2022《创新设计》全国通用高考数学理科二轮专题复习 四周训练 第一周 星期一 习题

大题规范每天练（第一周）
星期一 (三角与数列) 2022年____月____日
1．三角学问(命题意图：考查三角函数式的恒等变换，三角函数的图象变换以及三角函数在闭区间上的值域等．)
已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
3A cos x ，A 2cos 2x (A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.
(1)求A ；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，5π24上的值域． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A
2cos 2x
＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋1
2cos 2x
＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由于A ＞0，由题意知A ＝6.
(2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6.
将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4x ＋π3的图象．因
此g (x )＝6sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x ＋π3.
由于x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，7π6，
故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3，6]． 2．数列学问(命题意图：考查数列基本量的求取，数列前n 项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题等．)
已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n
2S n －1
(n ≥2)．
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是等差数列；
(2)证明：当n ≥2时，S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n ＜3
2.
证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n
2S n －1
，
S n －1－S n ＝2S n S n －1，1S n －1
S n －1
＝2，
从而⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，1S n ＝1
S 1
＋(n －1)×2＝2n －1，
∴S n ＝1
2n －1
，
∴当n ≥2时，1n S n ＝1n （2n －1）＜1
n （2n －2）
＝12·1n （n －1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1－1n
从而S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n ＜1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＜32－12n ＜32.。