹逼法可求的整数部分和小数部分；
（2）首先估算出m ，n 的值，进而得出m+n 的值，可求满足条件的x 的值．
【详解】
（1）∵，即，
∴的整数部分是4，小数部分
解析：（1）44；（2）122,0x x =-=
【分析】
（1
（2）首先估算出m ，n 的值，进而得出m+n 的值，可求满足条件的x 的值．
【详解】
（1）∵
<45<， ∴44，
故答案是：44；
（2）∵45<<， ∴54-<-，
∴95994-<-，
∴94，小数部分是945m ==
∵45<，
∴94995+<+，
∴913，小数部分是9134n ==，
∵
2(1)541x m n +=+==
所以11x +=±
解得：122,0x x =-=．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，无理数的整数部分及小数部分的确定方法：设无理数为m ，m 的整数部分a 为不大于m 的最大整数，小数部分b 为数m 减去其整数部分，即b=m-a ；理解概念是解题的关键．
二十二、解答题
22．（1）正方形工料的边长是 5 分米；
（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.
【详解】
试题分析：（1）根据正方形的面积公式求出的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3
解析：（1）正方形工料的边长是 5 分米；
（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.
【详解】
试题分析：（1的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3x•2x=18，求出
长方形的长和宽和5比较即可得出答案．
试题解析：（1）∵正方形的面积是 25 平方分米，
∴正方形工料的边长是 5 分米；
（2）设长方形的长宽分别为 3x 分米、2x 分米，
则3x•2x=18，
x2=3，
x1，x2=
5，，
即这块正方形工料不合格．
二十三、解答题
23．（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣
【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，
解析：（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣11 22 aβ
+
【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考小亮思考问题的方法即可求∠BED的度数；
②如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【详解】
解：（1）过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；
故答案为：∠B ；EF ；CD ；∠D ；
（2）①如图1，过点E 作EF ∥AB ，有∠BEF ＝∠EBA ．
∵AB ∥CD ，
∴EF ∥CD ．
∴∠FED ＝∠EDC ．
∴∠BEF +∠FED ＝∠EBA +∠EDC ．
即∠BED ＝∠EBA +∠EDC ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，
∴∠EBA ＝12∠ABC ＝30°，∠EDC ＝1
2∠ADC ＝35°，
∴∠BED ＝∠EBA +∠EDC ＝65°．
答：∠BED 的度数为65°；
②如图2，过点E 作EF ∥AB ，有∠BEF +∠EBA ＝180°．
∴∠BEF ＝180°﹣∠EBA ，
∵AB ∥CD ， ∴EF ∥CD ． ∴∠FED ＝∠EDC ． ∴∠BEF +∠FED ＝180°﹣∠EBA +∠EDC ．
即∠BED ＝180°﹣∠EBA +∠EDC ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，
∴∠EBA ＝12∠ABC ＝12α，∠EDC ＝12∠ADC ＝12
β， ∴∠BED ＝180°﹣∠EBA +∠EDC ＝180°﹣1122
a β+． 答：∠BED 的度数为180°﹣1122
a β+． 【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 24．（1）120º，120º；（2）160；（3）
【分析】
（1）过点作，，根据 ，平行线的性质和周角可求出，则 ，再根据 ， ，可得 ， ，可求出 ，，根据 即可得到结果；
（2）同理（1）的求法，
解析：（1）120º，120º；（2）160；（3）()1360n m n -⋅- 【分析】 （1）过点,C D 作CG EF ，DH EF ，根据 120FAC ACB ∠=∠=︒，平行线的性质和周
角可求出120GCB ∠=︒，则 120CBN GCB ∠=∠=︒，再根据 12
CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，可得 1602
CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒，可求出 60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，根据 ADB ADH BDH ∠=∠+∠即可得到结果；
（2）同理（1）的求法，根据120FAC ACB ∠=∠=︒，13
CAD FAC ∠=∠， 13
CBD CBN ∠=∠求解即可； （3）同理（1）的求法，根据FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n ∠=
∠， 1CBD CBN n ∠=∠求解即可；
【详解】
解：（1）如图示，分别过点,C D 作CG EF ，DH EF ，
∵EF
MN ， ∴EF MN CG DH ，
∴120ACG FAC ∠=∠=︒，
∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，
∴120CBN GCB ∠=∠=︒，
∵1602
CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒ ∴60DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，
又∵60FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，
∴60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，
∴120ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．
（2）如图示，分别过点,C D 作CG EF ，DH EF ，
∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，
