湖北省仙桃中学2019届高三上学期8月考试数学试题+Word版含解析 - 副本

八月检测
一:选择题
1.“”是“直线的倾斜角大于”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
设直线的倾斜角为，则.
若，得，可知倾斜角大于；
由倾斜角大于得，或，即或，
所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.
2.（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】C
【解析】
法一由题得
∴或A∩B={(1,0),(0,1)}.
故选C.
法二显然圆x2+y2=1上两点(1,0),(0,1)在直线x+y=1上,即直线与圆相交.故选C.
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3.设为两个不同的平面，直线，则“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：当满足时可得到成立，反之，当时，与可能相交，可能平行，因此前者是后者的充分不必要条件
考点：充分条件与必要条件
点评：命题：若则是真命题，则是的充分条件，是的必要条件
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的组合体，其体积
，故选A.
考点：1.三视图；2.多面体的体积.
5.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，可得S在面ABC 上的射影为AB中点H，平面，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O 为SABC的外接球球心，OS为球半径，由此可得该三棱锥的外接球的体积.
【详解】因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，
所以S在ABC上的射影为AB中点H，所以平面，
所以SH上任意一点到A,B,C的距离相等，
因为，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，
则O为的外接球球心，
所以，
即，解得，
所以该三棱锥的外接球的体积为，故选D.
【点睛】该题考查的是有关球的体积的问题，涉及到的知识点是三棱锥的外接球，在解题的过程中，需要明确几何体的外接球的特征，注意思考球心所处的位置，建立相应的等量关系，求得半径，利用公式求得体积.
6.已知，为抛物线上异于原点的两个点，为坐标原点，直线斜率为2，则重心的纵坐标为（）
A. 2
B.
C.
D. 1
【答案】C
【解析】
试题分析：设，则，因此重心的纵坐标为
，选C.
考点：直线与抛物线位置关系
7.抛物线的焦点坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，焦点坐标为，即为，故选B.
8.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
由题意可知
=.
故选B.
9.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得的图象在上恒位于直线的下方或在直线上，数形结合可得或，分别求其解集，再取并集，即得所求.
【详解】由不等式对任意时恒成立，
可得的图象在上恒位于直线的下方或在直线上，如图所示：
所以或，
解得或，
故实数的范围是，故选B.
【点睛】该题考查的是有关参数的取值范围，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，数形结合的思想以及分类讨论的思想，注意对问题的正确转化是解题的关键.
10.函数的值域是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数运算可以先将函数解析式化简为：的形式，再由基本不等式得出函数的值域.
【详解】因为，
令，因为且，所以，
所以或，
所以，故选D.
【点睛】该题考查的是有关对数型函数的值域问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有换元法，基本不等式，注意函数的定义域是解题的关键.
11.函数的大致图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
由于，，且，
故此函数是非奇非偶函数，排除；又当时，满足，即的图象与直线
的交点中有一个点的横坐标为，排除，故选B．
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除
12.已知定义在上的偶函数满足,且当时,,则函数
的零点个数是
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】C
【解析】
由题意,所以周期为2,
当时,,且偶函数,即函数图象关于y轴对称,
分别画出y=和y=的图象,观察可得交点个数为6个,
即函数的零点个数是6个,
本题选择C选项.
点睛：函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二:解答题
13.已知，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
，当且仅当时取等号
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
14.球的内接圆柱的底面积为，侧面积为，则该球的表面积为____
【答案】
【解析】
【分析】
根据题的条件，求得内接圆柱的底面半径与圆柱的高，结合几何体的特征，求得球的半径，然后利用球的表面积公式求得结果.
【详解】因为球的内接圆柱的底面积为，侧面积为，
所以圆柱的底面半径为2，高为3，
所以外接球的半径为，有，
所以球的半径为，
所以球的表面积为，故答案是.
【点睛】该题考查的是有关球的表面积问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有球的内接圆柱的相关内容，会利用轴截面中相关的边长，找出其关系，求得球的半径，得到结果. 15.若抛物线在点（1,2）处的切线也与圆相切，则实数的值为________________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据抛物线所过的一个点，求得抛物线的方程，从函数的角度去求其切线，对函数求导，代入求得直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求得参数的值，得到结果.
【详解】抛物线过点可得
抛物线可化为，从而由知切线斜率为，
切线方程为即
又圆的方程可化为且圆与抛物线也相切
解得
【点睛】该题考查的是有关曲线的切线问题，涉及到的知识点有抛物线的方程的求解，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，正确应用公式是解题的关键.
16.是定义在上的周期为3奇函数，当时，，则__________．【答案】
【解析】
∵是定义在上的周期为3奇函数，当时，，∴，
，则，故答案为.
