广东省佛山市南海一中2020届高三数学文科第三次模拟考试卷 新课标 人教版

广东省佛山市南海一中2020届高三数学文科第三次模拟考试卷
(06年12月16日)
一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、设集合A={x|x 2
-1>0},B={x|log 2x>0}则A ∩B 等于（ ）
（A ）{x|x>0} （B ）{x|x<-1} （C ）{x|0<x<1} （D ）{x|x>1} 2、复数z 满足(1+2i)z =4+3i 那么z=（ ）
（A ）2+ i （B ）2-i （C ）1+2i （D ）1-2i 3、已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题
（1）m ∥α,n ∥α则m ∥n （2）m ∥α,n ⊥α则m ⊥n （3）m ⊥α,m ∥β则α⊥β 其中真命题的个数是 （ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
（A ）R x x y ∈-=,3 (B)R x x y ∈=,sin ( C)R x x y ∈=, (D)R x x y ∈=,)2
1
(
5、函数x cos 4x sin 3y 2
--=的最小值为（ ）
（A ）-2 （B ）-1 （C ）-6 （D ）-3
6、已知等比数列｛a n ｝中a n >0,a 1、a 99 是方程x 2
-10x+16=0的两根，则a 20a 50a 80的值为（ ）
（A ）32 （B ）64 （C ）256 （D ）±64
7、已知)（2||,1||与且+==垂直，则与的夹角是（ ）
（A ）600
（B ）900
（C ）1350
（D ）1200
8、如果实数x 和y 满足约束条件:⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-3x 0y x 0
5y x ，那么y 4x 2z +=的最小值为（ ）
（A ）5 （B ）-6 （C ）10 （D ）-10
9、已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一条准线与抛物线y 2
=4x 的准线重合，
则该双曲线与抛物线y 2
=4x 的交点到原点的距离是（ ） （A ）21 （B ）21 （C ）632+
（D ）21218+
10、设奇函数f （x ）在[-1,1]上是增函数，且f （-1）= -1，若函数f （x ）≤t 2
-2at+1对
所有的x ∈[-1，1]都成立，则当a ∈[-1，1]时，t 的取值范围是（ ） （A ）t ≥2或t ≤-2或t=0 （B ）-2≤t ≤2
（C ）21t 21≤≤-
（D ）0t 2
1
t 21t =-≤≥或或 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.请将答案填在题中横线上 11、设等差数列｛a n ｝的前项和为S n ，a 7=15，则S 13= _________ 12、在ABC ∆中,ABC b A ∆=︒=∠,1,60的面积为
2
3
，则C B A c b a sin sin sin ++++= ____
C
B
A 13、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储
费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=____吨
14、对正整数n ，设曲线)x 1(x y n
-=在x=2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列
}1
n a {
n
+ 的前n 项和S n =________ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分12分）设函数d cx bx ax )x (f 2
3+++=的图象与y 轴的交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为12x-y-4=0。

若函数在x=2处取得极值0，求函数的解析式
16、(本小题满分12分) 已知函数)R a (a x 2sin 3x cos 2)x (f 2
∈++=
（I ）若x ∈R 求f(x)的单调递增区间；（II ）若]2
,0[x π∈时，()f x 的最大值为4，求a 的值。

17、（本小题满分14分）
已知圆C ：x 2+y 2
+2x-4y+3=0。

（I ）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程。

（II ）从圆C 外一点P(x 1,y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM|=|PO|，
求使得|PM|取得最小值的点P 的坐标。

18、(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F
(I)证明PA ∥平面EDB ； (II)证明PB ⊥平面EFD
19、(本小题满分14分) 已知数列{a n }的前n 项和为)1n (n 2
1
S n +=
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若b 1=1，2b n -b n-1=0 C n = a n b n ，数列{C n }的前项和为T n ，求证T n <4
20、（本小题满分14分）已知函数2
x a
x 2)x (f 2+-=(x ∈R)在区间[-1,1]上是增函数
（Ⅰ）求实数a 的值所组成的集合A （Ⅱ）设关于x 的方程x
1
)x (f =
的两实数根为x 1、x 2,试问:是否存在实数m,使得不等式|x x |1tm m 212-≥++对任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m 的取值范围;
若不存在,请说明理由?
[参考答案]
11、195； 12、2 13、20 14、2-2
15、解：f ’(x)=3ax 2
+2bx+c ………………（2分）12x-y-4=0的斜率为12
点P 的坐标：12×0-y-4=0,y=-4 即P(0,-4) ∵点P 在f(x)图象上求出d=-4………（4分）
故所求解析式为：f(x)=2x 3-9x 2
+12x-4
16、)4(a 1)6
x 2sin(2)
2(a x 2sin 31x 2cos )x (f 分分ΛΛΛΛ++π
+=+++=
解不等式: )6()Z k (6
k x 3k 2k 26x 22k 2分ΛΛ∈π
+π≤≤π-π⇒π+π≤π+≤π-π
∴f(x)的单调递增区间为: )7()Z k ](6
k ,3k [分ΛΛ∈π
+ππ-π
（II ）∵]2,0[x π∈∴)9(676x 26分ΛΛπ
≤π+≤π
∴当)11(a 3)x (；f 6
x 26x 2max 分时即ΛΛ+=π
=π=π+
即有:3+a=4 ∴a=1此时x=π/6………(12分)
17、解：（I ）将圆C 配方得：(x+1)2+(y-2)2
=2………………（1分）
)
4(.x )62(：y kx ，y ，)i (分由直线与圆相切得设直线方程为截距为零时当直线在两坐标轴上的ΛΛΛΛΛΛ±-==
)
8(03y x 01y ：x ，
0a y x ，)ii (分或由直线与圆相切得设直线方程为截距不为零时当直线在两坐标轴上的ΛΛΛ=-+=++=-+
）
14（)53,103(P 0
3y 4x 20y x 2)
12（.0y x 2：OP l 。