∴120ACG FAC ∠=∠=︒，
∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，
∴120CBN GCB ∠=∠=︒， ∵1403CBD CBN ∠=∠=︒， 1403
CAD FAC ∠=∠=︒
∴80DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，
又∵80FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，
∴80ADH FAD ∠=∠=︒，80BDH DBN ∠=∠=︒，
∴160ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．
故答案为：160；
（3）同理（1）的求法
∵EF MN ，∴EF MN CG DH ， ∴ACG FAC m ∠=∠=︒，
∴3603602GCB ACG ACB m ∠=︒-∠-∠=︒-︒，
∴3602CBN GCB m ∠=∠=︒-︒， ∵1
3602m CBD CBN n n ︒-︒∠=∠=， 1m CAD FAC n n
︒∠=∠= ∴()()360213602=3602m n m DBN CB D m n N n CB ︒-︒-︒-︒-
︒∠-∠=-=∠︒， 又∵()1n m FAD FAC CAD m m n n -︒∠=∠-∠=︒-
=︒， ∴()
1n ADH FAD m n -∠=∠=︒， ()13602n BDH DBN m n
-∠=∠=︒-︒， ∴()()()1113602=360n n n ADB ADH BDH m m m n n n --∠=∠+∠=
-︒︒-︒︒-+︒． 故答案为：
()1360n m n
-⋅-． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键．
25．（1）36°或18°；（2）△AOB 、△AOC 都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）∠B ＝36°或∠B ＝．
【分析】
（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，解析：（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）
∠B＝36°或∠B＝540
7
（）．
【分析】
（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；
（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；
（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝
∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可．
【详解】
解：当108°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为72°÷（1＋3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．
故答案为：18°或36°．
（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”
证明：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“梦想三角形”，
∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∴∠AOB＝3∠OAC，
∴△AOC是“梦想三角形”．
（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE ＝∠CDE ，
∴∠B ＝∠BCD ，
∵△BCD 是“梦想三角形”，
∴∠BDC ＝3∠B ，或∠B ＝3∠BDC ，
∵∠BDC ＋∠BCD ＋∠B ＝180°，
∴∠B ＝36°或∠B ＝5407
︒（）． 【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、“梦想三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
26．[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可
解析：[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸]
∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可证明；
[变式思考]根据角平分线的定义和对顶角相等可得∠CAE=∠DAF 、再根据直角三角形的性质和等角的余角相等即可得出CFE ∠=CEF ∠；
[探究延伸]根据角平分线的定义可得∠EAN=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根据三角形外角的性质可得∠CEF=∠CFE ，由此可证∠M+∠CFE=90°．
【详解】
[习题回顾]证明：∵∠ACB=90°，CD 是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD ，
∵AE 是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF ，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD ，∠CEF=∠DAF+∠B ，
∴∠CEF=∠CFE ；
[变式思考]相等，理由如下：
证明：∵AF 为∠BAG 的角平分线，
∴∠GAF=∠DAF ，
∵∠CAE=∠GAF ，
∴∠CAE=∠DAF ，
∵CD 为AB 边上的高，∠ACB=90°,
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ACE=90°，
∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，
∴∠CEF=∠CFE；
[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN=90°，
又∵∠GAN=∠CAM，
∴∠M+∠CEF=90°，
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠M+∠CFE=90°．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，等角或同角的余角相等．在本题中用的比较多的是利用等角或同角的余角相等证明角相等和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键．。