三:解答题
17.已知命题：方程表示双曲线，命题：，. （Ⅰ）若命题为真，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若为真，为真，求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分类讨论及结合一元二次不等式的性质进行求解即可；
（Ⅱ）若为真，为真，则p为真命题，q为假命题，建立不等式关系求解即可．
试题解析：
（Ⅰ）∵命题为真，
当时，，∴，故；
当时，，符合题意；
当时，恒成立.
综上，.
（Ⅱ）若为真，则，即.
∵若为真，为真，∴真假，
∴，解得.
18.“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：
（1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；
（2）若得分不低于分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认同”，请根据此样本完成此列联表，并据此样本分析是否有的把握认为城
市拥堵与认可共享单车有关；
（3）若此样本中的A城市和B城市各抽取人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此人来自B城市的概率是多少？
附：
【答案】⑴见解析；⑵见解析；⑶
【解析】
【分析】
（1）根据茎叶图，即可比较两城市满意度评分的平均值和方差；
（2）求出，与临界值比较，即可得出结论；
（3）利用列举法确定基本事件，即可求出来自不同城市的概率.
【详解】（Ⅰ）城市评分的平均值小于城市评分的平均值；
城市评分的方差大于城市评分的方差；
（Ⅱ）
所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；
（Ⅲ）设事件：恰有一人认可；
事件：来自城市的人认可；
事件包含的基本事件数为，
事件包含的基本事件数为，
则所求的条件概率.
【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有茎叶图的识别，独立性检验，随机事件发生的概率，在解题的过程中，熟练掌握基础知识是解题的关键.
19.如图，在四棱锥中，，，平面，
.设分别为的中点.
（1）求证：平面∥平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）三棱锥的体积
【解析】
试题分析：（1）由中位线定理可得∥∥平面. 再证得
∥∥平面平面∥平面；（2）由（1）知，平面
∥平面点到平面的距离等于点到平面的距离
.
试题解析：（1）证明：∵分别为的中点，
则∥. 又∵平面，平面，
∴∥平面.
在中，，∴.
又∵，∴∥.
∵平面，平面，∴∥平面.
又∵，∴平面∥平面.
（2）由（1）知，平面∥平面，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离.
由已知，，，，∴，
∴三棱锥的体积.
20.抛物线上的点到点的距离与到直线的距离之差为，过点的直线交抛物线于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若的面积为，求直线的方程.
【答案】⑴；⑵或；
【解析】
【分析】
（1）根据题中的条件，列出相应的式子，求得对应的参数，求得抛物线的方程；
（2）先分类讨论，分直线的斜率不存在与存在两种情况，设出直线的方程，利用题中所给的条件，建立相应的等量关系式，求得结果.
【详解】（1）设，
由定义知，，，
故抛物线方程为；
（2）设，由（1）知
若直线的斜率不存在，则方程为，此时，所以的面积为，不满足，所以直线的斜率存在；
设直线的方程为，
带入抛物线方程得：
所以，，所以，
点到直线的距离为，
所以，解得：
直线的方程为或.
【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，点到直线的距离，三角形的面积，正确应用公式是解题的关键.
21.已知函数，
（1）设，若函数在上没有零点，求实数的取值范围；
（2）若对，均，使得，求实数的取值范围.
【答案】⑴；⑵
【解析】
【分析】
（1）求出的最小值，根据最小值大于0，求出b的取值范围即可；
（2）问题转化为，设，得到，问题转化为
对恒成立，根据函数的单调性求出b的取值范围即可.
【详解】⑴，
在上没零点
⑵
设，
对恒成立
则在上单调递增
则对恒成立
对恒成立
设，
，在递减
,
即
【点睛】该题考查的是有关导数的应用的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，利用导数研究恒成立问题求参数的范围，正确求导是解题的关键.
四:选做题
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)分别写出曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
(2)若点为曲线上的一动点，点为曲线上的一动点，求的最小值.
【答案】⑴：；：；⑵
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数平方关系进行消参，求得曲线的普通方程，根据极坐标和直角坐标互化公式求解，即可得到曲线的直角坐标方程；
（2）利用已知，曲线是以为圆心，半径为的圆，得到，借助于三角函数的取值情况进行求解即可.
【详解】⑴由题意可知曲线的普通方程
曲线的直角坐标方程
⑵因为曲线是以为圆心，半径为的圆，所以
又
从而可知的最小值为
【点睛】该题考查的是有关参数方程与极坐标的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，极坐标方程向直角坐标方程的转化，以及有关距离的最值的求解问题，正确应用相关的公式是解题的关键.
23.已知函数．
(Ⅰ)当时，求的解集；
(Ⅱ)当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】⑴；⑵
【解析】
【分析】
（1）问题转化为解关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；
（2）根据x的范围，去掉绝对值符号，从而求出a的范围即可.
【详解】⑴当时，由，可得，
①或②或③
解①得：
解②得：
解③得：
综上所述，不等式的解集为
⑵若当时，成立，
即
故
即
对时成立
故
【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，有关恒成立求参数的取值范围，在解题的过程中，注意等价转化是正确解题的关键.。