OP ，|OP ||PM |，03y 4x 2l ：P ）
10（03y 4x 22)2y ()1x (y ：x
|PM ||PO |)(1121212
121分点坐标为得解方程组分的方程为直线直线取得最小值取最小值时即当上在直线即点分得由ΛΛΛΛΛΛΛ-⎩⎨⎧=+-=+=+∴⊥=+-=+-⇒--++=+=∏18、证明: (I)连结AC 交BD 于O,连EO.
因为底面ABCD 是正方形,所以点O 在AC 的中点上 在三角形PAC 中,EO 是中位线。

所以有PA//EO
）6（EBD //PA EDB PA EDB EO
EO
//PA 分平面平面平面ΛΛ⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫⊄⊂ BC
DC ABCD BC
PD ABCD BC ABCD PD )2(⊥∴⊥⇒⎭⎬⎫
⊂⊥正方形底面又平面平面Θ DE BC DC P DE DC P BC ⊥⇒⎭
⎬⎫⊂⊥平面平面
又因为PD=PC 所以三角形PDC 为等腰直角三角形 所以 PC ⊥DE
得出
PB DE PBC PB PBC DE ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥平面平面又已知EF ⊥PB 得出PB ⊥平面EFD
19、略解：（Ⅰ）∵数列{a n }的前n 项和为)1n (n 2
1
S n +=
∴a 1= S 1=1…………(1分) 当n ≥2时，a n = S n - S n-1=n ………………(4分) ∴a n =n ………………(5分) （Ⅱ）由若b 1=1，2b n -b n-1=0得
2
1
b b 1n n =-…………(6分) ∴{b n }是以b 1=1为首项,1/2为公比的等比数列. …………(7分)
1n n n n 1n n )2
1
(n b a C ;)21(b --==∴=…………(9分)
∴1n 2n 2n )2
1
(n )21()1n ()21(32121T --⨯+⨯-+⨯+⨯+=ΛΛ………(10分)
n 1n 32n )2
1
(n )21()1n ()21(3)21(221T 21⨯+⨯-+⨯+⨯+=-ΛΛ………(11分) 两式相减得: 1n n 1n n n )2
1
(n )21(44)21(n ])21(1[4T ----=--=………(13分)
∴ T n <4………(14分)
20、解：（Ⅰ） )2()2x ()
2ax x (2)2x ()2x )(a x 2()2x ()a x 2()x (f 2
2222'22''
分ΛΛ+---=++--+-=
因为函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,所以f ‘
(x)≥0在区间x ∈[-1,1]恒成立
即有x 2-ax-2≤0在区间[-1,1]上恒成立。

构造函数g(x)=x 2
-ax-2 ∴满足题意的充要条件是：1a 102a _10
2a 10)1(g 0)1(g ≤≤-⇒⎩
⎨⎧≤-≤--⇒⎩⎨
⎧≤-≤
所以所求的集合A[-1，1] ………(7分) （Ⅱ）由题意得：
x
12x a x 22
=+-得到：x 2-ax-2=0………(8分) 因为△=a 2
+8>0 所以方程恒有两个不等的根为x 1、x 2由根与系数的关系有：
8a x x 4)x x (|x x |2
x x a
x x 221221212121+=-+=-⇒⎩⎨
⎧-=⨯=+……(9分) 因为a ∈A 即a ∈[-1，1]，所以38a |x x |221≤+=
-要使不等式|x x |1tm m 212-≥++对
任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立，当且仅当31tm m 2
≥++对任意的t ∈[-1,1]恒成立……(11分)
构造函数φ（x ）=m 2
+tm-2=mt+(m 2
-2) ≥0对任意的t ∈[-1,1]恒成立的充要条件是
⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-+-⇒⎩⎨⎧≥-φ≥φ0
2m m 02m m 0)1(0)1(2
2
m ≥2或m ≤-2.故存在实数m 满足题意且为 {m| m ≥2或m ≤-2}为所求 （14分）。